2021-2022学年山东省菏泽市单县九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年山东省菏泽市单县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省菏泽市单县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置）
1．（3分）30°角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
3．（3分）下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°
7．（3分）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　）

A．7km B．14km C．7km D．14km
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为　 　．
10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则BC的长是 　 　．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则tan∠OBC＝　 　．

12．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　 　．

13．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为　 　s．

14．（3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是　 　．

三、解答题（本题共78分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内
15．（6分）计算：tan30°sin60°﹣cos230°+sin245°tan45°．
16．（6分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．

17．（6分）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A（﹣1，0）在x轴上．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧；
（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．

18．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，△ABC的面积为27，求△ADE的面积．

19．（7分）如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．
（1）求证：∠DCB＝∠ADB；
（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．

20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．

21．（10分）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．

22．（10分）如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

24．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．


2021-2022学年山东省菏泽市单县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项的序号涂在答题卡相应位置）
1．（3分）30°角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：由特殊锐角的三角函数值可知，
tan30°＝，
故选：A．
2．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△ABC的面积＝AC×BC＝AB×CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选：A．

3．（3分）下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大（或缩小）得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】位似就是特殊的相似，因而第一个是正确的；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因而斜边上的中线与斜边的比为1：2；相似形面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
【解答】解：①位似图形都相似，③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2，正确．
故选：B．
4．（3分）在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【解答】解：由（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，得
2cosA＝，1﹣tanB＝0．
解得A＝45°，B＝45°，
则△ABC一定是等腰直角三角形，
故选：D．
5．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】已知直线AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF
∴
∵AC＝3，CE＝4
∴＝．
故选：C．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝130°，
∴∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣25°﹣50°＝105°，
故选：B．
7．（3分）如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　）

A．7km B．14km C．7km D．14km
【分析】作BH⊥AM于H，根据题意标注方向角，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的概念进行计算即可．
【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB于点C，过点B作BN⊥AM于点N，

由题意得，∠MAB＝30°，∠MBC＝75°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠AMB，
∴∠AMB＝∠NAM＝45°，
∴BN＝MN，
∵AB＝28×0.5＝14km，
∴BN＝＝7km，
∴BM＝NB＝7（km）．
故选：A．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴∠BAF＝∠F＝∠DAF，∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，
∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且CF＝CE，
∴EC＝FC＝DF﹣DC＝9﹣6＝3，＝，
在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，
∴AG＝＝2，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：D．

二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为　1：16　．
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的面积比为1：16．
故答案为1：16．
10．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则BC的长是 　6　．
【分析】根据∠A的正切值用AC表示出BC，再利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：∵tanA＝，
∴＝，
∴BC＝AC，
在△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
即AC2+（AC）2＝102，
解得AC＝8，
∴BC＝×8＝6，
故答案为：6．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C，且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则tan∠OBC＝　　．

【分析】连接CE，如图，利用圆周角定理得到CE为⊙A的直径，再利用线段的中点坐标公式得到E（﹣6，0），C（0，4），即OE＝6，OC＝4，利用正切的定义得到tan∠CEO＝，然后根据圆周角定理得到∠CBO＝∠CEO，从而得到tan∠CBO的值．
【解答】解：连接CE，如图，
∵∠COE＝90°，
∴CE为⊙A的直径，
即点A为CE的中点，
∵A（﹣3，2），
∴E（﹣6，0），C（0，4），
∴OE＝6，OC＝4，
在Rt△COE中，tan∠CEO＝＝＝，
∵∠CBO＝∠CEO，
∴tan∠CBO＝．
故答案为．

12．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　　．

【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，
∵在Rt△ACB中∠B＝45°，
∴AB＝AC，
∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，
∴CD＝＝AC，
∴＝＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为　2.4或1.5　s．

【分析】先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．
【解答】解：由题意得DN＝2t，AN＝6﹣2t，AM＝t，
∵矩形ABCD的边长AB＝CD＝3cm，AC＝3cm，由
勾股定理得，AD＝＝6（cm），
若△NMA∽△ACD，
则有＝，即＝，
解得t＝1.5，
若△MNA∽△ACD
则有＝，即＝，
解得t＝2.4，
答：当t＝1.5秒或2.4秒时，△AMN与△ACD相似．
故答案为：1.5或2.4．
14．（3分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是　①②③④　．

【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵点A是劣弧的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D＝30°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵点A是劣弧的中点，
∴BC＝2CE，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB＝6cm，
∴BE＝AB•cos30°＝6×＝3cm，
∴BC＝2BE＝6cm，故②正确；
∵∠AOB＝60°，
∴sin∠AOB＝sin60°＝，
故③正确；
∵∠AOB＝60°，
∴AB＝OB，
∵点A是劣弧的中点，
∴AC＝AB，
∴AB＝BO＝OC＝CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
故答案为：①②③④．

三、解答题（本题共78分把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内
15．（6分）计算：tan30°sin60°﹣cos230°+sin245°tan45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣（）2+（）2×1
＝﹣+
＝．
16．（6分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若AD＝6，DE＝4，求CE的长．

【分析】（1）根据AD∥BC，可以证得∠ADE＝∠DEC，又有∠CDE＝∠DAE即可证得△ADE∽△DEC；
（2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
又∵∠CDE＝∠DAE，
∴△ADE∽△DEC；

（2）解：∵△ADE∽△DEC，
∴＝，
∵AD＝6，DE＝4，
∴＝，
∴CE＝．
17．（6分）如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，O为直角坐标系的原点，点A（﹣1，0）在x轴上．
（1）以O为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1，要求所画△A1B1C1与△ABC在原点两侧；
（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．

【分析】（1）连接OA并延长，使OA1＝2OA，同法得到其余各点，顺次连接即可；
（2）根据所得图形及网格图即可得出答案．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：


（2）A1、B1、C1的坐标分别为：（2，0），（4，﹣4），（6，﹣2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：1，△ABC的面积为27，求△ADE的面积．

【分析】由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵AD：DB＝2：1，
∴＝．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴＝（）2，即＝，
解得：S△ADE＝12，
∴△ADE的面积为12．
19．（7分）如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．
（1）求证：∠DCB＝∠ADB；
（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和圆周角定理即可证明；
（2）证明△ADB∽△ACD，对应边成比例，根据特殊角三角函数即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵AD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODB+∠ADB＝90°，
∵CB是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ODB+∠ODC＝90°，
∴∠ODC＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠C＝∠ADB；
（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，
∴△ADB∽△ACD，
∴＝，
∵CB是直径，
∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，
∴tan∠DCB＝＝，
∴＝，
∵AC＝3，
∴AD＝3．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cos∠ADE的值；
（2）当DE＝DC时，求AD的长．

【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠B，根据勾股定理得到AB＝13，由三角函数的定义即可得到结论；
（2）由（1）得，设AD为x，则，由于AC＝AD+CD＝12，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；

（2）由（1）得，
设AD为x，则，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
21．（10分）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．
（1）求证：DB＝DC；
（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧的长度．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，圆周角定理得到∠DCB＝∠DBC，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝60°，∠CDB＝∠CAB＝30°，得到△COB为等边三角形，求出OC，∠COD，根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵A，D，C，B四点共圆，
∴∠EAD＝∠DCB，
由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC；
（2）解：由圆周角定理得，∠COB＝2∠CAB＝60°，∠CDB＝∠CAB＝30°，
∴△COB为等边三角形，
∴OC＝BC＝4，
∵DC＝DB，∠CDB＝30°，
∴∠DCB＝75°，
∴∠DCO＝15°，
∴∠COD＝150°，
则劣弧的长＝＝π．

22．（10分）如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题：
（1）求坡顶A到地面PQ的距离；
（2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为H，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，利用勾股定理即可求出结果；
（2）延长BC交PQ于点D，根据题意可得四边形AHDC是矩形，设BC＝x，则x+10＝24+DH．AC＝DH＝（x﹣14）m．利用正切列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴．
设AH＝5k，则PH＝12k，
在Rt△AHP中，由勾股定理，得
．
∴13k＝26，
解得k＝2．
∴AH＝10（m）．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．；

（2）如图，延长BC交PQ于点D，
由题意可知四边形AHDC是矩形，
∴CD＝AH＝10m，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°，
∴PD＝BD．
∵PH＝12×2＝24（m），
设BC＝x，则x+10＝24+DH．
∴AC＝DH＝（x﹣14）m．
在Rt△ABC中，，
即．
解得x≈19（m）．
答：信号塔BC的高度约为19m．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BC2＝4CF•AC；
（3）若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．

【分析】（1）如图所示，连接OD，证明∠CDF+∠ODB＝90°，即可求解；
（2）证明△CFD∽△CDA，则CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则AD⊥BC，又AB＝AC，
则DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，
∴∠C＝75°，
∵△CFD∽△CDA，
∴∠CDF＝∠CAD，
∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OEsin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OEsin∠OEA＝4，
S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．
24．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB＝　75　°，AB＝　4　．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．

【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，结合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角对等边可得出AB＝AD＝4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE＝4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【解答】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB＝∠OAC＝75°．
∵∠BOD＝∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴＝＝．
又∵AO＝，
∴OD＝AO＝，
∴AD＝AO+OD＝4．
∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，
∴AB＝AD＝4．
故答案为：75；4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝＝．
∵BO：OD＝1：3，
∴＝＝．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝4．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4）2+BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即82+122＝CD2，
解得：CD＝4．