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2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了相信你的选择，试试你的身手，挑战你的技能等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
3．（3分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．（3分）一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7．（3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2
8．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．（3分）一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有 尾鲫鱼．
12．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 m．
13．（3分）已知函数是反比例函数，则n的值为 ．
14．（3分）当m＝ 时，关于x的方程（m+2）x+5x+7＝0是一元二次方程．
15．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
16．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝5cm，BC＝12cm，则EF＝ cm．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．（4分）解一元二次方程2（x﹣3）2＝x2﹣9．
20．（4分）为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.5米，求树的高度．
21．（5分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC＝8，BD＝6，求BE的长．
23．（7分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
24．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，以此同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
25．（7分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上任意一点，点Q为BC上一点，且AP＝CQ．
（1）求证：BP＝DQ；
（2）若AB＝4，且当PD＝5时四边形PBQD为菱形．求AD为多少．
26．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
28．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且＝．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率＝．
故选：B．
2．（3分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【分析】解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影．根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中心投影的特点，从而得出答案．
【解答】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小．
故选：A．
3．（3分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【解答】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．
故选：D．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据反比例函数性质，反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2最大．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0＜y1＜y2．
即y2＞y1＞y3．
故选：A．
5．（3分）一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
【分析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx﹣2＝0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d＝﹣b，cd＝﹣2，再判断即可．
【解答】解：x2+bx﹣2＝0，
Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，
即方程有两个不相等的实数根，
设方程x2+bx﹣2＝0的两个根为c、d，
则c+d＝﹣b，cd＝﹣2，
由cd＝﹣2得出方程的两个根一正一负，
由c+d＝﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，
∴，
解得：m＝2．
故选：B．
7．（3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2
【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的周长是20cm，
∴边长为20÷4＝5cm，
∵两条对角线的比是4：3，
∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
则对角线的一半分别为4x，3x，
根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
所以，两对角线分别为8cm，6cm，
所以，这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2．
故选：D．
8．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
【分析】利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝7，
∴b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）＝﹣7×3＝﹣21．
故选：A．
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．（3分）一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有 460 尾鲫鱼．
【分析】计算出鲫鱼的概率，利用概率公式求出鲫鱼的尾数即可．
【解答】解：鲫鱼的概率为1﹣51%﹣26%＝0.23．
故鲫鱼的尾数为0.23×2000＝460．
故水库里有460尾鲫鱼．
故答案为：460．
12．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 54 m．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴＝，解得h＝54（m）．
故答案为：54．
13．（3分）已知函数是反比例函数，则n的值为 1 ．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可得到关于n的方程，解方程即可求出n．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴n+1≠0且n2﹣2＝﹣1，
∴n＝1，
故答案为：1．
14．（3分）当m＝ 2 时，关于x的方程（m+2）x+5x+7＝0是一元二次方程．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：由题意，得
m2﹣2＝2，且m+2≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
15．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
【分析】先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【解答】解：2⊕（2x﹣1）＝1可化为﹣＝1，
方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），
解得x＝，
检验：当x＝时，2（2x﹣1）＝2（2×﹣1）＝≠0，
所以，x＝是原分式方程的解，
即x的值为．
故答案为：．
16．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 1＜x≤12 ．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝5cm，BC＝12cm，则EF＝ cm．
【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OD，证明EF是△AOD的中位线，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，AD＝BC＝12，
∴BD＝＝＝13，
∴OD＝，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝；
故答案为：．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ 22 °．
【分析】根据正方形的性质，即可得到∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，依据全等三角形的对应角相等，即可得到∠DCE＝∠DAF＝34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．（4分）解一元二次方程2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝9．
20．（4分）为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.5米，求树的高度．
【分析】过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G，可得△AFG∽△AEH，进而求出EH的长，进而求出ED的长．
【解答】解：如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC于点G，
由题知，∵FG∥EH，
∴△AFG∽△AEH，
∴，
又因为AG＝BC＝1，HG＝CD＝5，GD＝HC＝AB＝1.5，
所以，
解得：HE＝9，
则ED＝DH+HE＝1.5+9＝10.5（m）．
答：树ED的高为10.5米．
21．（5分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
【分析】先证得＝，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
∴＝＝1.2，＝＝1.2，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC＝8，BD＝6，求BE的长．
【分析】只要证明四边形ACDE是平行四边形，再利用勾股定理求出CD即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，
∴BE＝AE+AB＝10．
23．（7分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
【分析】设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，
依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，
化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝2．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
24．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，以此同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PB＝（6﹣x）cm，BQ＝（8﹣2x）cm，此时△PBQ的面积为：×（8﹣2x）（6﹣x），令该式＝8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
【解答】解：设xs后，可使△PBQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PB＝（6﹣x）cm，BQ＝（8﹣2x）cm，
则（6﹣x）•（8﹣2x）＝8，
整理，得x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8（不合题意舍去）．
所以P、Q同时出发，2s后可使△PBQ的面积为8cm2．
25．（7分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上任意一点，点Q为BC上一点，且AP＝CQ．
（1）求证：BP＝DQ；
（2）若AB＝4，且当PD＝5时四边形PBQD为菱形．求AD为多少．
【分析】（1）依据矩形的性质，通过全等三角形的判定定理判定△ABP≌△QCD，所以BP＝DQ．
（2）设AP＝a，AD＝5+a．当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝5．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2＝PB2，即a2+42＝52，由此可以求得a，再可得AD的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
在Rt△ABP和Rt△QCD中，
∴△ABP≌△QCD（ASA），
∴BP＝DQ；
（2）设AP＝a，AD＝5+a．
当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝5，
在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2＝PB2，即a2+42＝52，
可得：a＝3，
所以AD＝3+5＝8．
26．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
【分析】（1）直接利用vt＝100进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：100＝vt，
则v＝（t＞0）；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则v≥＝20，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（3，1）代入y＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点A（3，1）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴1＝，
∴m＝3．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）如图，设一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点为C．
令y＝0，则x﹣2＝0，x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝3，
∴PC×1+PC×2＝3，
∴PC＝2，
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为（4，0）．
28．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且＝．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵＝，且∠EFC＝∠BFD
∴△FEC∽△FBD，
∴∠FEC＝∠B，
又∵∠AED＝∠FEC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB
∴＝，
即＝，
∴AD＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝12﹣6＝6．
2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
3．（3分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．（3分）一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
7．（3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2
8．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．（3分）一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有 尾鲫鱼．
12．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 m．
13．（3分）已知函数是反比例函数，则n的值为 ．
14．（3分）当m＝ 时，关于x的方程（m+2）x+5x+7＝0是一元二次方程．
15．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
16．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝5cm，BC＝12cm，则EF＝ cm．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ °．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．（4分）解一元二次方程2（x﹣3）2＝x2﹣9．
20．（4分）为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.5米，求树的高度．
21．（5分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC＝8，BD＝6，求BE的长．
23．（7分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
24．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，以此同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
25．（7分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上任意一点，点Q为BC上一点，且AP＝CQ．
（1）求证：BP＝DQ；
（2）若AB＝4，且当PD＝5时四边形PBQD为菱形．求AD为多少．
26．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
28．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且＝．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
2020-2021学年黑龙江省大庆市林甸县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、相信你的选择（每小题3分，共30分）
1．（3分）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．
【解答】解：列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率＝．
故选：B．
2．（3分）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【分析】解答本题关键是要区分开平行投影和中心投影．根据题意，灯光下影子越长的物体就越高，可联系到中心投影的特点，从而得出答案．
【解答】解：灯光下，涉及中心投影，根据中心投影的特点灯光下影子与物体离灯源距离有关，此距离越大，影子才越小．
故选：A．
3．（3分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有（ ）
A．12个 B．8个 C．14个 D．13个
【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可．
【解答】解：底层正方体最多有9个正方体，第二层最多有4个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多有13个．
故选：D．
4．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据反比例函数性质，反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2最大．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＜0）的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0＜y1＜y2．
即y2＞y1＞y3．
故选：A．
5．（3分）一元二次方程x2+bx﹣2＝0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正根
B．有一正根一负根且正根的绝对值大
C．有两个负根
D．有一正根一负根且负根的绝对值大
【分析】先根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx﹣2＝0的两个根为c、d，根据根与系数的关系得出c+d＝﹣b，cd＝﹣2，再判断即可．
【解答】解：x2+bx﹣2＝0，
Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，
即方程有两个不相等的实数根，
设方程x2+bx﹣2＝0的两个根为c、d，
则c+d＝﹣b，cd＝﹣2，
由cd＝﹣2得出方程的两个根一正一负，
由c+d＝﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，
故选：B．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【分析】根据方程的两根互为倒数结合根的判别式以及根与系数的关系，即可得出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，
∴，
解得：m＝2．
故选：B．
7．（3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．96cm2 C．48cm2 D．24cm2
【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x，6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的周长是20cm，
∴边长为20÷4＝5cm，
∵两条对角线的比是4：3，
∴设菱形的两对角线分别为8x，6x，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
则对角线的一半分别为4x，3x，
根据勾股定理得，（4x）2+（3x）2＝52，
解得x＝1，
所以，两对角线分别为8cm，6cm，
所以，这个菱形的面积＝×8×6＝24cm2．
故选：D．
8．（3分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21 B．21 C．﹣10 D．10
【分析】利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝7，
∴b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）＝﹣7×3＝﹣21．
故选：A．
9．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
二、试试你的身手（每小题3分，共24分）
11．（3分）一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有 460 尾鲫鱼．
【分析】计算出鲫鱼的概率，利用概率公式求出鲫鱼的尾数即可．
【解答】解：鲫鱼的概率为1﹣51%﹣26%＝0.23．
故鲫鱼的尾数为0.23×2000＝460．
故水库里有460尾鲫鱼．
故答案为：460．
12．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为 54 m．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，
∴＝，解得h＝54（m）．
故答案为：54．
13．（3分）已知函数是反比例函数，则n的值为 1 ．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可得到关于n的方程，解方程即可求出n．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴n+1≠0且n2﹣2＝﹣1，
∴n＝1，
故答案为：1．
14．（3分）当m＝ 2 时，关于x的方程（m+2）x+5x+7＝0是一元二次方程．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【解答】解：由题意，得
m2﹣2＝2，且m+2≠0，
解得m＝2，
故答案为：2．
15．（3分）对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b＝，若2⊕（2x﹣1）＝1，则x的值为 ．
【分析】先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【解答】解：2⊕（2x﹣1）＝1可化为﹣＝1，
方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）＝2（2x﹣1），
解得x＝，
检验：当x＝时，2（2x﹣1）＝2（2×﹣1）＝≠0，
所以，x＝是原分式方程的解，
即x的值为．
故答案为：．
16．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是 1＜x≤12 ．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝5cm，BC＝12cm，则EF＝ cm．
【分析】先由勾股定理求出BD，再得出OD，证明EF是△AOD的中位线，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OD＝BD，AD＝BC＝12，
∴BD＝＝＝13，
∴OD＝，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝；
故答案为：．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝ 22 °．
【分析】根据正方形的性质，即可得到∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，依据全等三角形的对应角相等，即可得到∠DCE＝∠DAF＝34°，再根据三角形外角性质，即可得到∠CEF的度数．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
三、挑战你的技能（本大题共66分）
19．（4分）解一元二次方程2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝9．
20．（4分）为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度，小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆，然后小明前后调整自己的位置，当小明与标杆相距1米时，小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.5米，求树的高度．
【分析】过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G，可得△AFG∽△AEH，进而求出EH的长，进而求出ED的长．
【解答】解：如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC于点G，
由题知，∵FG∥EH，
∴△AFG∽△AEH，
∴，
又因为AG＝BC＝1，HG＝CD＝5，GD＝HC＝AB＝1.5，
所以，
解得：HE＝9，
则ED＝DH+HE＝1.5+9＝10.5（m）．
答：树ED的高为10.5米．
21．（5分）如图，已知：∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
【分析】先证得＝，然后根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
【解答】证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40．
∴＝＝1.2，＝＝1.2，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
22．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC＝8，BD＝6，求BE的长．
【分析】只要证明四边形ACDE是平行四边形，再利用勾股定理求出CD即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB，
∴DE∥AC，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，
∴BE＝AE+AB＝10．
23．（7分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？
【分析】设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×）个，
依题意，得：（1+x）（200﹣10×）＝480，
化简，得：x2﹣9x+14＝0，
解得：x1＝2，x2＝7．
又∵要让顾客得到实惠，
∴x＝2．
答：应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．
24．（7分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，以此同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果P，Q同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？
【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，PB＝（6﹣x）cm，BQ＝（8﹣2x）cm，此时△PBQ的面积为：×（8﹣2x）（6﹣x），令该式＝8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
【解答】解：设xs后，可使△PBQ的面积为8cm2．
由题意得，AP＝xcm，PB＝（6﹣x）cm，BQ＝（8﹣2x）cm，
则（6﹣x）•（8﹣2x）＝8，
整理，得x2﹣10x+16＝0，
解得x1＝2，x2＝8（不合题意舍去）．
所以P、Q同时出发，2s后可使△PBQ的面积为8cm2．
25．（7分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上任意一点，点Q为BC上一点，且AP＝CQ．
（1）求证：BP＝DQ；
（2）若AB＝4，且当PD＝5时四边形PBQD为菱形．求AD为多少．
【分析】（1）依据矩形的性质，通过全等三角形的判定定理判定△ABP≌△QCD，所以BP＝DQ．
（2）设AP＝a，AD＝5+a．当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝5．在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2＝PB2，即a2+42＝52，由此可以求得a，再可得AD的长度．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
在Rt△ABP和Rt△QCD中，
∴△ABP≌△QCD（ASA），
∴BP＝DQ；
（2）设AP＝a，AD＝5+a．
当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝5，
在直角△ABP中，根据勾股定理得到AP2+AB2＝PB2，即a2+42＝52，
可得：a＝3，
所以AD＝3+5＝8．
26．（8分）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
【分析】（1）直接利用vt＝100进而得出答案；
（2）直接利用要求不超过5小时卸完船上的这批货物，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：100＝vt，
则v＝（t＞0）；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则v≥＝20，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A（3，1）代入y＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点A（3，1）和B（0，﹣2）代入y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴1＝，
∴m＝3．
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）如图，设一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点为C．
令y＝0，则x﹣2＝0，x＝2，
∴点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝3，
∴PC×1+PC×2＝3，
∴PC＝2，
∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，
∴点P的坐标为（4，0）．
28．（9分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且＝．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△EFC∽△BFD，得出∠CEF＝∠B，进而证明△CAB∽△DAE，再利用相似三角形的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵＝，且∠EFC＝∠BFD
∴△FEC∽△FBD，
∴∠FEC＝∠B，
又∵∠AED＝∠FEC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：∵△ADE∽△ACB
∴＝，
即＝，
∴AD＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝12﹣6＝6．
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