北师数学·必修第1册 本册综合测试 试卷

这是一份北师数学·必修第1册 本册综合测试 试卷，共10页。

本册综合测试题
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2021·全国高考甲卷文科)设集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝(　B　)
A．{7,9} B．{5,7,9}
C．{3,5,7} D．{1,3,5,7,9}
[解析]　N＝，故M∩N＝{5,7,9}，故选B．
2．lg 2－lg－eln 2－－＋的值为(　A　)
A．－1 B．
C．3 D．－5
[解析]　原式＝lg 2＋lg 5－2－2＋2＝lg 10－2＝1－2＝－1．故选A．
3．函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值为(　D　)
A． B．1
C．2 D．
[解析]　∵f(x)＝＝1－在区间[2,3]上单调递增，
∴函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值为f(3)＝＝，故选D．
4．(2021春·让胡路区校级月考)下列函数中，是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是(　D　)
A．y＝ B．y＝log2|x|
C．y＝x＋ D．y＝x5
[解析]　对于A，y＝的定义域为[0，＋∞)，关于原点不对称，为非奇非偶函数，故A错误；对于B，f(x)＝log2|x|＝log2|－x|＝f(－x)，故y＝log2|x|不是奇函数，故B错误；对于C，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，
当1≤x1＜x2时，f(x1)－f(x2)＜0，f(x)是增函数，
当0＜x1＜x2≤1时，f(x1)－f(x2)＞0，f(x)是减函数，故C错误．
对于D，y＝x5为单调递增的奇函数，故D正确，故选D．
5．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
[解析]　因为甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，所以两人参加同一个小组的概率为＝．故选A．
6．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足f(logx)＞0的x的取值范围是(　B　)
A．(0，＋∞) B．∪
C．∪ D．
[解析]　由题意知f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，所以f＞f．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|logx＞，又x＞0，解得0＜x＜或x＞2．
7．函数y＝ln cos x的图象是(　A　)

[解析]　由偶函数排除B、D，∵0＜cos x≤1，∴y≤0，∴排除C．故选A．
8．具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换．给出下列函数：
①y＝ln；②y＝；③y＝
其中满足“倒负”变换的是(　C　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①
[解析]　①f＝ln＝ln，－f(x)＝－ln＝ln，f≠－f(x)，不满足“倒负”变换．
②f＝＝＝－＝－f(x)，满足“倒负”变换．
③当0＜x＜1时，＞1，f(x)＝x，f＝－x＝－f(x)；
当x＞1时，0＜＜1，f(x)＝－，f＝＝－f(x)；
当x＝1时，＝1，f(x)＝0，f＝f(1)＝0＝＝
－f(x)，满足“倒负”变换．
综上，②③是符合要求的函数，故选C．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．(2021春·武汉期中)已知A，B是随机事件，则下列结论正确的是(　AC　)
A．若A，B是对立事件，则A，B是互斥事件
B．若事件A，B相互独立，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．假如P(A)＞0，P(B)＞0，若事件A，B相互独立，则A与B不互斥
D．假如P(A)＞0，P(B)＞0，若事件A，B互斥，则A与B相互独立
[解析]　根据题意，依次分析选项：对于A，对立事件一定是互斥事件，A正确；对于B，若事件A，B相互独立，即事件A的发生或不发生对事件B没有影响，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)不一定正确，B错误；对于C，若事件A，B相互独立，即事件A的发生或不发生对事件B没有影响，事件A、B可能同时发生，则A与B不互斥，C正确；对于D，若事件A，B互斥，即事件A、B不会同时发生，则A与B不是相互独立事件，错误；故选AC．
10．某地区经过一年的建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：

则下面结论中正确的是(　BCD　)
A．建设后，种植收入减少
B．建设后，其他收入增加了一倍以上
C．建设后，养殖收入增加了一倍
D．建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
[解析]　设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a．建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以建设后，种植收入减少是错误的．故选BCD．
11．已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式不成立的是(　BD　)
A．ac＜bc B．cb＜ca
C．logac＞logbc D．sin a＞sin b
[解析]　取a＝，b＝，c＝2，则2＜2，A成立；2＞2，B不成立；log2＝－，log2＝－1，∴log2＞log2，C成立；∵0＜a＜b＜1＜，∴sin a＜sin b，D不成立．故选BD．
12．(2021·泉州二模)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝，则(　ABD　)
A．f(g(2))＝2
B．g(f(1))＝1
C．当x＜0时，f(g(x))的最小值为2
D．当x＞0时，g(f(x))的最小值为1
[解析]　∵g(2)＝log22＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2，∴A正确；
∵f(1)＝2，∴g(f(1))＝g(2)＝log22＝1，∴B正确；
当x＜0时，g(x)＝2x∈(0,1)，设t＝2x∈(0,1)，则f(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，∴f(t)＞f(1)＝2，∴C错误；
当x＞0时，f(x)＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，
即x＝1时取等号，
设m＝x＋，m∈[2，＋∞)，
则g(m)＝log2m≥log22＝1，∴D正确．
故选ABD．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2021春·龙凤区校级期中)计算：0＋＋2lg 2＋lg 25＝__2＋__．
[解析]　0＋＋2lg 2＋lg 25
＝1＋－1＋lg 100
＝2＋．
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的7折，则x的最大值为__15__．
[解析]　(1)x＝10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60＋80－10＝130元．
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，y＜120元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求．
y≥120元时，有(y－x)×80%≥y×70%恒成立，
即8(y－x)≥7y，x≤，即x≤min＝15元，
所以x的最大值为15．
15．某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成五组．第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有__100__名．

[解析]　成绩优秀的频率为1－(0.005＋0.025＋0.045)×10＝0.25，所以成绩优秀的学生有0.25×400＝100(名)．
16．给出以下四个命题：
①若集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B，则x＝1，y＝0；
②若函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)；
③函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；
④若f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝2 016．
其中正确的命题有__①②__．(写出所有正确命题的序号)
[解析]　①由A＝{x，y}，B＝{0，x2}，A＝B可得，或(舍)
故x＝1，y＝0正确；②由函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数f(2x＋1)中x应满足－1＜2x＋1＜1，解得－1＜x＜0，即函数f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，正确；③函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，不能用并集符号，错误；④由题意f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝1，则＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝1＋1＋…＋1＝1 008，错误．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2021春·沙坪坝区校级期中)集合A＝，B＝{x||x－a|＜2，x∈R}．
(1)若a＝2，求A∪B；
(2)若x∈CRA是x∈B的充分不必要条件，求a的范围．
[解析]　(1)由＜1得＜0，即(x－1)(x＋2)＞0，解得x＜－2或x＞1，所以A＝{x|x＜－2或x＞1}，
当a＝2时，B＝{x||x－2|＜2，x∈R}，由|x－2|＜2得－2＜x－2＜2，即0＜x＜4，
所以B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x|x＜－2或x＞0}．
(2)CRA＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a＋2}，
∵x∈CRA是x∈B的充分不必要条件，∴CRAB，
∴，∴－1＜a＜0．
∴a的取值范围为(－1,0)．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝且点(4,2)在函数f(x)的图象上．

(1)求函数f(x)的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)＜1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)∵点(4,2)在函数的图象上，∴f(4)＝loga4＝2，解得a＝2．
∴f(x)＝
函数的图象如图所示．

(2)不等式f(x)＜1等价于，或
解得0＜x＜2或x＜－1，
∴原不等式的解集为{x|0＜x＜2或x＜－1}．
(3)∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
∴函数y＝2m的图象与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点．
结合图象可得2m≤2，解得m≤1．
∴实数m的取值范围为(－∞，1]
19．(本小题满分12分)为了了解中学生的体能情况，抽取了某校七年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图，已知第1组的频数为5．

(1)求第4组的频率；
(2)参加这次测试的学生有多少人？
(3)若次数在75以上(含75次)为达标，试估计该年级跳绳测试的达标率是多少？
[解析]　(1)第4组频率＝0.008×(149.5－124.5)＝0.2．
(2)设参加这次测试的人数为x，
则＝0.004×(74.5－49.5)＝0.1，
∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．
(3)估计这次跳绳测试的达标率为[1－0.004×(74.5－49.5)]×100%＝90%
20．(本小题满分12分)(2021春·让胡路区校级月考)已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋3．
(1)若f(x)在(－∞，1]上单调递减，求实数a的最小值；
(2)存在x∈[－4，－2]，使得f(x)≥a有解，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)∵二次函数f(x)＝x2－2ax＋3是开口向上的抛物线且对称轴方程为x＝a，
∴若f(x)在(－∞，1]上单调递减，则a≥1，故a的最小值是1；
(2)存在x∈[－4，－2]，使得f(x)≥a有解，即存在x∈[－4，－2]，使得x2－2ax＋3－a≥0有解，则f(－4)≥0或f(－2)≥0，解得：a≥－，故a的取值范围是：．
21．(本小题满分12分)某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间进行了一次社会实践活动，且每个小组有5名同学，在实践活动结束后，学校团委会对该班的所有同学都进行了测试，该班的A，B两个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示，其中B组一同学的分数已被污损，但知道B组学生的平均分比A组学生的平均分高1分．
(1)若在B组学生中随机挑选1人，求其得分超过85分的概率；
(2)现从A组这5名学生中随机抽取2名同学，设其分数分别为m，n，求|m－n|≤8的概率．

[解析]　(1)A组学生的平均分为＝85(分)，
∴B组学生平均分为86分．
设被污损的分数为x，则＝86，解得x＝88，
∴B组学生的分数分别为93,91,88,83,75，其中有3人的分数超过85分，
∴在B组学生中随机选1人，其所得分超过85分的概率为．
(2)A组学生的分数分别是94,88,86,80,77，
在A组学生中随机抽取2名同学，其分数组成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10个．
随机抽取2名同学的分数m，n满足|m－n|≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6个．
∴|m－n|≤8的概率为＝．
22．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝log2．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＞1；
(2)若关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素，求a的值；
(3)设a＞0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
[解析]　(1)由log2＞1，得＋1＞2，解得{x|0＜x＜1}．
(2)log2＋log2(x2)＝0有且仅有一解，
等价于x2＝1有且仅有一解，等价于ax2＋x－1＝0有且仅有一解．
当a＝0时，x＝1，符合题意；
当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，a＝－．
综上，a＝0或a＝－．
(3)当0＜x1＜x2时，＋a＞＋a，
log2＞log2，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)．
f(t)－f(t＋1)＝log2－log2≤1，
即at2＋(a＋1)t－1≥0对任意t∈成立．
因为a＞0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间上单调递增，所以t＝时，y有最小值a－，由a－≥0，得a≥．故a的取值范围为．