高中数学苏教版必修13.3 幂函数教案设计

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2．6 对数函数与幂函数【知识网络】1．对数的概念、运算法则；2．对数函数的概念；3．对数函数的图象及其性质；4．运用对数函数的性质解决问题． 【典型例题】例1．（1）下列函数中既是偶函数又是上是增函数的是（C ） A．     B．      C．      D．提示：A、D中的函数为偶函数，但A中函数在为减函数，故答案为C．（2）函数的图象是（ A ）    （3）函数的图像关于（ C ）A．轴对称      B．轴对称       C．原点对称      D．直线对称提示：，由得函数的定义域为∵ ，∴ 为奇函数，答案为C．（4）函数的值域是提示：令，，．（5）下列命题中，正确命题的序号是 ④   ①当时函数的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限．提示：①错，当时函数的图象是一条直线（去掉点（0，1））；②错，如幂函数的图象不过点（0，0）；③错，如幂函数在定义域上不是增函数；④正确，当时，．例2．已知幂函数的图象与轴、轴都无交点，且关于轴对称，试确定的解析式．解：由数，解得：．当和3时，；当时，．  例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数．证明：在（0，1）上任取且，则： ∵ ，∴ ，，，∴ ∴ ，∴，即∴ 在上是增函数．例4．设其中，并且仅当在的图象上时，在的图象上．（1）写出的函数解析式；（2）当在什么区间时，解：（1）设，那么    ∵ 在的图象上，∴     ∴  ，∴，  ∴  （2），由题意得，需满足：  ∴  当时，．【课内练习】1．如果，，那么（ C ） A．    B．     C．    D．提示：当时，，答案为C．2．设且那么等于（ B ） A．    B．     C．     D．提示：∵ ，∴ ,答案为B．3．对于幂函数，若，则，大小关系是（A）A．          B．C．         D．无法确定4．下列函数中，在上为增函数的是（ D ）A．  B．  C．   D．提示：A、C中函数为减函数，不是B中函数的子集，故答案为D．5．函数的单调递减区间是提示：由得：，∵ 函数在上为增函数，函数在上为减函数，故所给函数的单调减区间为．6．函数的定义域是提示：由得：，  ∴7．若，则的取值范围是 提示：当时, ；  当,, ∴ .8．计算：（1）；（2）解：（1）原式＝（2）原式＝9．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．       （1）定义域为，非奇非偶函数，在上为增函数，对应图（A）；（2）定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图（F）；（3）定义域为R，偶函数，在上为增函数，对应图（E）；（4）定义域为，偶函数，在上为减函数，对应图（C）；（5）定义域为，奇函数，在上为减函数，对应图（D）；（6）定义域为，非奇非偶函数，在上为减函数，对应图（B）． 综上：（1）（A），（2）（F），（3）（E），（4）（C），（5）（D），（6）（B）．10．已知函数，求函数的最大值和最小值，并求出相应的值．解：由解得，则函数的定义域为令，则，关于在[0，1]上为增函数，当时，，此时，，；当时，，此时，，．综上：当时，函数有最小值6，当时，函数有最大值13．           作业本A组1．函数的定义域是（ B ）A．                B．  C．       D．提示：由得：,解得：，答案为B．2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ B ）A．    B．    C．    D．提示：形如的函数叫做幂函数，答案为B．3．如果函数，那么的最大值是（ A ） A．0            B．          C．          D．1提示：令，当时，关于单调增，当时，此时，取到最大值0．4．函数在区间上的最大值是提示：函数在区间上单调减，当时，．5．函数是 奇（填奇或偶）函数．提示：∵，∴ 恒成立，故函数的定义域为R．又∵，∴为奇函数．6．（1）若，试比较，，的大小；  （2）若，且，，都是正数，试比较，，的大小． 解：（1）由得，∴ 且故．  （2）令，由于，，都是正数，则，，，，   ∴，∴；   同理可得：，∴，∴． 7．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）；（2）．解：（1）函数的图象可以由的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到． （2），把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数的图象．            8．已知函数（且）．求证：（1）函数的图象在轴的一侧；     （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．证明：（1）由得：，∴当时，，函数的定义域为，此时函数的图象在轴右侧；当时，，函数的定义域为，此时函数的图象在轴左侧．∴函数的图象在轴的一侧．（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，，当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴．∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．  B组1．已知函数则的值是（B）A．9    B．    C．－9    D．提示：，．2．已知，且等于（ D ）A．         B．         C．      D．提示： ∴ ∴ 即∴ ∴3．已知在上有，则是（C ）A．在上是增加的            B．在上是减少的C．在上是增加的           D．在上是减少的提示：当时，，由知，函数在上没有单调性，在上为增函数．答案为C．4． 右图为幂函数在第一象限的图象，则按由小到大的顺序排列为5．函数在上恒有，则的取值范围是提示：当时，函数在上单调减，则；当时，函数在上单调增，则综上：或6．（1）若，比较的大小；（2）若，比较的大小．解：（1）当时，幂函数在上单调减，∵，∴．（2）当时，，指数函数在上单调减，∵，∴，∴ ， ∴ 7．求函数的值域和单调区间．解：（1）由>0得，所以函数的定义域是(0,1)因为0<=，所以，当时, ，函数的值域为．当时,   函数的值域为（2）令，则， 当时，函数在为减函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在在上是减函数，在上是增函数；当时，函数在为增函数，在上是增函数，在上是减函数，故所给函数在在上是增函数，在上是减函数．8．已知函数.（1）求函数f (x)的定义域；（2）求函数f (x)的值域．解：（1）由∵ 函数的定义域不能为空集，故，函数的定义域为．（2）令①当，即时，在上单调减，，即，∴ ，函数的值域为；②当即时，，即∴ ，函数的值域为．综上：当时，函数的值域为；当时，函数的值域为．