数学高中二年级 第二学期11.2直线的倾斜角和斜率教学设计

11.2 直线的倾斜角和斜率

                        上海市控江中学  沈烨

　一、教学内容分析

本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念.引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和轴间的相对位置关系，是由于进一步研究直线方程的需要.在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.

本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个.

二、教学目标设计

理解倾斜角与斜率的概念; 建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题.

三、教学重点及难点

直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系；

已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个.

四、教学用具准备

投影仪，ppt演示

五、教学流程设计

六、教学过程设计          

一、复习引入

第一节中，我们学习了一次方程是直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲线.任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们构成的角就可以算出.我们取轴作为第三条直线，考虑任意直线与轴构成的角.

二、讲授新课

1、概念引入

    什么是倾斜角？

给出一些与轴相交的直线（如），学生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念.

若直线与轴相交于点，将轴绕点逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角.

那么的倾斜角怎么规定呢？当直线与轴平行或重合（即与轴垂直）时，规定其倾斜角.

根据定义，直线的倾斜角的取值范围是.特别地，与轴垂直时，.

        什么是斜率

当时，记的正切值为，把叫做直线的斜率；当时，直线的斜率不存在.

2、概念深化

             随着倾斜角在内的取值逐渐增大，斜率的值如何变化呢？

当时，斜率存在，作出在的图像，正切函数在区间为单调增，在区间内也是单调增，但在内，却不具有单调性.

得到以下结论：

(1)

随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，.

(2)

随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，.

反之，

        直线的倾斜角、斜率、方向向量之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？

（1）已知倾斜角

当时，；当时，斜率不存在.

方向向量.特别地，当时，显然，则也是直线的一个方向向量.

（2）已知斜率（）

当时，由，故倾斜角；当时，由，故.

由于，直线的一个方向向量.

（3）已知一个方向向量

当时，直线垂直轴，不存在，；当时， 也是一个方向向量，而存在，再由上面的分析知也是方向向量，故（这个结论也可以从几何角度研究得到）；倾斜角的研究要根据的符号讨论（请学生课后自行完成）.

思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成）

3、例题解析

例1．已知直线上两点，求直线的倾斜角和斜率.

（1）；

（2）；

（3）.

[说明]本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握.

一般，当时，过两点的直线的斜率；当时，直线斜率不存在.

解：（1）直线的一个方向向量为，故，

（2）直线的一个方向向量为，故不存在，；

（3）直线的一个方向向量为，故，；

思考：已知直线过两点，直线的倾斜角和斜率是什么？

例2．（1）已知直线斜率，求倾斜角及一个方向向量；（2）已知直线的一个方向向量为，求直线的倾斜角和斜率.

[说明]本题考察直线倾斜角、斜率、方向向量之间的关系.

解：（1）,故为钝角，；直线的一个方向向量；

（2），.

注意：通过求时，要先判断的符号，若为锐角；若为钝角；若.

例3. 已知，当取何值时，直线的倾斜角为锐角、直角、钝角？

[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率的关系.

解：若直线的倾斜角为锐角，则，故或；若直线的倾斜角为直角，则不存在，故；若直线的倾斜角为钝角，则，故

思考：时，直线的倾斜角为何值？

例4. 求直线的倾斜角的范围

[说明]本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用.

解：设倾斜角为，由题意知斜率；

当时，为钝角，，由，

得；

当时，为锐角，得；

当时，；

综上所述，倾斜角的取值范围是.

[说明]上题的不是倾斜角.解题时需注意当的符号不同时须分开讨论，因为，倾斜角为锐角；，倾斜角为钝角.

思考：若已知倾斜角，斜率的取值范围是什么？

例5．已知，若直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率

[说明]本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用.

解：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为.由得.由已知，即.解得，由得，故，直线的斜率为.

[说明]倾斜角的范围是一个隐含的条件，由它得到的是一个舍解的条件.

例6．已知，直线过点且与线段相交，求：

（1）      直线的斜率的取值范围；

（2）      直线的倾斜角的范围.

[说明] 本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用解：（1）；（2）当时，倾斜角；当时，；又也符合题意，综上，.

[说明]先画出图形，在学习解析几何时要多注意数形结合.

三、巩固练习

         已知直线的倾斜角为，且，则直线的斜率为.

         经过点两点的直线的斜率是_________,倾斜角是__________ .

         下列命题中正确的是__________

             若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；

             若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；

             若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率也大；

             若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大.

         过的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是____________

         直线的倾斜角的取值范围是_______________.

         过的直线与轴的正半轴没有公共点，求直线的倾斜角的范围.

         直线的倾斜角大小为，与轴交于点，将绕逆时针旋转角得直线，求的方程.

[说明]相关的例题和练习请教师根据学生的实际选用.

四、课堂小结

1. 倾斜角与斜率的概念；

2．斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的相互联系.

五、课后作业书面作业： 习题11 .2A组1-10，B组1-3

七、教学设计说明

1．分类讨论的思想

在这节里，斜率和倾斜角的以下关系经常被用到：为锐角；为钝角；不存在，.已知，若，；若，斜率不存在.已知，就要根据的符号来分类求.

2．数形结合的思想

解析几何是用代数方法研究几何问题的，所以数形结合的思想非常重要.本节中倾斜角、斜率都有其几何意义，结合图形会使问题更直观，易于理解和解决.这种思想在以后的各节也有很多应用.