2012-2013高二北师大数学选修2-2：第四课时 1.2.2综合法与分析法——分析法导学案教案

第四课时  1.2.2综合法与分析法——分析法 一、学习目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。二、学习重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。难点：分析法的思考过程、特点三、学习方法：探析归纳，讲练结合四、学习过程(一)、复习：直接证明的方法：综合法、分析法。（二）、引入新课分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。在很多数学命题的证明中，往往需要综合地运用这两种思维方法。分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：    要证明命题B为真，    只需要证明命题为真，从而有……    这只需要证明命题为真，从而又有……     ……这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真（三）、例题讲解：例1：如图、已知BE，CF分别为△ABC的边AC，AB上的高，G为EF的中点，H为BC的中点.求证：HG⊥EF.  例2、已知：a，b是不相等的正数。求证：。    例3、求证   在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4 已知，且     ①        ② 求证：。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．     例5.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证  AF⊥SC（四）、小结：综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效，就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.（五）课堂练习1．若，且，则下列不等式成立的是（  ）A．      B． C．        D．   2．，，则有（  ）A． B． C． D． 3．函数的最大值是                ； 4．设，，若，则实数满足的条件为                ； 5．已知，且，试用分析法证明不等式： 6．已知：，且   求证：7.求证：函数在区间（3，+∞）上是增加的。  1.2.2综合法与分析法——分析法答案 （三）例题讲解例1证明：考虑待证的结论“HG⊥EF” .根据命题的条件：G为EF的中点，连接EH，HF，只要证明△EHF为等腰三角形，即EH=HF.根据条件CF⊥AB，且H为BC的中点，可知FH是Rt△BCF斜边上的中线.所以.同理.这样就证明了△EHF为等腰三角形.所以   HG⊥EF.例2 证明：要证明只需证明 ，只需证明 ，只需证明 ，只需证明 ，只需证明 。由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保证上式成立。这样就证明了命题的结论。 例3证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得  即  因为成立，所以成立即证明了说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真例4 证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得.              ③另一方面，要证即证 ， 即证，即证，即证。由于上式与③相同，于是问题得证。例5  证明:要证AF⊥SC，只需证:SC⊥平面AEF，只需证:AE⊥SC，只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC，只需证:BC⊥平面SAB，只需证:BC⊥SA，只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立。所以. AF⊥SC成立。 （五）课堂练习1、B；2、A；3、；4、；5、提示：   且    所以原式成立！6、提示：         且  ①          由①知此式显然成立。  7.证明：要证明函数在区间（3，+∞）上是增加的，只需证明 对于任意，∈（3，+∞），且>时，有，只需证明 对任意的>>3，有∵>>3∴->0，且+>6，它保证上式成立。这样就证明了：函数在区间（3，+∞）上是增加的。