数学3.2.2 对数函数教学设计

对数函数

教学目标：

使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化.

教学重点：

利用对数函数单调性比较同底对数大小.

教学难点：

不同底数的对数比较大小.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：

当a＞1时，y＝logax在（0,+∞）上是增函数；

当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数.

这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用.

Ⅱ.讲授新课

［例1］比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5  (3)log0.31.8，log0.32.7  (3)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)

分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.

解：（1）考查对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5

(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7

［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.

解：（3）当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9

当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9

评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.

［例2］比较下列各组中两个值的大小：

（1）log67，log76  (2)log3π，log20.8

分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.

解：（1）∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76

（2）∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8

评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较.

［例3］求下列函数的定义域、值域：

⑴ y＝              ⑵ y＝log2（x2＋2x＋5）

⑶ y＝log（－x2＋4x＋5）        ⑷ y＝（0＜a＜1）

解：⑴要使函数有意义，则须：

    2－≥0 即：－x2－1≥－2    得－1≤x≤1

    ∵－1≤x≤1  ∴－1≤－x2≤0 从而 －2≤－x2－1≤－1

∴≤2≤   ∴0≤2－≤  ∴0≤y≤

    ∴定义域为[－1，1]，值域为[0，]

⑵∵x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立

    ∴函数定义域为R

    从而log2（x2＋2x＋5）≥log24＝2  即函数值域为[2，＋∞）

⑶要使函数有意义，则须：

    －x2＋4x＋5＞0得x2－4x－5＜0解得－1＜x＜5

    由－1＜x＜5    ∴在此区间内 （－x2＋4x＋5）max＝9

    ∴ 0≤－x2＋4x＋5≤9

    从而 log（－x2＋4x＋5）≥log9＝－2  即：值域为 y≥－2

    ∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）

⑷要使函数有意义，则须：

由①：－1＜x＜0   

由②：∵0＜a＜1时 则须 －x2－x≤1，x∈R

    综合①②得  －1＜x＜0

    当－1＜x＜0时  （－x2－x）max＝     ∴0＜－x2－x≤

∴loga（－x2－x）≥loga            ∴ y≥   

∴定义域为(－1，0)，值域为[，＋∞）

Ⅲ.课堂练习

课本P69练习3

补充：比较下列各题中的两个值的大小

（1）log20.7，log0.8             （2）log0.30.7， log0.40.3

（3）log3.40.7，log0.60.8，（）         （4）log0.30.1， log0.20.1

解：（1）考查函数y＝log2x

∵2＞1，   ∴函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数

又0.7＜1，        ∴log20.7＜log21＝0

再考查函数y＝logx

∵0＜＜1        ∴函数y＝logx在（0，+∞）上是减函数

又1＞0.8，        ∴log0.8＞log1＝0

∴log20.7＜0＜log0.8          ∴log20.7＜log0.8

（2）log0.30.7＜log0.40.3

（3）log3.40.7＜log0.60.8＜（）

（4）log0.30.1＞log0.20.1

要求：学生板演，老师讲评

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.

Ⅴ.课后作业

课本P70习题   3