2013-2014学年高中数学同步课堂活页训练：第三章 三角恒等变换3.1.3 （苏教版必修4） Word版含解析

1．已知tan α＝4，＝，则tan(α＋β)＝________.解析　tan β＝3.∴tan(α＋β)＝＝＝－.答案　－2．在三角形ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C＝________.解析　由已知得，tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－.所以tan(A＋B)＝＝－2，故tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.答案　23.＝________.解析　原式＝＝tan 120°＝－.答案　－4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°的值是________．解析　tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝tan(20°＋40°)·(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 20°·tan 40°＝－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝.答案　5．已知tan α＝2，tan(α－β)＝－，则tan β＝________.解析　tan β＝tan＝＝＝－13.答案　－136．已知tan＝.(1)求tan α的值；(2)求的值．解　(1)∵tan＝，∴＝.∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－.(2)＝tan α－＝－－＝－.7．已知tan＝2，则的值为________．解析　tan＝2，∴＝2，解得tan α＝.＝＝＝＝.答案　8.的值为________．解析　原式＝－＝＝＝＝.答案　9．在△ABC中，若0<tan A·tan B<1，则△ABC一定是________三角形．解析　tan C＝－tan(A＋B)＝－，因为0<tan Atan B<1，tan A>0且tan B>0，∴tan C<0，∴C为钝角，△ABC为钝角三角形．答案　钝角10．已知A、B为△ABC的内角，并且(1＋tan A)(1＋tan B)＝2则A＋B＝________.解析　(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A·tan B＝2，又∵tan(A＋B)＝∴1＋tan(A＋B)－tan(A＋B)·tan A·tan B＋tan A·tan B＝2∴tan(A＋B)＝1又因为A、B都为三角形内角∴A＋B＝.答案　11．设tan α、tan β是方程x2－3x－3＝0的两实根．求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．解　由题意知：tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝＝.∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝＝＝＝－3.12．已知tan α，tan β是一元二次方程3x2＋5x－2＝0的两个根，且α∈，β∈.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解　(1)解方程3x2＋5x－2＝0，得x1＝，x2＝－2.∵α∈，β∈，∴tan α＝，tan β＝－2.∴tan(α－β)＝＝＝7.(2)由(1)得tan(α＋β)＝＝＝－1.∵α∈，β∈，∴α＋β∈，∴α＋β＝π.13．(创新拓展)是否存在锐角α和β，使得(1)α＋2β＝；(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解　由(1)得＋β＝，∴tan＝＝.将(2)代入上式，得tan＋tan β＝3－.∴tan，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，解此方程得x1＝1，x2＝2－.由于0＜＜，所以tan不可能等于1，从而tan＝2－，tan β＝1，∵0＜β＜，∴β＝将β＝代入(1)得α＝，∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立.