2012-2013高二北师大数学选修2-2：1.2综合法与分析法-综合法导 学案教案

   第一章   推理与证明

第二节  综合法与分析法

综合法

学习目标

1．理解综合法的思维过程及其特点；

2．掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤，能运用综合法证明简单的数学问题。

学法指导

在充分理解综合法的特点的基础上，体会综合法证题的思维过程和步骤；并通过例题的学习和练习逐步学会运用综合法进行简单的数学证明。

事实上，我们对综合法应该很熟悉，以前进行的几何、不等式、三角恒等式的证明，大多运用的都是综合法，数学的解答题的解答过程也是运用综合法进行表述的。

重点: 理解综合法的思维过程和特点；

难点：运用综合法证（解）题时，找出有效的推理“路线”；

教学过程：

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为,

所以,

因为,

所以.

因此, .

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1. 综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．

解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

例2、已知求证

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。   

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？

典例分析

例1 设，求证：

分析：左边乘以“”，然后运用均值不等式。

变式练习1

已知，求证：

证明：左边=

例2已知二次函数（均为实数），满足，对于任意的实数都有，并且时，总有。

（1）求的值；

（2）证明：；

（3）当时函数（其中为实数），是单调的，求证：或。

    分析：注意到对恒成立，用即可求得，这是用不等式求值的一般思路。运用条件：“对于任意的实数都有”可证（2），（3）的证明思路就是利用二次函数的单调区间。

变式练习2

已知：，求证：（1）为偶函数；（2）

例3.已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

解题导引　综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．

变式迁移1　设a，b，c>0，证明：

＋＋≥a＋b＋c.

基础训练

1．(12分)(2011·宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．

2.求证：是函数的一个周期。

3.（韦达定理）已知和是一元二次方程的两个根。求证：。

4.已知：x,y,z为互不相等的实数，且求证：

课堂小结

1．综合法的思考过程（如图）：

2．综合法的特点：

①综合法的证题过程是从“已知”看“可知”，再由“已知（包括上一步的结果）”看“可知”，……，最后推导出“未知”的“由因导果”的过程；

②由于已知条件有不同组合，每个组合又有不同的中间结果出现，这些中间结果不是对解题都有用，因此如何找到有效的推理“路线”是运用综合法的难点，换言之：运用综合法解题有一定的盲目性。

③运用综合法解题，步骤严谨，逐层递进，条理清晰，宜于表达。是我们在解题中的主要的表达方式。

第二节  综合法与分析法

综合法答案

例1证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①

因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=． ⑧

由①② ，得B=.由a, b，c成等比数列，有.

由余弦定理及③，可得

.

再由④，得.

,

因此.

从而A=C.

由②③⑤，得

A=B=C=.

所以△ABC为等边三角形．

例2证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设

故原不等式得证。

典例分析

例1证明：∵

例3证明　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，

三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)

＝(a＋b＋c)2.

∴a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2；

∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，

∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)

≥ab＋bc＋ca＋2(ab＋bc＋ca)，

∴ (a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)．

∴原命题得证．

变式迁移1　证明　∵a，b，c>0，根据基本不等式，

有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.

三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．

即＋＋≥a＋b＋c.

变式迁移1　证明　∵a，b，c>0，根据基本不等式，

有＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.

三式相加：＋＋＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)．

即＋＋≥a＋b＋c.

基础训练

1．证明　∵a2＋b2≥2ab，a、b、c>0，

∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，(3分)

∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，

∴a3＋b3≥a2b＋ab2.(6分)

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，

将三式相加得，

2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.(9分)

∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．

∴a3＋b3＋c3≥(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．(12分)

2．证明：

∴由函数周期的定义可知：是函数的一个周期。

3．证明：由题意可知：

∴

4．证明：根据条件可得

又由x,y,z为互不相等的实数，

所以上式可变形为   

同理可得       

所以