2020-2021学年黑龙江省七台河市勃利县九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2020-2021学年黑龙江省七台河市勃利县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年黑龙江省七台河市勃利县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
3．（3分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　）

A．20° B．40° C．80° D．70°
5．（3分）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
8．（3分）正方形ABCD内一点P，AB＝5，BP＝2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（　　）
A． B． C．3 D．
9．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，本题满分30分）
11．（3分）点A（3，n）关于原点的对称点是B（﹣m，5），则m+n＝　 　．
12．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是　 　．
13．（3分）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是　 　．
14．（3分）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是　 　．
15．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　 　．
16．（3分）如图，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y＝x与⊙A的位置关系是　 　．

17．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是　 　．

18．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为　 　．
19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，若分别以点A，C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，则⊙A的半径r的取值范围是　 　．
20．（3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是　 　．

三、解答题（本题满分0分）
21．解方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1
（2）x2﹣4x＝4．
22．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．
（1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′．
（2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″．
（3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是　 　．

23．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．

24．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．

25．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
26．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，⊙O的半径为3，的长为π．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．

27．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．
（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？
（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？
28．如图，抛物线y＝x2+bx﹣c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式．
（2）点M是线段AC上的点（不与A，C重合）过M作MF∥y轴交抛物线于F，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MF的长．


2020-2021学年黑龙江省七台河市勃利县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，本题满分30分）
1．（3分）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
【分析】利用一元二次方程定义可得a﹣3≠0，再解不等式即可．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣2 B．直线x＝2 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【分析】直接根据顶点式的特点可直接写出对称轴．
【解答】解：因为抛物线解析式y＝（x﹣2）2+3是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线x＝2．
故选：B．
3．（3分）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
4．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，则∠BOD等于（　　）

A．20° B．40° C．80° D．70°
【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得：＝，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．
故选：B．
5．（3分）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】列举出所有情况，看恰为一男一女的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：

男1
男2
男3
女1
女2
男1

一
一
√
√
男2
一

一
√
√
男3
一
一

√
√
女1
√
√
√

一
女2
√
√
√
一

∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）＝．
故选：B．
6．（3分）把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
【分析】抛物线平移不改变a的值．
【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选：C．
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
解得：a≥1且a≠5．
故选：C．
8．（3分）正方形ABCD内一点P，AB＝5，BP＝2，把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，则PP'的长为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP＝BP′，∠PBP′＝90，则△BPP′为等腰直角三角形，由此得到
PP′＝BP，即可得到答案．
【解答】解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD为正方形，BA＝BC，
∴BP＝BP′，∠PBP′＝90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，
而BP＝2，
∴PP′＝BP＝2．
故选：A．
9．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
【分析】设出半径，作出△COB底边BC上的高，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解．
【解答】解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．

10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据正方形的性质得OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OBC＝16，于是S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣4t+16＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，本题满分30分）
11．（3分）点A（3，n）关于原点的对称点是B（﹣m，5），则m+n＝　﹣2　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得m、n的值，进而可得m+n的值．
【解答】解：∵点A（3，n）关于原点对称的点的坐标是B（﹣m，5），
∴m＝3，n＝﹣5，
∴m+n＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是　　．
【分析】将圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距、边长的一半、圆的半径构造直角三角形，根据勾股定理分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理判得该三角形是直角三角形，由三角形的面积公式即可求其面积．
【解答】解：如图1，

∵OC＝2，
∴OD＝OC＝1；
如图2，

∵OB＝2，
∴OE＝BE，
∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，
∴OE＝；
如图3，

∵OA＝2，
∴AD＝OA＝1，
∴OD＝＝，
则该三角形的三边分别为：1，，，
∵（1）2+（）2＝（）2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是：×1×＝，
故答案为：．
13．（3分）同时抛掷两枚硬币，恰好均为正面向上的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，
∴恰好均为正面向上的概率是，
故答案为：．
14．（3分）三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则三角形的周长是　6或12或10　．
【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，进行分情况计算．
【解答】解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2＝4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2＝10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
15．（3分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为　4　．
【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，
则AB＝|x2﹣x1|＝4．
16．（3分）如图，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y＝x与⊙A的位置关系是　相交　．

【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
根据勾股定理即可求得圆心到直线的距离．
【解答】解：作AB垂直于直线y＝x于B．
在等腰直角三角形AOB中，根据勾股定理得AB＝OB＝2＜3，所以直线和圆相交．
17．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是　（﹣2，0）或（2，10）　．

【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故答案为：（﹣2，0）或（2，10）．
18．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设每个支干长出x个小分支，则可得方程为　x2+x+1＝91　．
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故答案为x2+x+1＝91．
19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，若分别以点A，C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B在⊙C外，则⊙A的半径r的取值范围是　18＜r＜25或1＜r＜8　．
【分析】首先根据点D在⊙C内，点B在⊙C外，求得⊙C的半径是大于5而小于12；再根据勾股定理求得AC＝13，
最后根据两圆的位置关系得到其数量关系．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∵点D在⊙C内，点B在⊙C外，
∴⊙C的半径R的取值范围为：5＜R＜12，
∴当⊙A和⊙C内切时，圆心距等于两圆半径之差，则r的取值范围是18＜r＜25；
当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和是13，设⊙C的半径是Rc，即Rc+r＝13，
又∵5＜Rc＜12，
则r的取值范围是1＜r＜8．
所以半径r的取值范围是18＜r＜25或1＜r＜8．
20．（3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是　①③⑤　．

【分析】利用对称轴是直线x＝1判定①；利用开口方向，对称轴与y轴的交点判定a、b、c得出②；利用顶点坐标和平移的规律判定③；利用对称轴和二次函数的对称性判定④；利用图象直接判定⑤即可．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，①正确；
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
∵把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣2，0），④错误；
∵当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，
∴⑤正确．
正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
三、解答题（本题满分0分）
21．解方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝x+1
（2）x2﹣4x＝4．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3；
（2）方程整理得：x2﹣4x﹣4＝0，
这里a＝，b＝﹣4，c＝﹣4，
∵△＝16+32＝48，
∴x＝＝±，
解得：x1＝+，x2＝﹣．
22．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上．
（1）将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′．
（2）将△ABC向上平移1个单位，再向右平移5个单位得到△A″B″C″，请在图中画出△A″B″C″．
（3）若将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是　（2，﹣3）　．

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；

（2）如图所示：△A″B″C″，即为所求；

（3）将△ABC绕原点O旋转180°，A的对应点A1的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．

23．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，求该圆锥的高h的长．

【分析】根据题意，运用弧长公式求出AB的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：
2πr＝，而r＝2，
∴AB＝6，
∴由勾股定理得：
AO2＝AB2﹣OB2，而AB＝6，OB＝2，
∴AO＝4．
即该圆锥的高为4．

24．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值．
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．

【分析】（1）将点A坐标代入y＝x+m可得m的值．
（2）由函数图象中双曲线在直线上方时x的范围可得．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝x+m可得1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
（2）由函数图象可知不等式的解集为x＜1或x＞3．
25．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【分析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；
（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，
∴摸出一个球摸是黄球的概率为：＝；

（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，
由题意，得≥，
解得：x≥，
∵x为整数，
∴x的最小正整数解是x＝9．
答：至少取走了9个黑球．
26．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，⊙O的半径为3，的长为π．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据弧长公式求得∠BOC＝60°，进而求得∠D＝30°，然后根据三角形内角和定理求得∠OCD＝90°，即可证得CD是⊙O的切线；
（2）求得∠AOC＝120°，根据S阴影＝S扇形OAC﹣S△OAC求得即可．
【解答】（1）证明：连接OC，设∠BOC的度数为n°，则＝π，
解得n＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣∠BOC﹣∠D＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：作CH⊥OB于H，则CH＝OC•sin60°＝3×＝，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣×3×＝．

27．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．
（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？
（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？
【分析】（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；
（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80﹣m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论．
【解答】解：（1）设乙种套房提升费用为x万元，则甲种套房提升费用为（x﹣3）万元，
则，
解得x＝28．
经检验：x＝28是分式方程的解，
答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、28万元；

（2）设甲种套房提升a套，则乙种套房提升（80﹣a）套，
则2090≤25a+28（80﹣a）≤2096，
解得48≤a≤50．
∴共3种方案，分别为：
方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．
方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，
方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．
设提升两种套房所需要的费用为y万元，则
y＝25a+28（80﹣a）＝﹣3a+2240，
∵k＝﹣3，
∴当a取最大值50时，即方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套时，y最小值为2090万元．
28．如图，抛物线y＝x2+bx﹣c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求抛物线及直线AC的函数表达式．
（2）点M是线段AC上的点（不与A，C重合）过M作MF∥y轴交抛物线于F，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MF的长．

【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式求出b和c的值即可求出抛物线解析式；再把点C的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC的表达式；
（2）已知点M的横坐标为m，点M又在直线AB上，所以可求出其纵坐标，而点F在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m的代数式表示MF的长．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx﹣c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
把x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）∵点M在直线AC上，
∴M的坐标为（m，﹣m﹣1）；
∵点F在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴F点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴MF＝（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2．