备战2022年中考初中数学人教版一轮复习专题：专题8 分式方程及其应用

这是一份备战2022年中考初中数学人教版一轮复习专题：专题8 分式方程及其应用，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，综合题等内容，欢迎下载使用。


初中数学人教版一轮复习专题：专题8 分式方程及其应用

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1.下列方程:① x−35 =1;② 3x =2;③ 1+x5+x =12 ④ x2 + 2x2+1 =5;⑤ xπ + x2π =4.其中是分式方程的是(   )
A. ①②                                    B. ②③                                    C. ③④                                    D. ②③④
2.下面说法中，正确的是（   ）
A. 把分式方程化为整式方程，则这个整式方程的解就是这个分式方程的解
B. 分式方程中，分母中一定含有未知数
C. 分式方程就是含有分母的方程
D. 分式方程一定有解
3.下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 1−4x+2=0 的根为2；③方程 12x=12x−4 的最简公分母为 2x(2x−4) ；④ x+1x−1=1+1x 是分式方程.其中正确的个数是（   ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
4.用换元法解方程x2-2x+7x2−2x=8，若设x2-2x=y,则原方程化为关于y的整式方程是(   )

A. y2+8y-7=0                      B. y2-8y-7=0                      C. y2+8y+7=0                      D. 
y2-8y+7=0


5.分式方程 xx−1−1=3(x−1)(x+2) 的解为（    ）
A. x=1                                  B. x=2                                  C. x=−1                                  D. 无解
6.已知 3x+4x2-x-2 = Ax-2 - Bx+1 ,其中A,B为常数,则4A-B的值为(   )
A. 13                                           B. 9                                           C. 7                                           D. 5
7.关于x的方程 3x−2x+1 =2+ mx+1 无解,则m的值为(   )

A. -5                                          B. -8                                          C. -2                                          D. 5
8.已知方程 k−1x2−1−1x2−x=k−5x2+x 有增根x=1，那么k的值为(     )

A. 1                                         B. −1                                         C. 3                                         D. −3
9.从－3，－1， 12 ，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的方程 (1−2a)x2−2x−1=0 有实数解，且使关于x的分式方程 axx−3+13−x=1 有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a值之和是（   ）.
A. ﹣3                                       B. −12                                       C. −32                                       D. 2
10.若 1x + 1y = 1x+y ，则 yx + xy 的值为（   ）
A. 0                                      B. 1                                      C. ﹣1                                      D. 无法计算
11.新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（   ）

A. 5000x+1 = 5000(1−20%)x                                      B. 5000x+1 = 5000(1+20%)x
C. 5000x−1 = 5000(1−20%)x                                      D. 5000x−1 = 5000(1+20%)x
12.一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米/时，则可列方程（    ）

A. 10030+x=6030−x                B. 100x+30=60x−30                C. 10030−x=6030+x                D. 100x−30=60x+30
二、填空题
13.若 m−3m−1 •|m|= m−3m−1 ，则m=       ．

14.如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为________．

15.已知关于x的分式方程 xx−3 －2= kx−3 有一个正数解，则k的取值范围为      .
16.已知a>b>0,且 2a+1b+3b-a=0 ，则 ba= ________。

17.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为      。

18.如图，甲，乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地，在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发，则在距离C地1000米处甲追上乙。已知，乙每分钟走60米，那么甲的速度是每分钟      米。

19.观察下列等式：
11×2=1−12 ， 12×3=12−13 ， 13×4=13−14
将以上三个等式两边分别相加得： 11×2+ 12×3+ 13×4 = 1−12 + 12−13 + 13−14 = 1−14 = 34
猜想并得出： 1n(n+1) = 1n−1n+1
根据以上推理，求出分式方程 1x−2+1(x−2)(x−3)+1(x−3)(x−4)=1 的解是________．
三、计算题
20.解方程： 1−1x2+7x+6=x2−5x+5x2−5x+6
21.解分式方程： 7x2+x−3x−x2=1+7−x2x2−1
四、综合题
22.已知关于x的分式方程 2x−2 + mxx2−4 = 2x+2 .
（1）若方程的增根为x=2,求m的值;
（2）若方程有增根,求m的值;
（3）若方程无解,求m的值.
23.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
24.李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟.

（1）求李老师步行的平均速度；

（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由.


答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解根据分式方程的定义，分母里必须有未知数，从而得出②③④符合题意；①⑤不符合题意；
故应选 ：D.
【分析】根据分式方程的定义，分母里含有未知数的方程就是分式方程，就可以作出判断。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解： A 、把分式方程化为整式方程，这个整式方程的解不一定是这个分式方程的解，故本选项错误；
B 、分式方程中，分母中一定含有未知数，故本选项正确；
C 、根据分式方程必须具备两个条件：①分母含有未知数；②是等式，故本选项错误；
D 、分式方程不一定有解，故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断，即可得出答案.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
当x=2时，左边=1-42+2=1-1=0=右边，所以方程 1−4x+2=0 的根为x=2，故②正确；
方程 12x=12x−4 变形为12x=12x−2 ， 所以最简公分母为2x(x-2)，故③错误；
x+1x−1=1+1x 的分母中含有未知数，所以是分式方程，故④正确.
故答案为：B.
【分析】分母中含有未知数的方程就是分式方程，根据定义即可判断④；使方程的左右两边相等的未知数的值就是方程的解，根据定义即可判断②；使分式方程的最简公分母为0的根，就是原方程的增根，根据定义即可判断①；各个分母能分解因式的分别分解因式后，找出系数的最小公倍数及字母或含字母式子的最高次幂，其积就是最简公分母，根据定义即可判断③.
4.【答案】 D
【解析】【解答】设x2-2x=y．
∴y+7y=8．
∴y2+7=8y．
∴y2-8y+7=0．
故选D
【分析】由于方程中含有x2-2x，故设x2-2x=y，代入方程后，把原方程化为整式方程．

5.【答案】 D
【解析】【解答】去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
故答案为：D．
【分析】根据等式的性质在方程两边都乘以（x-1）(x+2)，约去分母，将分式方程，转化为整式方程，解整式方程，得出x的值，并检验即可得出原方程解的情况。
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：3x+4x−2x+1=Ax+1−Bx−2x−2x+1
3x+4x−2x+1=A−Bx+A+2Bx−2x+1
∴A−B=3A+2B=4
解之：A=103B=13
∴4A-B=4×103-13=13
故答案为：A
【分析】先将等式的右边通分化简，再根据分子中的对应项系数相等，建立关于A、B的方程组，求出A、B的值，再求出4A-B的值即可。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：去分母得：3x-2=2（x+1）+m
整理得：3x-2=2x+2+m
x=4+m
∵原方程无解
∴x+1=0
∴x=-1
∴-1=4+m
解之：m=-5
故答案为：A
【分析】先将原方程去分母转化为整式方程，求出x=4+m，根据原方程无解求出x=-1，再建立关于m的方程求解，即可得出m的值
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：去分母得 x(k−1)−(x+1)=(x−1)(k−5)  ；

∵有增根x=1，
∴1×(k−1)−(1+1)=(1−1)(k−5) ，
解之得 k=3  ，故选C.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：当1-2a=0时，a=12 ， 原方程可化为-2x-1=0，解得x=12 ，
此时分式方程为： 12xx−3+13−x=1 ， 解得x=4满足题意；
当1-2a≠0时，关于x的方程 (1−2a)x2−2x−1=0 有实数解，
∴∆≥0，即4+4（1-2a）≥0，
∴a≤1，∴a可以为 －3，－1 ，1
关于x的分式方程axx−3+13−x=1
去分母得：ax-1=x-3，
解得 x=−2a−1 ，
∵关于x的分式方程 axx−3+13−x=1 有整数解，
∴−2a−1是整数，−2a−1−3≠0且a−1≠0
∴a=-1或 12 ，
∴这5个数中所有满足条件的a值之和是-1+ 12 =- 12 ，
故答案为：B.
【分析】利用方程有实数根得∆≥0，据此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集；再求出分式方程的解，根据此方程有整数解，可确定出a的值，然后求出所有满足条件的a值之和.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：由 1x + 1y = x+yxy = 1x+y 得到（x+y）2=xy，即x2+y2=﹣xy，
则原式= x2+y2xy =﹣1．
故答案为：C．
【分析】先将所给分式方程化简得到：x2+y2=﹣xy，再将方程两边同时除以xy即可求得所给式子的值.
11.【答案】 A
【解析】【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，
根据题意，得： 5000x+1 = 5000(1−20%)x ，
故答案为：A．
【分析】抓住题中关键的已知条件：每辆车的销售价格比去年降低1万；销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20%，列方程即可解答。
12.【答案】 A
【解析】【解答】解：设江水的流速为x千米/时，

10030+x=6030−x .
故选A.
【分析】本题主要考查分式方程的实际问题的应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，设出未知数，分别找出顺水和溺水对应的时间，找出合适的等量关系，列出方程即可.
二、填空题
13.【答案】 3或﹣1
【解析】【解答】解：由题意得，

m﹣1≠0，
则m≠1，
（m﹣3）•|m|=m﹣3，
∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=﹣1，
故答案为：3或﹣1．
【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．
14.【答案】 1或3
【解析】【解答】解：当x+1=2时，x=1，不符合x≤0；
当x2+1=2时，x=±1，此时x=1符合；
当 6x =2时，x=3，此时符合；
∴x=3或x=1，
故答案为：1或3．
【分析】分别令三种情况的y=2，求出相应的x，判断x是否满足所在范围即可．
15.【答案】 k<6且k≠3
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-3得：
x-2（x-3）=k，
解得：x=6-k.
又∵分式方程的解为正数，
∴6-k>0且6-k≠3，
∴k<6且k≠3.
故答案为:k<6且k≠3.
【分析】分式方程两边同时乘以最简公分母x-3，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出方程的根，又分式方程的解为正数，由此得6-k>0且6-k≠3，解之即可得出答案.
16.【答案】 3−12
【解析】【解答】解：∵2a+1b+3b−a=0
两边同时乘以ab（a-b）得：
a2-2ab-2b2=0，
两边同时除以a2得：
2（ ba ） 2+2 ba -1=0，
令t= ba （t〉0）,
∴2t2+2t-1=0，
∴t= −1±32 ，
∴t= ba = 3−12 .
故答案为： 3−12 .
【分析】等式两边同时乘以ab（a-b）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a2得：
2（ ba ）2+2 ba -1=0，解此一元二次方程即可得答案.
17.【答案】
【解析】【解答】采用新技术前所用时间为： ，采用新技术后所用时间为： ，
∴所列方程为：

【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间=18天．

18.【答案】 100
【解析】【解答】解：设甲到C地的距离为S米，甲比乙多走a米，甲的速度为x米/分，
则根据题意得： S−2500x = S−a−250060  ①
S−1000x = S−a−1000−60060 = S−a−250060 +15 ②
①和②式联立得： S−1000x -15= S−2500x （S-1000）/X-15=（S-2500）/X
解得：x=100，即甲的速度为100米每分．
故答案为：100．
【分析】根据题意找出相等的关系量，列出分式方程，求出甲的速度.
19.【答案】 x=5
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ 1n(n+1)=1n−1n+1 ，
∴ 1x−2+1(x−2)(x−3)+1(x−3)(x−4)=1 ，
整理得： 1x−2+1(x−3)−1(x−2)+1(x−4)−1(x−3)=1 ，
∴ 1x−4=1 ，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【分析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
三、计算题
20.【答案】 解： 1−1x2+7x+6=x2−5x+5x2−5x+6
1−1x2+7x+6=1−1x2−5x+6  
x2−5x+6=x2+7x+6  
x=0  
检验：把 x=0 代入最简公分母，最简公分母不等于0，
所以，原分式方程的解为 x=0 .
【解析】【分析】因为 x2+7x+6=(x+1)(x+6) , x2−5x+6=(x−2)(x−3) ,所以最简公分母为： (x+1)(x+6)(x−2)(x−3) ，若采取去分母的通常方法，运量较大，由于 x2−5x+5x2−5x+6=x2−5x+6−1x2−5x+6=1−1x2−5x+6 ，故即可得出以下解法.
21.【答案】 解：去分母得： 7(x−1)+3(x+1) =x(x+1)(x−1)+x(7−x2)
解得 x=1
经检验， x=1 是原分式方程的解.
【解析】【分析】去分母化为整式方程，解整式方程并验根即可得解.
四、综合题
22.【答案】 （1）解:去分母并整理,得mx=-8
若增根为x=2,则2m=-8,得m=-4

（2）解:若原分式方程有增根,则(x+2)(x-2)=0,
所以x=-2或x=2.当x=-2时,-2m=-8,
得m=4;当x=2时,2m=-8,得m=-4.
所以若原分式方程有增根,则m=±4

（3）解:由(2)知,当m=±4时,
原分式方程有增根,即无解;
当m=0时,方程mx=-8无解.
综上知,若原分式方程无解,则m=±4或m=0
【解析】【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，然后将x=2代入，求解即可。
（2）根据原方程由增根，则分母为0，即(x+2)(x-2)=0，求出x的值，再将x的值分别代入mx=-8，即可求出m的值。
（3）根据（2）可知方程无解时m=±4；再根据mx=-8，若m=0时，此方程无解，即可求出满足条件的m的值。
23.【答案】 （1）解：设二号施工队单独施工需要x天，依题可得
  140×5+(140+1x)×(40−5−14)=1
  解得x=60
  经检验，x=60是原分式方程的解
  ∴由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天     

（2）解：由题可得 1÷(140+160)=24 （天）
∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天
【解析】【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，一号队的工作效率是140 ， 二号队的工作效率是1x,一号队单独的工作量+两队合作的工作量=1，列出方程，求解并检验即可；
（2）根据工作时间=工作总量除以工作效率即可得出一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要的时间。
24.【答案】 （1）解：设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，由题意得，1900x﹣19005x=20，解得：x=76，经检验，x=76是原分式方程的解，且符合题意，则5x=76×5=380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟.

（2）解：

由（1）得，李老师走回家需要的时间为：19002×76=12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为：1900380=5，
则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＜23，
答：李老师能按时上班．
【解析】【分析】（1）设李老师步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走1900米所用的时间比步行少20分钟，据此列方程求解；

（2）计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23分钟进行比较即可．