2013-2014学年高中数学同步训练：第3章 三角恒等变换 3.1.3 （苏教版必修4） Word版含答案

3.1.3　两角和与差的正切

一、填空题

1.＝________.

2．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于________．

3．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是________．

4．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是________．

5．已知tan＝2，则的值为______．

6．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.

7．tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________.

8．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.

二、解答题

9．求下列各式的值：

(1)；

(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．

10．在△ABC中，求证：

tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1.

11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．

三、探究与拓展

12．已知在△ABC中，0<A<，0<B<，sin A＝，tan(A－B)＝－.

求：(1)tan B的值；(2)A＋2B的大小．

答案

1．－　2.　3.－7　4.  5.  6．－　7.1  8．1

9．解　(1)原式＝

＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)

＝＝＝2－.

(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°

＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°

＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°

＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.

10．证明　∵A＋B＋C＝180°，

∴＋＋＝90°.

∴＝90°－.∴tan

＝tan＝.

∴tan·tan ＝1.

∴＝1，

∴tan tan ＋tan tan ＝1－tan tan .

即tan tan ＋tan tan ＋tan tan ＝1.

11．解　由条件得cos α＝，cos β＝.

∵α，β为锐角，

∴sin α＝＝，

sin β＝＝.

因此tan α＝＝7，

tan β＝＝.

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，

∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.

∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，

∴α＋2β＝.

12．解　(1)∵A，B是锐角，sin A＝，

∴cos A＝，tan A＝，

∴tan B＝tan[A－(A－B)]＝

＝＝(或解tan(A－B)＝＝

＝－，∴tan B＝)．

(2)∵tan B＝，

∴tan 2B＝＝＝，

∴tan(A＋2B)＝

＝＝1.

又tan A＝<1，tan B＝<1.

∵A，B是锐角，

∴0<A<，0<B<，

∴0<A＋2B<.

∴A＋2B＝.