高中数学沪教版高中二年级 第一学期7.2等差数列学案设计
展开得到数列 1,2,3,4, … ,100
得到数列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)
姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
观察:以上数列有什么共同特点?
从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
高斯计算的数列:1,2,3,4, … ,100
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
递推公式:an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
①1,2,3,…,100;
2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0
1、数列6,4,2,0,-2,-4…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得:
an-a1=(n-1)d,
an=a1+(n-1)d
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?
d=-9-(-5)=-4,
得到这个数列的通项公式为
an=-5-4(n-1)
由题意知,问是否存在正整数n,使得
-401= -5-4(n-1) 成立
即-401是这个数列的第100项。
在等差数列{an}中,已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d.
a5=10=a1+4d
a12=31=a1+11d
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评:利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解
例3 梯子的最高一级宽33cm,最低一级110 cm, 中间还有10级,各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽度.
解:用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列,由已知条件, a1=33,a12=110,n=12. 由通项公式,得a12= a1+(12-1)d 即110=33+11d d=7 因此a2=33+7=40, a3=40+7=47, a4=54, a5=61, a6=68, a 7=75,a8=82, a9=89, a10=96 a=11 =103答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ,47 cm , 54 cm ,61 cm ,68 cm ,75 cm ,82 cm , 89 cm ,96 cm ,103 cm
求基本量a1和d :根据已知条件列方程,由此解出a1和d ,再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的思想方法,称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
求通项公式的关键步骤:
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d.
在等差数列{an}中,
(2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12.
a4=10=a1+3d
a7=19=a1+6d
即等差数列的首项为1,公差为3
a12=a1+11d=11+11×(-1)=0
我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。人分加三颗。问:五人各得几何?”
分析: 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60,d=3, ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。
点评:解等差数列有关问题时转化为 a1和d是常用的基本方法
等差数列{an}中,已知则n的值为( )A.48 B.49 C.50 D.51
(此题为2003年全国高考题)
在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系?
A为a,b的等 差 中 项
一个定义: an-an-1=d(d是常数,n≥2, n∈N*) 一个公式:an=a1+(n-1)d一种思想:方程思想
1+2+3+···+100=?
预习:等差数列的前n项和
1.已知a1=3,2an=Sn·Sn-1,求证:数列 是等差数列,并求出公差d.
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