高中数学人教版新课标B必修42.3.1向量数量积的物理背景与定义教案

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复

习

提

问

（1）向量的概念.

（2）向量的加减法和数乘运算.

提问引入：

我们已经学过平面向量的加减法和数乘运算，那么自然会想到两个向量能否进行乘法运算呢？

学生回答

复习旧知识

引出新知识

概

念

形

成

1．向量数量乘积的物理背景

问题：如果一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功w等于多少？

教师提问

学生回答

教师给出向量的数量积的概念.

以物理问题为背景，使学生从中受到启发，为引入向量的数量积的概念做准备.

2．两个向量的夹角

已知两个非零向量a、b，=a，= b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,

记作〈a ，b〉

并规定0≤〈a ，b〉≤

强调：

（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移.

（2）范围0≤〈a ，b〉≤.

（3）〈a ，b〉=〈b ，a〉

（4）〈a ，b〉=0时, a、b同向

〈a ，b〉=时，a、b反向

〈a ，b〉=时， a ⊥b.

（5）规定：零向量与任意向量垂直.

借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义打好基础。

3．向量在轴上的正射影

（1）概念：

已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.

（2）正射影的数量：

正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.

记作： al

向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，

则有

 a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.

当为锐角时为正值；

当为钝角时为负值；

当为直角时为0；

当 = 0时为 |a|；

当 = 180时为 |a|.

教师给出正射影的概念

在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。

在学生了解两个概念的基础上，进一步探索发现夹角和正射影数量的关系.

借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零:

学生在了解向量在轴上的正射影及正射影的数量的基础上,自主探索发现其性质,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。

4．     向量的数量积（内积）

定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）

记作：a·b  

即 a·b =

了解概念

概

念

深

化

概念讲解：

1．数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.

2．两个向量的数量积是一个实数，符号由〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。

3．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1)         ea = ae =|a|cos

2)         ab  ab = 0

3)         aa = |a|2或

4)         cos = ；

|ab| ≤ |a||b|

师生共同探索：

问题1：两个向量的数量积的几何含义是什么？

问题2：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？

问题3：两个向量的数量积的性质

给出概念

提出问题

随着问题的解决进一步加深学生对新概念的理解与掌握.

应

用

举

例

例：已知=5，=4，〈a,b〉

解： ab =

       =5×4×cos120°

       = -10.

教师板书

规范写法

通过练习，进一步巩固所学知识

教学

环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习

引入

复习向量数量积的相关知识

教师提问

学生回答

为研究向量数量积的运算律作准备

概

念

形

成

问题1：

数量乘法满足的运算律，对于向量的数量积运算是否也同样满足呢?

交换律：＝b a成立吗？

教师提问

学生思考并讨论

在教师的引导下，让学生自主探索

问题2：

对于乘法分配律，向量的数量积运算是否还满足？

（a＋b）c＝a c＋b c

另外，还有数乘以向量的乘积有：λ(a b)=(λa) b=a(λb)

教师提示：直观上，不太容易看出它是否成立，可引导学生从向量数量积的几何意义出发，看看分配律是否成立.

应

用

举

例

例1 求证：

1)        

2)        

3)        

例2：求证菱形的两条对角线互相垂直. 对菱形ABCD，记=，=，则=+.  =－其中=.

∵·=（+）·（－）=2－2=2－2=0.

∴⊥即对角钱互相垂直.

要求学生运用向量的数量积的运算律证明.

菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD，记=，=，则=+.  =－其中=.

∵·=（+）·（－）=2－2=2－2，到此，可看出边长相等的作用了.

练习的目的是加深对向量的数量积的运算律的运用和理解.

归

纳

小

结

收获：

1．向量的数量积满足：交换律a· b=b·a；

2．对加法的分配律：（a+b）· c=a·c+b·c；

3．实数与两向量数量积的乘积：   λ（a·b）=（λa）·b=a（λb），

学生总结

巩固所学知识