高中数学人教版新课标B必修42.3.2向量数量积的运算律教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

平面向量基本定理及向量的坐标表示

向量数量积的定义及性质、运算率

学生思考回答上节课内容

温故知新

定义形成

向量具有几何性和代数性，上节课根据向量的几何性定义出了数量积的运算，并掌握了运算率及性质。那么这一定义如何由它的代数性反映出来？

  那么向量数量积的性质如何由它的坐标表示出来？

结论：已知两个非零向量，

则

从中总结出三个公式（向量的长度、距离、夹角公式）及一个条件（向量垂直的充要条件）

向量的长度、距离和夹角公式

（1）设，则或 (长度公式)

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)

(3) cos =（）(夹角公式)

向量垂直的充要条件

设，，

则 

教师引导学生，从向量的坐标出发，根据数量积的定义推导出数量积的坐标运算 。从而很容易推导出三个公式和一个条件

让学生自己联系旧知识推导新内容，体会自己创作的乐趣

定义深化

对于从前的射影的概念，我们进行重新的认识

向量在轴上的正射影：

作图

定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影

正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为||；当 = 180时正射影为||

挖掘向量在轴上的正射影的定义，和我们这两节的向量数量积有什么关系？（或找出其本质）

练习：P108  例1

学生主导发现问题，教师引导提出和解决问题

注意：射影是可正可负可为零的

教学中，学生不太容易理解的，也不经常用到的概念，变作例题形式有利于加深印象

应用举例

例1.已知=（3，-1），=（1，-2），求，||，||，<,>

例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.

练习.已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证

例3.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求的正弦值

练习.已知=(3,4)，求：（1）的单位向量；

（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量

主要体会向量代数运算的方便和简便，以及几何性质的直观

熟练准确的运用向量数量积进行运算，并对某些结论性的内容有所了解

课堂小结

 1.数量积的定义、性质、运算率

 2.几种特殊情况的讨论（注意事项）

教师提出问题：向量的运算已经接触到了加法、减法、数乘及数量积的运算，那么它们的区别和联系是什么？尤其是数乘和数量积的运算，同是乘法，有何区别？

主要学生总结，教师不做过多引导

让学生掌握最主要的内容；

让大多数学生知道还有某些注意事项

作业

1、   看书总结平面向量数量积的注意事项（分别从定义、运算率、性质、与数乘的区别总结）

2、   总结一些你认为很有用的式子（可以从例题、习题总结）