20.高一数学（人教B版）-向量数量积的运算律-1教案

教学基本信息

课题

向量数量积的运算律

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：  普通高中教科书数学必修第三册      出版社： 人民教育出版社    出版日期：    2019年 7 月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：1.通过学习体会类比猜想证明的探索性学习方法，体会向量数量积的运算方法.

         2.通过探究性学习培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识.

教学重点：向量数量积的运算律及应用.

教学难点：向量数量积运算分配律的证明.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

一、复习回顾

通过回顾反思，对向量数量积的相关知识进行梳理，为探究运算律做准备.

二、探究新知，类比向量的线性运算和实数的乘法运算，探究向量数量积的运算律

那么你能够猜一猜，向量的数量积运算具有什么样的运算律？

下面探究这些结论是否正确.

1.

证明：当和都是非零向量时，根据定义，可得

，又因为

所以，

当和至少有一个是零向量时，

综上，向量数量积满足交换律.

2.

分析：是实数，等式左边是与共线的向量，同理，等式右边是与共线的向量.

思考①，这个等式有没有有可能成立？

思考②，这个等式是否对任意向量恒成立？

问题①：当==0时，等式成立.

问题②：给出如图所示例子：

所以，==，所以等式左边是2，                                

等式右边是2，因此等式不成立.

综上，等式不一定成立，不能作为向量数量积的运算律.

思考③：等式在什么情况下可以成立？课下完成思考.

3.

分析：

与关系，与的关系

当>0时，=，与同向，=

当<0时，=-，与反向，=

证明：当和都是非零向量且时，根据定义可得

当>0时，

==

当<0时，

=

==

当和至少与一个是零向量或时，根据定义可得

综上，以上结论对任意向量及任意实数恒成立，可以作为运算律.

4.

分析：

三个角之间的关系不易研究，观察到待证结论左右两侧都有，于是可以将待证结论转化为

等式左边即为向量在上射影的数量；等式右边即为向量在上射影的数量与在上射影的数量的和.

取是与同向的单位向量，则

=

由向量数量积的几何意义可知任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.

证明：当和和都是非零向量时，取，即是与同向的单位向量，设和点O都在直线上，设

,则，分别过点A和B作直线的垂线，则是在上投影，是在上投影，

是在上投影，因为，所以

，左右两边同时乘以，则有

成立.

当和和至少有一个是零向量时，等式显然成立.

因为，向量数量积对加法满足分配律.

小结：利用数量积的定义和几何意义，证明了如下三条运算律成立

，

并且可以推广出：

对向量数量积的运算律进行类比猜想，然后进行严谨证明，证明过程中培养学生的分析问题、解决问题的能力.

四、例题讲解

例1．求证：

分析：证明等式的方法：作差法，综合法，分析法等

证明：

考查向量数量积的分配律，交换律的应用.

例2.已知求.

分析：

代入求值即可.

解：

所以，

考查向量数量积在求模长中的应用，及向量数量积三条运算律的应用.

例3.用向量法证明菱形的对角线互相垂直.

文字语言转化为数学语言：

已知是菱形，其中和是对角线，

求证：

分析：首先结论向量化

证明：在菱形中，

==

因为，所以=0，所以，故

小结：用向量法求解几何问题的三个步骤：

步骤1.用向量表示题目中的条件和结论的几何关系；

步骤2.进行向量的线性运算和数量积运算；

步骤3.将向量关系还原为几何结论；

关键点：选择合适、恰当的基底向量，也是难点.

通过例题巩固学生对向量数量积的定义和性质、运算律等知识的掌握.

五、课堂小结

1.向量数量积的运算律及证明；

2.利用向量数量积的定义和运算律解决等式证明及相关值求解的问题；

3.利用向量法求解几何问题.

总结本节课向量数量积的运算律及利用定义和运算律解决了哪些问题。

六 、作业

【作业参考答案】

1. 证明：因为右边

                左边，所以等式成立.

2．解：

3.证明：设平行四边形的对角线是和，

所以

因为,所以，

所以.

对本节课所学知识进行巩固练习.