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黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷（解析版），共31页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题
1．|1﹣tan45°|的值为（ ）
A． B．1﹣ C．1﹣ D．0
2．如图，若将四个“米”字格的正方形内的部分三角形涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．明天下雪的概率为，表示明天有半天都在下雪
C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．了解一批充电宝的使用寿命，适合用普查的方式
4．点A（﹣1，y1），B（2，y2）在双曲线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，S△ADE：S△BDE=2：3，若S△BEC=15，则S△ABC=（ ）
A．14 B．19 C．20 D．25
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“5元”、“10元”、“20元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（2015秋龙沙区期末）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．2＜x＜5 D．x＞5
9．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD交AC于点B．若OB=4，则BC长为（ ）
A．2 B．3 C．3.6 D．4
10．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AB上的动点，连接DM，过点D作DN⊥DM交AC于点N．当tanB=1时，DM=DN；若设tanB=，如图②，那么DM与DN的数量关系为（ ）
A．DM=DN B．DM=DN C．DM=DN D．DM=2DN
二、填空题
11．已知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC边上，连接BD，若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件 ．
13．由x人完成报酬共为100元的某项任务，若人均报酬y元不少于24元，且y为整数，则完成此任务的人数x的值为 ．
14．一个学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 ．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为 海里．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
17．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ．
18．如图为由n个相同的小正方体堆成的几何体的视图，则n= ．
19．如图，A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，A2、B2、C2分别是B1C1、A1C1、A1B1的中点，…，这样延续下去，已知△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积是S2，…，则△A4B4C4的面积S4= ．
三、解答题（满分63分）
20．已知α、β均为锐角，且满足．
计算：．
21．已知：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移6个单位，再向右平移一个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）求出△A2BC2的面积．
22．如图，反比例函数（k＜0）的图象与矩形OABC的边相交于E、F两点，连接EF，且BE=2AE，点E坐标为（﹣2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若点M、N分别在线段OA、OC上，OM=ON，点P在反比例函数图象上，PM⊥OA，连接MN、PM、PN．当∠PNM=90°时，求PM的长．
23．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．
（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；
（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．
24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EGBG=4，求BE的长．
25．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）
26．如图，一块直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠B=30°，顶点A的坐标为（0，6），直角顶点C的坐标为（﹣8，0）．
（1）求点A、C所在直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在直线AC上是否存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，不必说明理由．
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．|1﹣tan45°|的值为（ ）
A． B．1﹣ C．1﹣ D．0
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把tan45°=1代入进行计算即可．
【解答】解：原式=|1﹣tan45°|=|1﹣1|=0．
故选D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．如图，若将四个“米”字格的正方形内的部分三角形涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误，
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．
3．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．明天下雪的概率为，表示明天有半天都在下雪
C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．了解一批充电宝的使用寿命，适合用普查的方式
【考点】方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念、方差和普查的概念判断即可．
【解答】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，错误；
B、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，错误；
C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，正确；
D、了解一批充电宝的使用寿命，适合用抽查的方式，错误；
故选C
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．点A（﹣1，y1），B（2，y2）在双曲线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的k=1＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞0，
∴点B（2，y2）位于第一象限，
∴y2＞0，
∴y1＜y2．
故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，S△ADE：S△BDE=2：3，若S△BEC=15，则S△ABC=（ ）
A．14 B．19 C．20 D．25
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【分析】设E到BA的距离是h，根据等底的两个三角形的面积之比等于对应的边之比得出=，根据平行线分线段成比例定理得出==，求出=，设B到AC的距离是a，求出==，即可求出答案．
【解答】解：设E到BA的距离是h，
∵S△ADE：S△BDE=2：3，
∴（×AD×h）：（×BD×h）=2：3，
∴=，
∵DE∥BC，
∴==，
∴=，
设B到AC的距离是a，
则===，
∵S△BEC=15，
∴S△ABC=25，
故选D．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用等底的两个三角形的面积之比等于对应的边之比是解此题的关键．
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
【解答】解：设y=（k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y=，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象．
7．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“5元”、“10元”、“20元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（2015秋龙沙区期末）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．2＜x＜5 D．x＞5
【考点】二次函数的性质．
【分析】函数图象在x轴上方，y随x增大而增大，观察图象并求出与x轴的交点坐标，可确定此时x的范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的增减性与对称轴和开口方向的关系．
9．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD交AC于点B．若OB=4，则BC长为（ ）
A．2 B．3 C．3.6 D．4
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】首先连接CD，由圆周角定理可得∠C=90°，又由∠CAD=30°，OB⊥AD，OB=4，即可求得OA，AB的长，然后在Rt△ACD中，由三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB=∠C=90°，
在Rt△AOB中，∠CAD=30°，OB=2，
∴AB=2OB=8，OA==4，
∴AD=2OA=8，
在Rt△ABC中，AC=ADcos30°=8×=12，
∴BC=AC﹣AB=12﹣8=4．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理、含30°直角三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AB上的动点，连接DM，过点D作DN⊥DM交AC于点N．当tanB=1时，DM=DN；若设tanB=，如图②，那么DM与DN的数量关系为（ ）
A．DM=DN B．DM=DN C．DM=DN D．DM=2DN
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【分析】由△BDM∽△ADN得=，再根据tanB==得=即可解决问题．
【解答】解：如图②中，∵AD⊥BC，MD⊥DN，
∴∠MDN=∠BAD=90°，
∴∠BDM=∠ADN，
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAN，
∴△BDM∽△ADN，
∴=，
∵tanB==，
∴=，
∴DM=，
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义的等知识解题的关键是正确寻找相似三角形，；于相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．已知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是 2＜y＜6 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k=6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x=1时，y=6，
当x=3时，y=2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故答案为：2＜y＜6．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC边上，连接BD，若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件 ∠ABD=∠A（答案不唯一） ．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=72°，由∠ABD=∠A=36°，得出∠CBD=36°=∠A，即可证出△ABC∽△BDC．
【解答】解：添加条件：∠ABD=∠A（答案不唯一）；理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72°﹣36°=36°=∠A，
∴△ABC∽△BDC；
故答案为：∠ABD=∠A（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
13．由x人完成报酬共为100元的某项任务，若人均报酬y元不少于24元，且y为整数，则完成此任务的人数x的值为 1、2、4 ．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】首先确定y与x之间的函数关系，然后代入y的值求x的整数值即可．
【解答】解：∵由x人完成报酬共为100元的某项任务，
∴xy=100，
即：y=，
∵人均报酬y元不少于24元，且y为整数，
∴x=1、2、4．
故答案为：1、2、4．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够确定两个变量之间的函数关系，难度不大．
14．一个学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可．
【解答】解：要从这10名学生中选出一人担任组长，所以女生当选组长的概率是：
6÷（4+6）=．
故答案为：
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．=0．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为 1 海里．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=APcos∠A=1海里．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=2海里，
∴AB=APcos∠A=2×cos60°=2×=1海里．
故答案为1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 或2 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时， =，
又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，
∴=，
解得BF=；
②△B′CF∽△BCA时， =，
AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，
而BF+FC=4，即2BF=4，
解得BF=2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
17．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出AD，AB的长，进而利用余弦值的定义得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BD，
可得：∠CDB=90°，BD=，AD=2，AB=，
故cosA===．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
18．如图为由n个相同的小正方体堆成的几何体的视图，则n= 7或8或9 ．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为4，
从主视图可以看出最多有5个，最少有3，
故n的值最多为9，最少为7，
所以n的值为7或8或9．
故答案为：7或8或9．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，培养了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
19．如图，A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，A2、B2、C2分别是B1C1、A1C1、A1B1的中点，…，这样延续下去，已知△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积是S2，…，则△A4B4C4的面积S4= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的中位线求出BC=2B1C1，AB=2A1B1，AC=2A1C1，求出===，根据相似三角形的判定得出△ABC∞△A1B1C1，根据相似三角形的性质得出=，推出S1=S△ABC，得出规律，即可求出答案．
【解答】解：∵A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，
∴BC=2B1C1，AB=2A1B1，AC=2A1C1，
∴===，
∴△ABC∞△A1B1C1，
∴=（）2=，
∵△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，
∴S1=S△ABC=×32=8，
同理S2=S1=2，
S3=S2=，
S4=S3=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定的应用，能得出规律是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三、解答题（满分63分）
20．已知α、β均为锐角，且满足．
计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】由非负数的性质及特殊角的三角函数值求出α与β的度数，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由|sinα﹣|+=0，
得到sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则原式=﹣+﹣=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移6个单位，再向右平移一个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）求出△A2BC2的面积．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用等腰直角三角形的性质求出△A2BC2的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
C1（3，﹣4）；
（2）如图所示：△A2BC2，即为所求；
（3）由图形可得：△A2BC2是等腰直角三角形，且A2C2=BC2=2，
故△A2BC2的面积为：×2×2=10．
【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．如图，反比例函数（k＜0）的图象与矩形OABC的边相交于E、F两点，连接EF，且BE=2AE，点E坐标为（﹣2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若点M、N分别在线段OA、OC上，OM=ON，点P在反比例函数图象上，PM⊥OA，连接MN、PM、PN．当∠PNM=90°时，求PM的长．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据E的坐标BE=2AE求得BE，进一步求得B的坐标，得出F的横坐标，代入反比例函数y=﹣，求得纵坐标，从而求得BF，即可求得tan∠BEF；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，证得四边形OGPM是矩形以及△MON和△PNG是等腰直角三角形，从而求得P点的坐标，PM=OG=2m，把P的坐标代入反比例函数y=﹣，求得m的值，即可求得PM．
【解答】解：（1）∵点E（﹣2，3）在反比例函数（k＜0）的图象上，
∴k=﹣2×3=﹣6；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥x轴，
∵点E（﹣2，3），
∴AE=2，
∵BE=2AE，
∴BE=4，
∴AB=6，
∴B的横坐标为﹣6，
∴F的横坐标为﹣6，
代入y=﹣得y=﹣=1，
∴F（﹣6，1），
∵BC=OA=3，
∴BF=2，
∴tan∠BEF===；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，
∵PM⊥OA，
∴M的纵坐标为m，四边形OGPM是矩形，
∴OM=m，PM=OG，
∵OM=ON，
∴ON=m，△MON是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°，
∵∠PNM=90°，
∴∠PNC=45°，
∴△PNG是等腰直角三角形，
∴PG=NG=m，
∴OG=2m，
∴P（﹣2m，m），
代入入y=﹣得m=﹣，
解得m=，
∴OG=2，
∴PM=2．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
23．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．
（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；
（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．
【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的解．
【专题】图表型．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可．
（2）从数对中找出方程x+y=5的解，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【解答】解：（1）出现的情况如下：
红桃2 红桃3 红桃4 红桃5
红桃2 2，2 2，3 2，4 2，5
红桃3 3，2 3，3 3，4 3，5
红桃4 4，2 4，3 4，4 4，5
红桃5 5，2 5，3 5，4 5，5
一共有16种．
（2）数对（2，3），（3，2）是方程x+y=5的解，所以P（和等于5）==．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EGBG=4，求BE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】证明题；几何综合题．
【分析】（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠EBD，
∵∠DGE=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，
∴∠BEC=67.5°=∠DEG，
∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，
即BG⊥DF，
∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∴DF=2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，
∴=，
∴BG×EG=DG×DG=4，
∴DG2=4，
∴DG=2，
∴BE=DF=2DG=4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．
25．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出；
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．
【解答】解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=24°，
∴∠GAE=66°．
又∵∠BAC=39°，
∴∠CAE=180°﹣66°﹣39°=75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．
sin∠ADC=，∴AH=2．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，
∴AC=2，CH=AH=2．
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
26．如图，一块直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠B=30°，顶点A的坐标为（0，6），直角顶点C的坐标为（﹣8，0）．
（1）求点A、C所在直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在直线AC上是否存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，不必说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）设出直线AC的解析式为y=kx+b，由A、C点的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，由∠BCD与∠ACO互余以及∠ACO与∠OAC互余可知∠BCD=∠OAC；在Rt△AOC中由已知的边长可以求出AC的长度即∠OAC的正弦和余弦值；在Rt△BCA中由∠ABC=30°和AC的长度可得出BC以及AB的长度；在Rt△BDC中，由BC的长度以及∠BCD的正弦余弦值可得出CD、BD的长度，从而能得出点B的坐标；
（3）假设存在，由点D在直线AC上可设出点D的坐标为（m， m+6），由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质列出关于m的一元二次方程，解方程可以得出结论．
【解答】解：（1）设点A、C所在直线的解析式为y=kx+b，
∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（﹣8，0），
∴有，解得：．
故点A、C所在直线的解析式为y=x+6．
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（﹣8，0），
∴OA=6，OC=8，AC==10．
又∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴AB==20，BC==10．
∵∠BCD+∠BCA+∠ACO=180°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC．
在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，AC=10，∠AOC=90°，
∴sin∠OAC==，cos∠OAC==．
在Rt△BDC中，BC=10，
∴BD=BCsin∠BCD=8，CD=BCcos∠BCD=6，
OD=OC+CD=8+6．
故点B的坐标为（﹣8﹣6，8）．
（3）假设存在，
∵点D在直线AC上，
∴设点D的坐标为（m， m+6）．
∵点A（0，6），点B（﹣8﹣6，8），
∴由两点间的距离公式可知：AB=20，AD=，BD=．
以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：
①AB=AD，即20=，
解得：m=±16，
此时点D的坐标为（16，18）或（﹣16，﹣6）；
②AB=BD，即20=，
解得：m=﹣16，或m=0（舍去），
此时点D的坐标为（﹣16，﹣6）；
③AD=BD，即=，
解得：m=﹣16，
此时点D的坐标为（﹣16，﹣6）．
综上所述：在直线AC上存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形，点D的坐标为（16，18）或（﹣16，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解析式；（2）通过解直角三角形得出结论；（3）由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）没有难度；（2）需要借助三角函数值解直角三角形，也可以找相似三角形，根据相似三角形的性质找出比例关系；（3）设出点D坐标根据两点间的距离公式去列方程，其实在解决（3）时由∠BAC=60°可知等腰三角形其实为等边三角形．
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题
1．|1﹣tan45°|的值为（ ）
A． B．1﹣ C．1﹣ D．0
2．如图，若将四个“米”字格的正方形内的部分三角形涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．明天下雪的概率为，表示明天有半天都在下雪
C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．了解一批充电宝的使用寿命，适合用普查的方式
4．点A（﹣1，y1），B（2，y2）在双曲线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，S△ADE：S△BDE=2：3，若S△BEC=15，则S△ABC=（ ）
A．14 B．19 C．20 D．25
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“5元”、“10元”、“20元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（2015秋龙沙区期末）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．2＜x＜5 D．x＞5
9．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD交AC于点B．若OB=4，则BC长为（ ）
A．2 B．3 C．3.6 D．4
10．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AB上的动点，连接DM，过点D作DN⊥DM交AC于点N．当tanB=1时，DM=DN；若设tanB=，如图②，那么DM与DN的数量关系为（ ）
A．DM=DN B．DM=DN C．DM=DN D．DM=2DN
二、填空题
11．已知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是 ．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC边上，连接BD，若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件 ．
13．由x人完成报酬共为100元的某项任务，若人均报酬y元不少于24元，且y为整数，则完成此任务的人数x的值为 ．
14．一个学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 ．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为 海里．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
17．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ．
18．如图为由n个相同的小正方体堆成的几何体的视图，则n= ．
19．如图，A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，A2、B2、C2分别是B1C1、A1C1、A1B1的中点，…，这样延续下去，已知△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积是S2，…，则△A4B4C4的面积S4= ．
三、解答题（满分63分）
20．已知α、β均为锐角，且满足．
计算：．
21．已知：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移6个单位，再向右平移一个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）求出△A2BC2的面积．
22．如图，反比例函数（k＜0）的图象与矩形OABC的边相交于E、F两点，连接EF，且BE=2AE，点E坐标为（﹣2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若点M、N分别在线段OA、OC上，OM=ON，点P在反比例函数图象上，PM⊥OA，连接MN、PM、PN．当∠PNM=90°时，求PM的长．
23．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．
（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；
（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．
24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EGBG=4，求BE的长．
25．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）
26．如图，一块直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠B=30°，顶点A的坐标为（0，6），直角顶点C的坐标为（﹣8，0）．
（1）求点A、C所在直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在直线AC上是否存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，不必说明理由．
2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题
1．|1﹣tan45°|的值为（ ）
A． B．1﹣ C．1﹣ D．0
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把tan45°=1代入进行计算即可．
【解答】解：原式=|1﹣tan45°|=|1﹣1|=0．
故选D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
2．如图，若将四个“米”字格的正方形内的部分三角形涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确，
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误，
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中．
3．下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
B．明天下雪的概率为，表示明天有半天都在下雪
C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
D．了解一批充电宝的使用寿命，适合用普查的方式
【考点】方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念、方差和普查的概念判断即可．
【解答】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，错误；
B、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，错误；
C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，正确；
D、了解一批充电宝的使用寿命，适合用抽查的方式，错误；
故选C
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．点A（﹣1，y1），B（2，y2）在双曲线上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的k=1＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞0，
∴点B（2，y2）位于第一象限，
∴y2＞0，
∴y1＜y2．
故选A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，S△ADE：S△BDE=2：3，若S△BEC=15，则S△ABC=（ ）
A．14 B．19 C．20 D．25
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【分析】设E到BA的距离是h，根据等底的两个三角形的面积之比等于对应的边之比得出=，根据平行线分线段成比例定理得出==，求出=，设B到AC的距离是a，求出==，即可求出答案．
【解答】解：设E到BA的距离是h，
∵S△ADE：S△BDE=2：3，
∴（×AD×h）：（×BD×h）=2：3，
∴=，
∵DE∥BC，
∴==，
∴=，
设B到AC的距离是a，
则===，
∵S△BEC=15，
∴S△ABC=25，
故选D．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用等底的两个三角形的面积之比等于对应的边之比是解此题的关键．
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
【解答】解：设y=（k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y=，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象．
7．某超市设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“5元”、“10元”、“20元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（2015秋龙沙区期末）如图，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．2＜x＜5 D．x＞5
【考点】二次函数的性质．
【分析】函数图象在x轴上方，y随x增大而增大，观察图象并求出与x轴的交点坐标，可确定此时x的范围．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴在x轴上方的图象，当y随x增大而增大时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的增减性与对称轴和开口方向的关系．
9．如图，AD，AC分别是⊙O的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD交AC于点B．若OB=4，则BC长为（ ）
A．2 B．3 C．3.6 D．4
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】首先连接CD，由圆周角定理可得∠C=90°，又由∠CAD=30°，OB⊥AD，OB=4，即可求得OA，AB的长，然后在Rt△ACD中，由三角函数的性质，即可求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵OB⊥AD，
∴∠AOB=∠C=90°，
在Rt△AOB中，∠CAD=30°，OB=2，
∴AB=2OB=8，OA==4，
∴AD=2OA=8，
在Rt△ABC中，AC=ADcos30°=8×=12，
∴BC=AC﹣AB=12﹣8=4．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理、含30°直角三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，点M为AB上的动点，连接DM，过点D作DN⊥DM交AC于点N．当tanB=1时，DM=DN；若设tanB=，如图②，那么DM与DN的数量关系为（ ）
A．DM=DN B．DM=DN C．DM=DN D．DM=2DN
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
【分析】由△BDM∽△ADN得=，再根据tanB==得=即可解决问题．
【解答】解：如图②中，∵AD⊥BC，MD⊥DN，
∴∠MDN=∠BAD=90°，
∴∠BDM=∠ADN，
∵∠B+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAN，
∴△BDM∽△ADN，
∴=，
∵tanB==，
∴=，
∴DM=，
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义的等知识解题的关键是正确寻找相似三角形，；于相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．已知反比例函数，当1＜x＜3时，y的取值范围是 2＜y＜6 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【解答】解：∵k=6＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x=1时，y=6，
当x=3时，y=2，
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
故答案为：2＜y＜6．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D在AC边上，连接BD，若使△ABC与△BDC相似，只需添加一个条件 ∠ABD=∠A（答案不唯一） ．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=72°，由∠ABD=∠A=36°，得出∠CBD=36°=∠A，即可证出△ABC∽△BDC．
【解答】解：添加条件：∠ABD=∠A（答案不唯一）；理由如下：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵∠ABD=∠A=36°，
∴∠CBD=72°﹣36°=36°=∠A，
∴△ABC∽△BDC；
故答案为：∠ABD=∠A（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
13．由x人完成报酬共为100元的某项任务，若人均报酬y元不少于24元，且y为整数，则完成此任务的人数x的值为 1、2、4 ．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】首先确定y与x之间的函数关系，然后代入y的值求x的整数值即可．
【解答】解：∵由x人完成报酬共为100元的某项任务，
∴xy=100，
即：y=，
∵人均报酬y元不少于24元，且y为整数，
∴x=1、2、4．
故答案为：1、2、4．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够确定两个变量之间的函数关系，难度不大．
14．一个学习兴趣小组有6名女生，4名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可．
【解答】解：要从这10名学生中选出一人担任组长，所以女生当选组长的概率是：
6÷（4+6）=．
故答案为：
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．=0．
15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，海轮航行的距离AB为 1 海里．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=APcos∠A=1海里．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=2海里，
∴AB=APcos∠A=2×cos60°=2×=1海里．
故答案为1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 或2 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时， =，
又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，
∴=，
解得BF=；
②△B′CF∽△BCA时， =，
AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，
而BF+FC=4，即2BF=4，
解得BF=2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
17．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则cosA的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】网格型．
【分析】直接利用网格构建直角三角形，再利用勾股定理得出AD，AB的长，进而利用余弦值的定义得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BD，
可得：∠CDB=90°，BD=，AD=2，AB=，
故cosA===．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
18．如图为由n个相同的小正方体堆成的几何体的视图，则n= 7或8或9 ．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数为4，
从主视图可以看出最多有5个，最少有3，
故n的值最多为9，最少为7，
所以n的值为7或8或9．
故答案为：7或8或9．
【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，培养了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
19．如图，A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，A2、B2、C2分别是B1C1、A1C1、A1B1的中点，…，这样延续下去，已知△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积是S2，…，则△A4B4C4的面积S4= ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】规律型．
【分析】根据三角形的中位线求出BC=2B1C1，AB=2A1B1，AC=2A1C1，求出===，根据相似三角形的判定得出△ABC∞△A1B1C1，根据相似三角形的性质得出=，推出S1=S△ABC，得出规律，即可求出答案．
【解答】解：∵A1、B1、C1分别是BC、AC、AB的中点，
∴BC=2B1C1，AB=2A1B1，AC=2A1C1，
∴===，
∴△ABC∞△A1B1C1，
∴=（）2=，
∵△ABC的面积是32，△A1B1C1的面积是S1，
∴S1=S△ABC=×32=8，
同理S2=S1=2，
S3=S2=，
S4=S3=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定的应用，能得出规律是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三、解答题（满分63分）
20．已知α、β均为锐角，且满足．
计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】由非负数的性质及特殊角的三角函数值求出α与β的度数，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由|sinα﹣|+=0，
得到sinα=，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则原式=﹣+﹣=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．已知：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移6个单位，再向右平移一个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）求出△A2BC2的面积．
【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用等腰直角三角形的性质求出△A2BC2的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
C1（3，﹣4）；
（2）如图所示：△A2BC2，即为所求；
（3）由图形可得：△A2BC2是等腰直角三角形，且A2C2=BC2=2，
故△A2BC2的面积为：×2×2=10．
【点评】此题主要考查了位似变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．如图，反比例函数（k＜0）的图象与矩形OABC的边相交于E、F两点，连接EF，且BE=2AE，点E坐标为（﹣2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若点M、N分别在线段OA、OC上，OM=ON，点P在反比例函数图象上，PM⊥OA，连接MN、PM、PN．当∠PNM=90°时，求PM的长．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据E的坐标BE=2AE求得BE，进一步求得B的坐标，得出F的横坐标，代入反比例函数y=﹣，求得纵坐标，从而求得BF，即可求得tan∠BEF；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，证得四边形OGPM是矩形以及△MON和△PNG是等腰直角三角形，从而求得P点的坐标，PM=OG=2m，把P的坐标代入反比例函数y=﹣，求得m的值，即可求得PM．
【解答】解：（1）∵点E（﹣2，3）在反比例函数（k＜0）的图象上，
∴k=﹣2×3=﹣6；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥x轴，
∵点E（﹣2，3），
∴AE=2，
∵BE=2AE，
∴BE=4，
∴AB=6，
∴B的横坐标为﹣6，
∴F的横坐标为﹣6，
代入y=﹣得y=﹣=1，
∴F（﹣6，1），
∵BC=OA=3，
∴BF=2，
∴tan∠BEF===；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，
∵PM⊥OA，
∴M的纵坐标为m，四边形OGPM是矩形，
∴OM=m，PM=OG，
∵OM=ON，
∴ON=m，△MON是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°，
∵∠PNM=90°，
∴∠PNC=45°，
∴△PNG是等腰直角三角形，
∴PG=NG=m，
∴OG=2m，
∴P（﹣2m，m），
代入入y=﹣得m=﹣，
解得m=，
∴OG=2，
∴PM=2．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
23．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．
（1）用列表法或树形图表示出（x，y）的所用可能出现的结果；
（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率．
【考点】列表法与树状图法；二元一次方程的解．
【专题】图表型．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可．
（2）从数对中找出方程x+y=5的解，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．
【解答】解：（1）出现的情况如下：
红桃2 红桃3 红桃4 红桃5
红桃2 2，2 2，3 2，4 2，5
红桃3 3，2 3，3 3，4 3，5
红桃4 4，2 4，3 4，4 4，5
红桃5 5，2 5，3 5，4 5，5
一共有16种．
（2）数对（2，3），（3，2）是方程x+y=5的解，所以P（和等于5）==．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EGBG=4，求BE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】证明题；几何综合题．
【分析】（1）根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根据相似求出DG的长，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠FDC=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∴∠FDC=∠EBD，
∵∠DGE=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG．
（2）解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，
∴∠BEC=67.5°=∠DEG，
∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，
即BG⊥DF，
∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∴DF=2DG，
∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，
∴=，
∴BG×EG=DG×DG=4，
∴DG2=4，
∴DG=2，
∴BE=DF=2DG=4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．
25．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出；
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．
【解答】解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=24°，
∴∠GAE=66°．
又∵∠BAC=39°，
∴∠CAE=180°﹣66°﹣39°=75°．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．
sin∠ADC=，∴AH=2．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，
∴AC=2，CH=AH=2．
∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
26．如图，一块直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠B=30°，顶点A的坐标为（0，6），直角顶点C的坐标为（﹣8，0）．
（1）求点A、C所在直线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在直线AC上是否存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，不必说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）设出直线AC的解析式为y=kx+b，由A、C点的坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，由∠BCD与∠ACO互余以及∠ACO与∠OAC互余可知∠BCD=∠OAC；在Rt△AOC中由已知的边长可以求出AC的长度即∠OAC的正弦和余弦值；在Rt△BCA中由∠ABC=30°和AC的长度可得出BC以及AB的长度；在Rt△BDC中，由BC的长度以及∠BCD的正弦余弦值可得出CD、BD的长度，从而能得出点B的坐标；
（3）假设存在，由点D在直线AC上可设出点D的坐标为（m， m+6），由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质列出关于m的一元二次方程，解方程可以得出结论．
【解答】解：（1）设点A、C所在直线的解析式为y=kx+b，
∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（﹣8，0），
∴有，解得：．
故点A、C所在直线的解析式为y=x+6．
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵A点坐标为（0，6），C点坐标为（﹣8，0），
∴OA=6，OC=8，AC==10．
又∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，
∴AB==20，BC==10．
∵∠BCD+∠BCA+∠ACO=180°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC．
在Rt△AOC中，OA=6，OC=8，AC=10，∠AOC=90°，
∴sin∠OAC==，cos∠OAC==．
在Rt△BDC中，BC=10，
∴BD=BCsin∠BCD=8，CD=BCcos∠BCD=6，
OD=OC+CD=8+6．
故点B的坐标为（﹣8﹣6，8）．
（3）假设存在，
∵点D在直线AC上，
∴设点D的坐标为（m， m+6）．
∵点A（0，6），点B（﹣8﹣6，8），
∴由两点间的距离公式可知：AB=20，AD=，BD=．
以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：
①AB=AD，即20=，
解得：m=±16，
此时点D的坐标为（16，18）或（﹣16，﹣6）；
②AB=BD，即20=，
解得：m=﹣16，或m=0（舍去），
此时点D的坐标为（﹣16，﹣6）；
③AD=BD，即=，
解得：m=﹣16，
此时点D的坐标为（﹣16，﹣6）．
综上所述：在直线AC上存在点D，使以A、B、D为顶点的三角形为等腰三角形，点D的坐标为（16，18）或（﹣16，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、等腰三角形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用待定系数法求解析式；（2）通过解直角三角形得出结论；（3）由两点间的距离公式结合等腰三角形的性质得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，（1）没有难度；（2）需要借助三角函数值解直角三角形，也可以找相似三角形，根据相似三角形的性质找出比例关系；（3）设出点D坐标根据两点间的距离公式去列方程，其实在解决（3）时由∠BAC=60°可知等腰三角形其实为等边三角形．
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