苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教学设计

这是一份苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数教学设计，共4页。教案主要包含了学习目标，课前导学，复习回顾，课堂活动，思路分析，解后反思，课后提升等内容，欢迎下载使用。
第30课时 幂函数（2）【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征；2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养．【课前导学】【复习回顾】1．   幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；    特别地，当＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，越大，下凸的程度越大；    当0<α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴. 【课堂活动】一．应用数学：例1 证明幂函数在上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设，则，，，   ，   即．此函数在上是增函数．例2已知的图象如图所示，则，，，的大小关系是                 ．【思路分析】 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c＞a＞b＞d．【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合．【思路分析】　我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在上是减函数．由幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．的系数只能是１，从而得到；又由于该幂函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，，即．由以上两条可求出满足所求的的范围． 解： 据题意得 且 ．解得  m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用．例4 已知，求的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１  根据函数在其定义域内单调减，得．      为所求．错解２　根据函数在和上均为减函数得：　　　…⑴， …⑵　　　解得：为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数在和上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况． 解：因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为：…⑴， …⑵，　　…⑶．⑴无解；　⑵的解为；　⑶的解是．所以所求的的取值范围为．【解后反思】本题实质上是解不等式，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解． 要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面．例5 已知幂函数y＝x(p∈Z)，在(0，＋∞)内，y随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称．⑴ 求p值及相应的f(x)；⑵ 对于⑴中所求函数f(x)，设函数， 问是否存在，使得g(x)在区间上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f(x)在(0，＋∞)内，y随x的增大而增大．则－p2＋p＋＞0，解之－1＜p＜3，又p∈Z，∴p＝0，1，2；又f(x)图象关于y轴对称．∴－p2＋p＋是偶数，∴p＝1，f(x)＝x2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助．二．理解数学：1． ⑴求函数y＝(x＋2)－2的定义域．值域．讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y＝x－2的图象有何关系？解⑴；R＋．当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞－2时，y随x的增大而减小．⑵将的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋【课后提升】１．函数的定义域是          ．2．函数的值域是      ［0，1］      ．3．函数的单调递减区间为           ．4．若a＜a，则a的取值范围是              ．5．函数y＝的定义域是                ．6．函数y＝在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y＝x2，y＝x有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______．8．已知函数y＝．　　（1）求函数的定义域．值域；　　（2）判断函数的奇偶性；　　（3）求函数的单调区间． 解：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝，　　（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，　　∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．　　（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．　　（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，　　∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．www.gkxx.com