2013高中新课程数学（苏教版必修四） 第四课时 弧度制（二）教案练习题

第四课时  弧度制(二)

教学目标：

理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.

教学重点：

角的集合与实数集R之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.

教学难点：

弧度制的简单应用

教学过程：

角的集合与实数集R之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢?

l＝｜α｜r，其中l表示弧长，r表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.

扇形的面积公式S＝lＲ.其中l是扇形的弧长，R是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些?

能够写出弧度制下扇形的面积公式吗?即用角的弧度数α与圆的半径R表示扇形的面积.

S＝｜α｜Ｒ2.

引入弧度制有什么好处呢?

弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.

［例1］已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.

解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S

∵c＝2R＋l，∴R＝ (l＜c)

则S＝Rl＝×·l＝(cl－l2)

＝－(l2－cl)＝－(l－)2＋

∴当l＝时，Smax＝

答：当扇形的弧长为 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是.

［例2］一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.

分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM.

解：设扇形的半径为R cm.∠AOB=α rad.

据题意     解之得

过O作OM⊥AB交AB于M.

则AM＝BM＝AB.

在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1

故∠AOB＝2 rad.该AB的长为2sin1厘米.

Ⅱ.课堂练习

课本P10练习  5、6

Ⅲ.课时小结

这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.

Ⅳ.课后作业

（一）课本P10习题  8、9、13.

（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P12~P15)

2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?

弧度制(二)

1．一钟表的分针长10 cm，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm.  （    ）

A.70          B.              C. －4     D.  

2．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是_____cm2.（    ）

A. －4                             B. －4

C. －4                             D. －2

3．设集合M＝{α|α＝kπ±，k∈Z}，N＝{α|α＝kπ＋(－1)k ，k∈Z}那么下列结论中正确的是                                                                （    ）

A.M＝N        B.MN              C.N M    D.MN且NM

4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为       （    ）

A.            B.                   C.             D.2    

5．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.   

6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角

的         倍.                

7．若角α的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是         .                  

8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.

9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.

10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

弧度制(二)答案

1．D  2．C  3．C  4．C  5．4  6．  7．π  π  π  π

8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.

解：α＝120°＝rad

∴S＝r2α＝×32×＝3π(面积单位）

答：扇形的面积为3π面积单位.

9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.

解：由已知可得r＝,      ∴l＝r·α＝

S扇＝l·r＝·r2·α＝·＝

10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：∵l＝20－2r

∴S＝lr＝ (20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25

∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2

此时，α＝＝＝2(rad)

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