2021-2022学年山东省临沂市兰陵县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年山东省临沂市兰陵县九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省临沂市兰陵县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知点A（1，﹣1），点A关于原点的对称点是B，那么点B的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
4．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
5．（3分）若在同一平面直角坐标系中，作y＝3x2，y＝x2﹣2，y＝﹣2x2+1的图象，则它们（　　）
A．开口方向相同 B．互相可以通过平移得到
C．都经过原点 D．都关于y轴对称
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　）

A．150° B．130° C．105° D．75°
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝8，则⊙O半径为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．（3分）对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
11．（3分）如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是（　　）

A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将线段BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好落在边AC上的点D处，则∠BDC的度数为（　　）

A．70° B．72° C．75° D．80°
13．（3分）滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为（　　）

A．40m B．48m C．56m D．72m
14．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每小题4分，共20分）
15．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　．
16．（4分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 　 　．
17．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为　 　．

18．（4分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠ADC＝30°，则∠OCA＝　 　．

19．（4分）如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为　 　s．

三、解答题（共58分）
20．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
21．（12分）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．

22．（12分）如图，点P在正方形ABCD的边AD上（P不与A，D重合），连接PC，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PE，连接DE．
求证：△PDE的面积S＝PD2．

23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

24．（13分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的动点（不与A、B重合），将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°得到点Q′，连接OQ′，求OQ′的最小值．


2021-2022学年山东省临沂市兰陵县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）已知点A（1，﹣1），点A关于原点的对称点是B，那么点B的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系进行判断即可．
【解答】解：点A（1，﹣1）关于原点的对称点B的坐标为（﹣1，1），
故选：B．
4．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴分别交于（﹣1，0），（5，0）两点，当自变量x＝1时，函数值为y1；当x＝3，函数值为y2．下列结论正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】根据抛物线与x轴两交点分别是（﹣1，0），（5，0），先求对称轴，再借助对称轴求解．
【解答】解：由抛物线与x轴交点坐标可知，对称轴是直线x＝＝2，
而x＝1，x＝3对应的两点也关于直线x＝2对称，
所以函数值也相等．
故选：B．
5．（3分）若在同一平面直角坐标系中，作y＝3x2，y＝x2﹣2，y＝﹣2x2+1的图象，则它们（　　）
A．开口方向相同 B．互相可以通过平移得到
C．都经过原点 D．都关于y轴对称
【分析】写出题目中各个函数图象的开口方向、对称轴和当x＝0时对应的y的值，即可判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：函数y＝3x2的图象开口向上，对称轴是y轴，过点（0，0），
函数y＝x2﹣2的图象开口向上，对称轴是y轴，过点（0，﹣2），
函数y＝﹣2x2+1的图象开口向下，对称轴是y轴，过点（0，1），
故D符合题意，选项A、B、C不符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝105°，则∠α的度数为（　　）

A．150° B．130° C．105° D．75°
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可．
【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，

∵四边形ACBD内接与⊙O，∠ACB＝105°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣105°＝75°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝8，则⊙O半径为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选：C．

8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）

A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．

故选：B．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】分别得出OA，OM，ON，OP，OQ的长判断即可．
【解答】解：由图形可得：OA＝，OM＝，ON＝，OP＝，OQ＝5，
所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，
故选：C．
10．（3分）对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），当x＝2时，有最小值2，
故A、B、C说法错误，D说法正确，
故选：D．
11．（3分）如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是（　　）

A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：将△ADE绕点D顺时针旋转，得到△CDB，
∴∠ADE＝∠CDB，AD＝CD，AE＝BC，故A、B、D选项正确；
∵∠B＝∠E，但∠B不一定等于∠BDC，
∴BD不一定平行于AE，故C选项错误；
故选：C．
12．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将线段BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好落在边AC上的点D处，则∠BDC的度数为（　　）

A．70° B．72° C．75° D．80°
【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝72°，由旋转的性质可得BD＝BC，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵将线段BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好落在边AC上的点D处，
∴BD＝BC，
∴∠ACB＝∠BDC＝72°，
故选：B．
13．（3分）滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4s时，滑行距离为（　　）

A．40m B．48m C．56m D．72m
【分析】根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可．
【解答】解：观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为s＝at2+bt+c
将（1，4.5），（2，14），（3，28.5）代入得，
解得：，
∴近似地表示s关于t的函数关系式为s＝2.5t2+2t
当t＝4s时，s＝48m，
故选：B．
14．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，
【解答】解：B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，
如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，
S＝2×3＝6；
故选：B．

二、填空题（每小题4分，共20分）
15．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣3　．
【分析】根据关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，将x＝1代入可以得到m的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，
∴1+2+m＝0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．（4分）抛物线y＝x2+2x+2的顶点坐标是 　（﹣1，1）　．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
17．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC＝2，∠B＝60°，则CD的长为　2　．

【分析】直角三角形ABC中利用三角函数首先求得AB和BC的长，然后证明△ABD是等边三角形，根据CD＝BC﹣BD即可求解．
【解答】解：∵直角△ABC中，AC＝2，∠B＝60°，
∴AB＝＝2，BC＝＝4，
又∵AD＝AB，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝2．
故答案是：2．
18．（4分）如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠ADC＝30°，则∠OCA＝　60°　．

【分析】连接AB，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，∠B＝∠ADC＝30°，然后利用互余计算出∠ACB即可．
【解答】解：连接AB，如图，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
即∠OCA＝60°．
故答案为60．

19．（4分）如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为　7　s．

【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得0＝35t﹣5t2，
得t（35﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为7．
三、解答题（共58分）
20．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．
（1）求a、h的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出新抛物线解析式．
【解答】解：（1）将点（0，﹣3）和（3，0）分别代入y＝a（x﹣1）2+h，得
．
解得．
所以a＝1，h＝﹣4．

（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．
21．（12分）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BC．
22．（12分）如图，点P在正方形ABCD的边AD上（P不与A，D重合），连接PC，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PE，连接DE．
求证：△PDE的面积S＝PD2．

【分析】由旋转的性质可得PE＝CP，∠CPE＝90°，由“AAS”可证△EPG≌△PCD，可得EG＝PD，由三角形的面积公式可求解．
【解答】证明：作EG⊥AD，交AD的延长线于点G，

∵将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PE，
∴PE＝CP，∠CPE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PDC＝90°，
∵∠EPG+∠DPC＝90°，∠PCD+∠DPC＝90°，
∴∠EPG＝∠PCD，
在△EPG和△PCD中，
，
∴△EPG≌△PCD（AAS），
∴EG＝PD，
∴△PDE的面积S＝PD•EG＝PD2．
23．（12分）如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．

【分析】（1）利用“SAS”可证明△AOE≌△CDE；
（2）利用△AOE≌△CDE得到OA＝CD，∠AOE＝∠D，则可证明OB∥CD，于是可判断四边形OBCD为平行四边形，然后根据OB＝OD得到四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．

24．（13分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于B、A两点，Q是线段AB上的动点（不与A、B重合），将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°得到点Q′，连接OQ′，求OQ′的最小值．

【分析】作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于点N，先证明△PQM≌△Q′PN，得PN＝QM，Q′N＝PM，设点Q的坐标为（m，﹣m+2），表示出Q′点坐标为（3﹣m，|1﹣m|），再表示出OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2，整理后利用二次函数的性质求出OQ′2的最值，即可求解．
【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于点N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设点Q的坐标为（m，﹣m+2），
∵Q是线段AB上的动点，点P坐标为（1，0），
∴PM＝Q′N＝|m﹣1|，PN＝QM＝﹣m+2，
∴ON＝3﹣m，
∴Q′点坐标为（3﹣m，|1﹣m|），
∴OQ′2＝（3﹣m）2+（1﹣m）2
＝m2﹣5m+10
＝（m﹣2）2+5，
当m＝2时，OQ′2的值最小，最小值为5，
∴OQ′的值最小，最小值为．