高中数学湘教版（2019）必修 第一册2.1 相等关系与不等关系试讲课课件ppt

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1.理解基本不等式a2+b2≥2ab, (a≥0,b≥0).(数学抽象)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.(数学运算)
某金店有一座天平,由于左右两臂长略有不等,所以直接称重不准确.有一个顾客要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次,得到两个不同的质量a和b,然后就把两次称得的质量的算术平均数 作为项链的质量来计算.顾客对这个质量的真实性提出了质疑,那么这样计算的质量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢?
知识点:基本不等式1.定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立.2.推论:对任意a,b≥0,必有 ,当且仅当a=b时等号成立.
上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式.
名师点析 基本不等式定理和推论的区别与联系
微思考(1)基本不等式中的定理和推论之间有怎样的联系?(2)当a>0,b>0时,由a2+b2≥2ab你能得到哪些变形式?
例1(多选题)设a>0,b>0,下列不等式恒成立的是(　　)A.a2+1>a
要点笔记应用基本不等式时要注意:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.
变式训练1下列结论正确的是(　　)
例2已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,
分析不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等
证明∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
例3(1)已知x>0,则 +x的最小值为(　　)A.6B.5C.4D.3
反思感悟 利用基本不等式求最值的常用方法(1)直接利用基本不等式求最值.(2)函数法:若利用基本不等式时等号取不到,则无法利用基本不等式求最大(小)值,则可将要求的式子看成一个函数,利用函数求最大(小)值.
基本不等式在求解恒成立与存在性(有解)问题中的应用
由于利用基本不等式可以求某些特定式子的最值,因此基本不等式可以求解一类含参数的恒成立问题与存在性问题,求解的一般思路是:若能够将参数进行分离,则分离参数后转化为最值问题求解,若不能分离参数,则直接将参数看作已知量求解.
典例 (1)(2021北京海淀高一期末)对任意的正实数x,y,不等式x+4y≥m 恒成立,则实数m的取值范围是(　　)A.{m|00,使不等式x2-ax+1≤0成立,则实数a的取值范围是(　　)A.{a|a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|a>2}D.{a|a<2}
答案 (1)C　(2)B　(3){a|a≥1}
当且仅当x=4y时等号成立,所以m≤4.故选C.(2)存在实数x>0使不等式x2-ax+1≤0成立,即存在实数x>0使不等式ax≥x2+1成立.
1.下列说法正确的个数是(　　)①a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0,b≥0;②a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;
A.1B.2C.3D.0
答案 B解析 根据不等式成立的条件可知只有②③正确,故选B.
3.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a>0,b>0,且不等式 ≥0恒成立,则实数k的最小值等于(　　)A.0B.4C.-4D.-2