备战2022年中考初中数学人教版一轮复习专题：专题7 一元二次方程

这是一份备战2022年中考初中数学人教版一轮复习专题：专题7 一元二次方程，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。


初中数学人教版一轮复习专题：专题7 一元二次方程
一、单选题
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ）
A. ax2+bx+c=0                 B. x2+ 1x =0                 C. 2x+c2=0                 D. （x﹣2）（3x+1）=x
2.把方程 2x(x−1)=3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ）
A. 2,5,0                                B. 2,−5,0                                C. 2,5,1                                D. 2,3,0
3.若（m+2） xm2−4 +3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）
A. ﹣2                                       B. ±                                        C. ±2                                       D. 0
4.x=1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b=0 的解，则 2a+4b= （  ）

A. -2                                          B. -3                                          C. 4                                          D. -6
5.用配方法解方程 x2+2x−1=0 时，配方结果正确的是（   ）

A. (x+2)2=2                       B. (x+1)2=2                       C. (x+2)2=3                       D. (x+1)2=3
6.根据表格估计一元二次方程x2+2x﹣4=0的一个解的范围在（   ）
x
﹣1
0
1
2
3
x2+2x﹣4
﹣5
﹣4
﹣1
4
11
A. ﹣1＜x＜0                            B. 0＜x＜1                            C. 1＜x＜2                            D. 2＜x＜3
7.如果关于x的一元二次方程 kx2−3x+1=0 有两个实数根，那么 k 的取值范围是（    ）
A. k⩾94                    B. k⩾−94 且 k≠0                    C. k⩽94 且 k≠0                    D. k⩽−94
8.已知关于x的方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（　　）

A. 2                                        B. -2                                        C. ±2                                        D. ±2
9.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（    ）
A. 1+x＝225                 B. 1+x2＝225                 C. （1+x）2＝225                 D. 1+（1+x2 ）＝225
10.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（   ）
A. x（x﹣1）=15                   B. x（x+1）=15                   C. x(x−1)2 =15                   D. x(x+1)2 =15
11.如图，在一块长为 20m ，宽为 12m 的矩形 ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 40m2 .设道路宽为 xm ，则以下方程正确的是（   ）

A. 32x+4x2=40              B. 32x+8x2=40              C. 64x−4x2=40              D. 64x−8x2=40
12.关于x的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② (m−1)2+(n−1)2≥2 ；③ −1≤2m−2n≤1 ．其中正确结论的个数是（   ）

A. 0个                                       B. 1个                                       C. 2个                                       D. 3个
二、填空题
13.如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m2−m=3 ， n2−n=3 ，那么代数式 2n2−mn+2m+2015 =      
14.设 x1 ， x2 是方程 2x2+3x−4=0 的两个实数根，则 1x1+1x2 的值为________．
15.x=________时，x2﹣6x+3有最小值，最小值是________．
16.已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为      。

17.已知方程x2+（a﹣3）x+3＝0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，a的取值范围是________．
18.某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x ， 则x=      。

19.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ，有下列说法：①若 a+b+c=0 ，则 b2−4ac≥0 ；②若方程 ax2+c=0 有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根；③若 c 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，则一定有 ac+b+1=0 成立；④若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根，则 b2−4ac=(2ax0+b)2 ．其中说法正确的有      （填序号）．
三、计算题
20.解一元二次方程：
（1）(x+1)2－144=0
（2）x2－4x－32＝0
（3）x（x﹣5）=2（x﹣5）
（4）x2−5x−1=0
四、解答题
21.某商场购进了一批单价为100元的名牌衬衫，当销售价为150元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫单价每降价1元，商场平均每天可多售出4件，另外，这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元，若商场平均每天盈利2 750元，衬衫单价应定为多少元？
22.如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为 135m2 ，求道路的宽度.

23.已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、当a=0时，最高次数不是2次，不是一元二次方程，错误，此选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，错误，此选项不符合题意；
C、最高次数是1次，不是一元二次方程，错误，此选项不符合题意；
D、正确．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义，有一个未知数且未知数的最高次数为2，求解即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：将方程 2x(x−1)=3x 化成一元二次方程的一般形式为 2x2−5x=0 ，
则二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为0.
故答案为：B.
【分析】首先将方程化为一般形式，然后根据一元二次方程的相关概念进行解答.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵（m+2） xm2−4 +3x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣4＝2，m+2≠0，
解得：m＝± 6 ．
故答案为：B
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程。根据定义可知m2﹣4＝2，m+2≠0。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：把x=1代入 x2+ax+2b=0
得 1+a+2b=0,即a+2b=-1,
所以 2a+4b=2(a+2b)=2×（-1）=-2.
故答案为：A。
【分析】根据方程根的定义，将x=1代入x2+ax+2b=0得a+2b=-1,再整体代入代数式即可按有理数的乘法法则算出答案。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：方程两边都“+2”，得

x2+2x+1=2,
则（x+1）2=2。
故选B.
【分析】根据完全平方根式(a+b)2=a2+2ab+b2 ， 配上“b2”即可.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据表格中的数据，知：
方程的一个解x的范围是：1＜x＜2，
故选C．
【分析】据表格中的数据，可以发现：x=1时，x2+2x﹣4=﹣1；x=2时，x2+2x﹣4=4，故一元二次方程x2+2x﹣4=0的其中一个解x的范围是1＜x＜2，进而求解．
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤ 94 且k≠0，
故答案为：C．
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵方程m2x2+（4m﹣1）x+4=0的两个实数根互为倒数，

∴4m2=1，解得m=2或m=﹣2，
当m=2时，方程变形为4x2+7x+4=0，△=49﹣4×4×4＜0，方程没有实数解，
所以m的值为﹣2．
故选B．
【分析】先根据根与系数的关系得到4m2=1，解得m=2或m=﹣2，然后根据判别式的意义确定满足条件的m的值．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：设1人平均感染 x 人，
依题意可列方程： (1+x)2=225 ．
故答案为： C ．
【分析】此题可设1人平均感染 x 人，则第一轮共感染 (x+1) 人，第二轮共感染 x(x+1)+x+1=(x+1)(x+1) 人，根据题意列方程即可．
10.【答案】 C
【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， x(x−1)2 =15，
故答案为：C．
【分析】根据要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，列方程求解即可。
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，
依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，
即32x+8x2=40.
故答案为：B.
【分析】设道路宽为x m，则中间正方形的边长为4x m，根据道路占地总面积为40m2 ， 即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
12.【答案】 D
【解析】【解答】解法一：因为关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得 x1x2=2n>0 ，所以 x1,x2 同号；同理 y1,y2 为同号。根据 x1+x2=−2m<0,y1+y2=−2n<0 得 x1,x2,y1,y2 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得 △=m2−2n≥0 ， △=n2−2m≥0 ，则 m2+n2−2n−2m≥0 ， (m−1)2+(n−1)2≥2 ，故结论②正确；因为 x1,x2,y1,y2 均为负整数，则它们均小于等于 −1 。设 X=x2+2mx+2n ， Y=y2+2ny+2m ，则 X,Y 分别为 x,y 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于 −1 且为整数，因此当 x=−1 时， X=1−2m+2n≥0,m−n≤12 。当 y=−1 时， Y=1−2n+2m≥0,m−n≥−12 ，即 −12≤m−n≤12 ，故结论③正确。
应选D。
解法二：设 x2+2mx+2n=0 的两个整数根为 x1 、 x2 ，
y2+2ny+2m=0 的两个整数根为 y1 、 y2 ，
则 {x1+x2=−2mx1x2=2n ， {y1+y2=−2ny1y2=2m ，
由题意得： x1x2=2n>0 ， y1y2=2m>0 ，
∴ x1+x2=−2m<0 ， y1+y2=−2n<0 ，
∴ x1<0 ， x2<0 ， y1<0 ， y2<0 ，∴①正确；
∵ x2+2mx+2n=0 的两个整数根为 x1 、 x2 ，
∴ Δ=(2m)2−4×2n≥0 ，即 m2≥2n ，
∴ m2−2n≥0 ，同理： n2−2m≥0 。
∴ (m−1)2+(n−1)2=(m2−2n)
+(n2−2m)+2≥2 ，∴②正确；
∵ y1 、 y2 为负整数，∴ y1+1≤0 、 y2+1≤0  ，
∴ (y1+1)(y2+1)≥0 ，∵ y1y2=2m>0 ， y1+y2=−2n<0 ，
∴ y1y2+y1+y2=2m−2n ，∴ 2m−2n+1=y1y2+y1+y2+1
=(y1+1)(y2+1)≥0 ，∴ −1≤2m−2n ，
同理： −1≤2n−2m ，即 2m−2n≤1 ，
∴ −1≤2m−2n≤1 ，∴③正确；
故答案为：D.
【分析】根据题意以及一元二次方程根与系数，可得出两个整数根都是负数，可对①作出判断；利用一元二次方程根的判别式，可对②作出判断；利用一元二次方程根与系数进行解答，可对③作出判断，综上所述，可得出答案。
二、填空题
13.【答案】 2026
【解析】【解答】解：如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m 2 − m = 3 ， n 2 − n = 3 ，
则 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x2−x=3 的两根，
∴ m+n=1 ， mn=−3 ， n2−n=3
2n2−mn+2m+2015
＝ 2(n+3)−mn+2m+2015
＝ 2(m+n)−mn+2015+6
＝2×1-（-3）+2021
=2026
【分析】根据题意可得出 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 − x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+ 3，分别代入可解答。
14.【答案】 34
【解析】【解答】解：由方程 2x2+3x−4=0 可知
x1+x2=−32 ， x1·x2=−42=−2
1x1+1x2=x1+x2x1·x2=−32−2=34 ．
故答案为： 34
【分析】由韦达定理可分别求出 x1+x2 与 x1·x2 的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
15.【答案】 3；-6
【解析】【解答】解：∵x2-6x+3=x2-6x+9-6=（x-3）2-6，
∴当x-3=0时，（x-3）2-6最小，
∴x=3时，代数式x2-6x+3有最小值，为-6．
故答案为：3，-6．
【分析】运用配方法变形x2-6x+3=（x-3）2-6；得出（x-3）2-6最小时，即（x-3）2=0，然后得出答案．
16.【答案】 1
【解析】【解答】令x2+y2=t ， 将原方程化为（t+1）（t+2）=6，

即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
17.【答案】 ﹣1＜a＜﹣ 12 或a＝3﹣2 3 或a＝﹣ 12
【解析】【解答】解：①当△＝0时，即b2﹣4ac＝0，
∴（a﹣3）2﹣12＝0，
∴a﹣3＝±2 3 ，
当a﹣3＝2 3 时，方程x2+2 3 x+3＝0，x1═x2＝﹣ 3 ，不合题意．
当a﹣3＝﹣2 3 时，方程x2﹣2 3 x+3＝0，x1═x2＝ 3 ，符合题意．
②当x＝1时，1+a﹣3+3＝0，
∴a＝﹣1，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，x＝1或3，不符合题意．
③当x＝2时，4+2（a﹣3）+3＝0，
∴a＝﹣ 12 ，
此时方程为2x2﹣7x+6＝0，x＝1.5或2，符合题意．
④由题意 {(a−3)2−12>0[1+(a−3)+3][4+2(a−3)+3]<0 ，
解得﹣1＜a＜﹣ 12 ，
综上所述，a的范围是：﹣1＜a＜﹣ 12 或a＝3﹣2 3 或a＝﹣ 12
故答案为：﹣1＜a＜﹣ 12 或a＝3﹣2 3 或a＝﹣ 12 ．

【分析】此题分四种情况：①当△＝0时，②当x＝1时，③当x＝2时，④由题意 {(a−3)2−12>0[1+(a−3)+3][4+2(a−3)+3]<0分别求解并检验即可求出a的取值范围。
18.【答案】 20%
【解析】【解答】依题意，有：100（1+x）2=144，

1+x=±1.2，
解得：x=20%或-2.2（舍去）．
故答案为：20%．
【分析】根据原价为100元，连续两次涨价x后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求x
19.【答案】 ①②④
【解析】【解答】解：（1）若 a+b+c=0 ，则 x=1 是方程 ax2+bx+c=0 的解
∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知： Δ=b2−4ac≥0 ，故①符合题意；
（2）∵方程 ax2+c=0 ，有两个不相等的实根，
∴ Δ=b2−4ac=0−4ac>0
∴ −4ac>0
又∵方程 ax2+bx+c=0 的判别式 Δ=b2−4ac>0
∴方程 ax2+bx+c=0 必有两个不相等的实根，故②符合题意
（3）∵ c 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根
∴ ac2+bc+c=0
∴ c(ac+b+1)=0
若 c=0 等式成立，但 ac+b+1=0 不一定成立，故③不符合题意
（4）若 x0 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根
则根据求根公式得：
x0=−b+b2−4ac2a  或 x0=−b−b2−4ac2a
∴ 2ax0+b=b2−4ac 或 2ax0+b=−b2−4ac
∴ b2−4ac=(2ax0+b)2 ，故④符合题意．
故答案为：①②④

【分析】根据方程的解含义，i元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的球根公式等对各项分别讨论，可得答案。
三、计算题
20.【答案】 （1）解： (x+1)2=144
x+1=±12
x1=11,x2=−13

（2）解： x2−4x=32
x2−4x+4=32+4
(x+2)2=36
x+2=±6
x1=8,x2=−4

（3）解： x(x−5)−2(x−5)=0
(x−2)(x−5)=0
x1=5,x2=2

（4）解：a=1，b=-5，c=-1，
x=−b±b2−4ac2a=−(−5)±(−5)2−4⋅(−1)2=5±292
x1=5+292,x2=5−292
【解析】【分析】（1）先把-144移到右边，然后用直接开平方法计算即可；（2）先把-32移到右边，然后配完全平方计算即可；（3）先把2（x﹣5）移到左边，再根据因式分解法解方程即可；（4）直接用公式法解方程即可.
四、解答题
21.【答案】 解：设每件衬衫应降价 x 元，可使商场每天盈利2750元．
根据题意，得 (150−x−100)(20+4x)−50=2750 ．
解得： x1=15 ， x2=30 ．
因尽快减少库存，故x=30
因此定价为150－30=120
答：衬衫单价应为120元．
【解析】【分析】设每件衬衫的价格为x元，根据商场盈利2750元，即可得到方程，计算得到方程的两个根即可，结合题意可知，商场要尽快减少库存，降价的幅度要选择大的，进行求解即可。
22.【答案】 解：原图形经过平移可转化为：

设道路的宽度为xm，由题意可得(16-x)(10-x)=135，
整理得x2-26x+25=0，
解得x1=25（不合题意，舍去），x2=1，故道路的宽度为1m.
【解析】【分析】首先对原图形进行平移，然后设道路的宽度为xm，则可得(16-x)(10-x)=135，据此解方程即可.
 
23.【答案】 （1）证明：∵△=b2﹣4ac=（3k+1）2﹣4（2k2+2k）=9k2+6k+1﹣8k2﹣8k=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0

∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k﹣1）2=0，解得：k=1．
此时原方程化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x2﹣10x+24=0或x2﹣16x+60=0，
解得x1=4，x2=6或x1=6，x2=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，
周长为6+6+4=16或6+6+10=22．
【解析】【分析】（1）计算方程的根的判别式，若△=b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；

（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．