2021-2022学年山东省临沂市平邑县九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省临沂市平邑县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了填空题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省临沂市平邑县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将唯一正确答案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）
4．（3分）已知点P的坐标为（3，﹣5），则点P关于原点的对称点P′的坐标可表示为（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1＝0的一个解是0，则m的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）

A．60° B．75° C．85° D．90°
7．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　）

A．155° B．140° C．130° D．110°
8．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（　　）


A．4 B．4 C．4 D．3
10．（3分）二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则m取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
12．（3分）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题：（每题4分，共24分）
13．（4分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是　 　．
14．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．
15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝　 　．
16．（4分）如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是优弧AB上一点，若∠ACB＝35°，则∠P的度数是　 　°．

17．（4分）把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系：h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第　 　秒．
18．（4分）如图，⊙O的半径为3，点A是⊙O外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接OA、OP．则线段OP的最大值是　 　．

三、解答下列各题（共60分）
19．（10分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．
20．（8分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE＝3，则EF＝　 　．

21．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．


2021-2022学年山东省临沂市平邑县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将唯一正确答案的序号字母选出，然后用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑
1．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝14 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x+3）2＝4
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：B．
3．（3分）将抛物线y＝2x2﹣1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，1）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1向左平移1个单位长度，得：y＝2（x+1）2﹣1；
再向上平移2个单位长度，得：y＝2（x+1）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（﹣1，1）．
故选：D．
4．（3分）已知点P的坐标为（3，﹣5），则点P关于原点的对称点P′的坐标可表示为（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：点P的坐标为（3，﹣5），则点P关于原点的对称点P′的坐标可表示为：（﹣3，5）．
故选：B．
5．（3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1＝0的一个解是0，则m的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝0代入方程得到关于m的方程，解得m＝±1，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m＝±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故选：D．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（　　）

A．60° B．75° C．85° D．90°
【分析】根据旋转的性质知，旋转角∠EAC＝∠BAD＝65°，对应角∠C＝∠E＝70°，则在直角△ABF中易求∠B＝25°，所以利用△ABC的内角和是180°来求∠BAC的度数即可．
【解答】解：根据旋转的性质知，∠EAC＝∠BAD＝65°，∠C＝∠E＝70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB＝90°，
∴在Rt△ABF中，∠B＝90°﹣∠BAD＝25°，
∴在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣25°﹣70°＝85°，即∠BAC的度数为85°．
故选：C．

7．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　）

A．155° B．140° C．130° D．110°
【分析】先根据垂径定理得到＝，再根据圆周角定理得∠BOD＝2∠CAB＝50°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
8．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为6m2﹣9m+2021＝3（2m2﹣3m）+2021，即可求解．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2021
＝3（2m2﹣3m）+2021
＝3×1+2021
＝3+2021
＝2024，
故选：D．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝（　　）


A．4 B．4 C．4 D．3
【分析】先根据切线的性质得∠OAP＝90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP＝OA＝4，接着计算出∠C＝30°，从而得到AC＝AP＝4．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，AP＝OA＝4，
∵∠AOP＝∠C+∠OAC＝60°，
而∠C＝∠OAC，
∴∠C＝30°，
∴AC＝AP＝4．
故选：A．

10．（3分）二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则m取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
【分析】利用二次函数的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）≥0，
解得m≤3且m≠2．
故选：D．
11．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：
（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）若点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【分析】根据对称轴可判断（1）；根据当x＝﹣2时y＜0可判断（2）；由图象过点（﹣1，0）知a﹣b+c＝0，即c＝﹣a+b＝﹣a﹣4a＝﹣5a，从而得5a+3c＝5a﹣15a＝﹣10a，再结合开口方向可判断（3）；根据二次函数的增减性可判断（4）．
【解答】解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，（1）正确；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，（2）错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴﹣4a＝a+c，
∴c＝﹣5a，
∴5a+3c＝5a﹣15a＝﹣10a，
∵抛物线的开口向下
∴a＜0，
∴﹣10a＞0，
∴5a+3c＞0；（3）正确；
∵图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∵点A（﹣2，y1），点B（，y2），点C（，y3），
由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x＝2，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，
∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；
故选：A．
12．（3分）如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先求得正六边形的内角和，从而可知阴影部分的面积等于两个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式．
【解答】解：∵正六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴y＝2πx2．
当x＝5时，y＝2π×25＝50π．
故选：D．
二、填空题：（每题4分，共24分）
13．（4分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是　3600（1﹣x）2＝2500　．
【分析】根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3600（1﹣x）2＝2500，
故答案为：3600（1﹣x）2＝2500．
14．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y2＞y3　．
【分析】根据题意画出函数图象解直观解答．
【解答】解：如图：y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．

15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝　0　．
【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
16．（4分）如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是优弧AB上一点，若∠ACB＝35°，则∠P的度数是　20　°．

【分析】如图，连接OA．首先证明∠OAP＝90°，根据圆周角定理∠AOP＝2∠ACB＝70°，再根据直角三角形的两锐角互余，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA．

∵PA是⊙O切线，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝2∠ACB＝70°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝20°，
故答案为20°．
17．（4分）把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系：h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第　2　秒．
【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标．
【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，
又∵﹣5＜0，
∴抛物线开口向下，有最高点，
此时，t＝﹣＝2（秒）．
故答案为2；
18．（4分）如图，⊙O的半径为3，点A是⊙O外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接OA、OP．则线段OP的最大值是　　．

【分析】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．利用三角形中位线定理求出PT，根据OP≤PT+OT，可得结论．
【解答】解：如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．

∵OA＝6，OT＝3，
∴OT＝TA，
∵AP＝PB，
∴PT＝OB＝，
∵OP≤PT+OT，
∴OP≤，
故答案为：．
三、解答下列各题（共60分）
19．（10分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得，
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
20．（8分）如图，E是正方形ABCD中CD边上一点，以点A为中心把△ADE顺时针旋转90°．
（1）在图中画出旋转后的图形；
（2）若旋转后E点的对应点记为M，点F在BC上，且∠EAF＝45°，连接EF．
①求证：△AMF≌△AEF；
②若正方形的边长为6，AE＝3，则EF＝　5　．

【分析】（1）在CB的延长线上截取BM＝DE，则△ABM满足条件；
（2））①由旋转性质得AM＝AE，∠MAE＝90°，则∠MAF＝∠EAF＝45°，则可根据“SAS”判断△AMF≌△AEF；
②由△AMF≌△AEF得到EF＝MF，即ME＝BF+MB，加上BM＝DE，所以EF＝BF+DE，再利用勾股定理计算出DE＝3，则CE＝3，设EF＝x，则BF＝x﹣3，CF＝9﹣x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到（9﹣x）2+32＝x2，然后解方程求出x即可．
【解答】（1）解：如图，△ABM为所作；

（2）①证明：∵ABCD 是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∴AM＝AE，∠MAE＝90°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝45°，
∴∠MAF＝∠EAF，
在△AMF和△AEF中
，
∴△AMF≌△AEF；
②解：∵△AMF≌△AEF，
∴EF＝MF，
即ME＝BF+MB，
而BM＝DE，
∴EF＝BF+DE，
在Rt△ADE中，DE＝＝3，
∴CE＝6﹣3＝3，
设EF＝x，则BF＝x﹣3，
∴CF＝6﹣（x﹣3）＝9﹣x，
在Rt△CEF中，∵CF2+CE2＝EF2，
∴（9﹣x）2+32＝x2，解得x＝5，
解EF＝5．
故答案为5．
21．（10分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+200；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+280x﹣8000；
（3）∵W＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，
当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800，
答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70≤x≤80时，W随x的增大而减小，售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C＝45°，
（1）求∠ABD的度数；
（2）若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．

【分析】（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数；
（2）连接AC，则可得∠CAB＝∠CDB＝30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠C＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°；

（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6，
∴⊙O的半径为3．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90°，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；


（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，

∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；
（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．

【分析】（1）把A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式求解即可；
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0）．然后依据S△AOM＝2S△BOC列方程求解即可；
（3）设直线AC的解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），C（0，2）代入可求得直线AC的解析式，设N点坐标为（x，x+2），（﹣2≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣x+2），然后列出ND与x的函数关系式，最后再利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y＝﹣x2+mx+n，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2．

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM＝2S△BOC列方程可得：
•AO×|n|＝2××OB×OC，
∴×2×|﹣m2﹣m+2|＝2，
∴m2+m＝0或m2+m﹣4＝0，
解得x＝0或﹣1或，
∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入
得到，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），
ND＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴x＝﹣1时，ND有最大值1．
∴ND的最大值为1．