初中17.1 勾股定理教学设计

这是一份初中17.1 勾股定理教学设计，共13页。教案主要包含了复习提问，引入，新课，课堂小结，课堂练习，作业等内容，欢迎下载使用。


课题
第十七章 勾股定理
§17.1勾股定理（一）
时间
教学目的
知识与技能
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.
过程与方法
通过观察、 归纳、 猜想和验证勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法和数形结合的思想.
情感态度与价值观
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情.
2．对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.
教学重点
探索和证明勾股定理.
教学难点
用拼图的方法证明勾股定理.
教学手段
用多媒体课件
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、三角形的三边关系是什么？
2、直角三角形的三边有什么关系？
①两边之和大于第三边；
②斜边大于任何一条直角边；
③30°角所对的直角边等于斜边的一半等.
3、介绍直角三角形各边的古代名：
勾：较短的直角边；股：较长的直角边；弦：斜边
二、引入
1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会，
这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它
的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？
2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？

(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；
(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
3、等腰直角三角形有上述性质，其它直角三角形也有这个性质吗？（书P65探究）

4、计算机演示
(1) 如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，改变a、b、c的长度，但始终保持∠ACB=90°， 在运动过程中，测算，，，的值. 取其中几组测算值，让学生观察这几个数值之间的关系？
提问：哪些量是不变的？（∠ACB=90°）
哪些关系是不变的？（）
(2) 演示锐角三角形、钝角三角形三边的平方是否存在这种关系？
因此这个结论只适用于是直角三角形.

三、新课
让学生叙述猜想、画图，并说出已知、求证.
命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
求证：
到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种. 下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的
提问：拼接后的图形是否是由原4个直角三角形和小正方形没有重叠、没有空隙地拼成的？拼接后的图形是什么图形？
由此得到：
小结：这种证法是面积证法．图形割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积不会改变．

下面介绍另一种拼图的证法：（选讲）
做八个全等的直角三角形和分别以a、b、c为边长的三个正方形. 拼成如下两个图形：

提问：①这两个图形分别是什么图形？（正方形，四条边都相等，四个角都为直角）
②这两个图形的面积相等吗？（相等，都等于）
③如何利用这两个图形证明：？
勾股定理：(P65)
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.
几何语言：∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴（勾股定理）
（或，，等.）
注：①勾股定理存在于直角三角形中，运用勾股定理必须具备“直角”的条件；
②勾股定理说明了直角三角形中三边之间的关系．在直角三角形中，已知任意两边的长，就可以求出第三边的长.
③运用勾股定理要注意哪个角是直角，由此确定哪条边是斜边，抓住“斜边的平方等于两直角边的平方和”；
④无论求斜边，还是求直角边，最后都要开平方. 开平方时，由于边长为正，所以取算术平方根；
⑤勾股定理是直角三角形的一条重要性质，它由一个角是直角作“因”，三边的数量关系作“果”，体现了由“形”到“数”的转化，是数形结合思想的一个典范.
⑥勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理. 目前世界上已有几百种证法，就连美国第20届总统加菲尔德也提供了一种面积证法.请同学们课下阅读书上P71~72.
例、(1) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，求AB.
(2) 已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，BC=6，求AC.
(3) 已知Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，c∶a=3∶4，b=15，求a，c及斜边高线h.
解：先画图
(1) ∵Rt△ABC中，∠C=90°
∴（勾股定理）
∴===10
(2)
(3) ∵c∶a=3∶4
∴设a=4k，c=3k
∵Rt△ABC中，∠B=90°
∴（勾股定理）
∴

（舍负）
∴a=4k=12，c=3k=9
∵∠ABC=90°，h是斜边高线
∴ac=bh
∴h===
∴a=12，c=9，h=
四、课堂小结
1、勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征；
2、勾股定理把直角三角形“形”的特征，即一角为90°，转化为数量关系，体现了数形结合的思想.
五、课堂练习
如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角
三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小
正方形A、B、C、D的面积之和是 . （）
六、作业
见素材
课后反思
课题
§17.1勾股定理（二）
时间
教学目的
知识与技能
1、利用勾股定理解决实际问题.
2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想和方程思想.
过程与方法
运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
情感态度与价值观
1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点
勾股定理的应用．
教学难点
勾股定理在实际生活中的应用．
教学手段
讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、勾股定理？应用条件？
2、证明方法？（面积法）
3、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长．
答：AC的长为．
二、新课
例1、一个门框的尺寸如图所示：
(1) 若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，能否从门框内通过？
(2) 若有一块长3米，宽1.5米的薄木板，能否从门框内通过？
(3) 若有一块长3米，宽2.2米的薄木板，能否从门框内通过？
分析：(3) 木板的宽2.2米大于1米，所以横着不能从门框内通过．
木板的宽2.2米大于2米，所以竖着不能从门框内通过．
因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过．
所以将实际问题转化为数学问题．
解：(3) ∵在Rt△ABC中，∠B=90°
∴AC2=AB2 +BC2 (勾股定理)
∴AC==≈2.236
∵AC≈2.236>2.2
∴木板能从门框内通过（书上P67填空）
小结：此题是将实际为题转化为数学问题，从中抽象出Rt△ABC，并求出斜边AC的长.
例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
（计算结果保留两位小数）
分析：要求出梯子的底端B是否也外移0.5米，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB
解：∵在Rt△ABO中，∠AOB=90°
∴OB2=AB2-AO2 (勾股定理)
∴OB===≈1.658
∵OC=AO-AC
∴OC= 2.5-0.5=2
∵在Rt△COD中，∠COD=90°
∴OD2=CD2-CO2 (勾股定理)
∴OD===≈2.236
∴BD=OD -OB≈2.236 -1.658≈0.58
答：梯的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子的底端B外移约0.58米．
例3、一个大树高8米，折断后大树顶端落在离大树底端2米处，折断处离地面的高度是多少？
分析：方程思想
解：设AB= x m，则AC= (8-x) m
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°
∴AB2+BC2=AC2
∴
x=3.75
∴折断处离地面的高度是3.75 m.
小结：1、方程思想.
2、勾股定理是此题的等量关系.
三、课堂练习
1、已知：△ABC为等边三角形，AD⊥BC于D，AD=6. 求AC的长.
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC
∵AD⊥BC
∴DC=BC
∴DC=AC
设DC=x，则AC=2x
∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°
∴AD2+DC2=AC2 (勾股定理)
∴
（舍负）
∴

2、如图，要修建一个蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽m=4米，高n=2米，长d=15米，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？（结果保留小数点后1位）
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°
∴AB2 =m2+n2 (勾股定理)
∴AB===
∴S=AB•d
=×15≈4.472×15=67.08≈68（平方米）
注意：这里要取过剩近似值.
四、课堂小结
1、勾股定理的作用——它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系.
2、会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边长.
3、会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题.
五、作业
见素材
课后反思
课题
§17.1勾股定理（三）
时间
教学目的
知识与技能
1、会在数轴上表示（n为正整数）.
2、利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想.
过程与方法
运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
情感态度与价值观
1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点
勾股定理的应用.
教学难点
利用勾股定理建立方程.
教学手段
讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、勾股定理？
2、解决有关直角三角形问题常用方程思想.
二、新课
例1、（书P68）我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：(1)若能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点.
(2)由勾股定理知，直角边为1的等腰Rt△，斜边为．因此在数轴上能表示的点．那么长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？
解：∵在Rt△ABC中，∠OAB=90°，OA=3，AB=2
∴OB==
∴在数轴上取点A，使OA=3，过点A作AB⊥OA于A，
使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示的点.
思考：怎样在数轴上画出表示（n为正整数）的点？
利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而可以在数轴上画出表示 （n为正整数）的点.（P69）
结论：利用勾股定理，可以做出长为（n为正整数）的线段，进而在数轴上可画出表示
（n是正整数）的点.
练习：书P69练习1，（再练，等）
例2、已知：如图，四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°, ∠B=∠D=90°. 求四边形ABCD的面积.
解：延长BC与AD交于点E
∵∠A=60°，∠B=90°
∴∠E=30°
∵在Rt△ABE中，∠E=30°
∴AE=2AB=4
∵在Rt△ABE中，∠B=90°
∴
∴
∵在Rt△DCE中，∠E=30°
∴CE=2CD=2
∵在Rt△DCE中，∠CDE=90°
∴
∴
∴
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.
例3、已知：如图，在△ABC中，ADBC于D，AB=6，AC=4，BC=8，求BD，DC的长.
解：设BD=x，则CD=8-x
∵ADBC
∴∠1=∠2=90°
∵在Rt△ABD中，∠1=90°
∴
∵在Rt△ADC中，∠2=90°
∴
∴（双勾股）
∴

∴BD=，CD=8-x=
小结：当两个直角三角形有公共边时，可以利用公共边作桥梁，建立方程，这种方法称为双勾股.
三、课堂练习
已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C’处，BC’与AD交于点E，
AD=6，AB=4，求DE的长.
解：∵矩形ABCD
∴BC=AD=6，CD=AB=4，∠C=90°，AD∥BC
∵矩形ABCD沿直线BD折叠
∴△BC’D≌△BCD
∴BC’=BC=6，C’D=CD=4，∠C’=∠C=90°，∠1=∠2
∵AD∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴BE=DE
设DE=BE=x，则C’E=6-x
∵在Rt△DC’E中，∠C’=90°
∴
∴

∴
四、课堂小结
1、在数轴上画出表示（n为正整数）的点的方法.
2、利用辅助线构造Rt△.
3、利用直角三角形的公共边构造方程，简称“双勾股”.
五、作业
见素材
课后反思
课题
§17.1勾股定理（四）
时间
教学目的
知识与技能
利用勾股定理解决数学问题，进一步渗透方程思想和数形结合思想.
过程与方法
运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题.
情感态度与价值观
1、通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．
2、通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值.
教学重点
勾股定理的应用.
教学难点
利用勾股定理建立方程.
教学手段
讲练结合
教 学 内 容 和 过 程
一、复习提问
1、直角三角形的性质：
(1)直角三角形两锐角互余.
(2)斜边大于直角边.
(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边一半.
(4)勾股定理
2、在数轴上画出表示（n为正整数）的点的方法.
二、新课
例1、(1) 已知直角三角形有一个锐角为30°，求这个直角三角形三边的比值.
(2) 已知等腰直角三角形，求其三边的比值. （此题让学生练习）
解：(1) 设BC=k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
∴AB=2BC=2k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2 (勾股定理)
∴AC==
∴BC∶AC∶AB=1∶∶2
(2) 设BC=k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°
∴AC=BC=k
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2 (勾股定理)
∴AB==
∴BC∶AC∶AB=1∶1∶
小结：记住以上结论.
例2、某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东30°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮助小明计算A、B之间的距离是多少？（只分析，不板书）
解：过C作CD⊥AB于D
∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠1=30°
∴
∵在Rt△BCD中，∠CDB=90°
∴
∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠2=45°
∴AD=CD=
∴米.
例3、△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想.
结论：不变
证明：过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=CD
∴BP=BD-PD，PC=CD+PD=BD+PD
∴

∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴
∵在Rt△APD中，∠ADP=90°，
∴
∴
∵AB =4
∴
∴的值不随点P位置的变化而变化.
小结：利用代数计算来证明几何问题.
例4、已知：如图，AB=AC=20，BC=32，∠DAC=90°，求BD的长.
解：作AEBC于E
∵AB=AC，AEBC
∴BE=EC=BC=16
设BD=x，则DE=16-x DC=32-x
∵在Rt△AEC中，∠AEC=90°
∴=144
∵在Rt△ADE中，∠AED=90°
∴
∴
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°
∴
∴
∴
x=7
∴ BD=7
小结：通过添加辅助线，构造直角三角形，利用方程思想和勾股定理求边长. 由于在不同的Rt△中用勾股定理，故要分清每个Rt△中的直角边，斜边，正确使用勾股定理.
三、课堂练习
1、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个正方形的面积S1，S2，S3有什么关系？
2、如图：∠C=90°，图中有阴影的三个半圆的面积S1，S2，S3有什么关系？（P71 / 11）
3、如图：∠C=90°，△ABC的面积为20，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分（即“希波克拉底月牙形”）的面积为 20 . （P71 / 12）
第2题图
第1题图
第3题图
4、直线l上依次摆放着七个正方形 (如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3 、S4，则S1+S2+S3 +S4= 4 .
1
2
3
l
四、课堂小结
1、30°、45°直角三角形三边关系.
1、利用辅助线构造Rt△.
2、利用勾股定理构造方程.
五、作业
见素材
课后反思