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第七章 第一节 空间点、线、面之间的位置关系-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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第一节 空间点、线、面之间的位置关系
知识回顾
1．四个公理、三个推论
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间两条直线的位置关系
(1)位置关系的分类
①分类：
②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
课前检测
1.下列命题中正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
④若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在这个平面内，故①错误．
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，故②错误．
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，
故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故③正确．
④若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α或l与平面相交，故④错误．
故选：B．
【备注】在①中，另一条与这个平面平行或在这个平面内；在②中，l与平面α内的任意一条直线都平行或异面；在③中，l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；在④中，l//α或l与平面相交．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
2.a,b是异面直线，下列结论中正确的是( )
A．过不在a,b上的任一点，可作一个平面与a,b都平行
B．过不在a,b上的任一点，可作一条直线与a,b都相交
C．经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b
D．经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b
【答案】C
【解析】A、依题意，将a平移到与b相交，此时的a用a'表示，a'与b相交，确定平面α，则a∥α，在a'上选一点P（点P∉b），此时α不与b平行，故A错误；
B、设点P为不在a,b上的任一点，则过点P，a可构成一个平面α，若b与平面α平行，则过点P找不到这样的直线与a、b都相交，故B错误；
C、经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b，正确；
下面用反证法证明：
在a上任意取一点C，过此点做直线CD∥b；①
由于a,CD为两相交直线，故可唯一确定一平面α．显然，b∥α．
若另有一平面β，过a且平行于b，可过b和点C做平面γ，γ与β相交于过C点的直线CE．则CE∥b；②
由 ① ② 知CD,CE为同一直线，即β与α为同一平面，故C正确；
D、只有a,b垂直时才能作出满足条件的平面，故D错误．
故选：C．
【备注】异面直线性质判定
3.下列命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上所述，真命题的个数为2.
4.直线在平面外是指( )
A．直线与平面没有公共点 B．直线与平面相交
C．直线与平面平行 D．直线与平面最多只有一个公共点
【答案】D
【解析】根据直线在平面外是指，直线平行于平面或直线与平面相交．
∴ 直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选 D
5.若l//a，A∈a，则下列说法正确的是( )
A．过A在平面a内可作无数条直线与l平行
B．过A在平面a内仅可作一条直线与l平行
C．过A在平面a内可作两条直线与l平行
D．与A的位置有关
【答案】B
【解析】
如果过A在平面α内可以做两条直线与l平行，根据平行公理知道这两条直线平行，这与两直线相交于A点相矛盾．故选B．
【备注】本题考查直线与平面的关系，根据题意利用反证法即可得到结论．
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________ .(填“平行”、“相交”或“异面”)
【答案】
相交
【解析】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，
∴PQ//A1D，
∵直线A1P与DQ共面，
∴PQ=12A1D，∴四边形A1DQP是梯形，
∴直线A1P与DQ相交．
故答案为：相交．
【备注】由已知得PQ//A1D，PQ=12A1D，从而四边形A1DQP是梯形，进而直线A1P与DQ相交．
本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．
解析：通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．
【答案】7
课中讲解
考点一.平面的基本性质及应用
例1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点．
变式1.已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1) E、F、G、H四点共面；
(2) 三直线FH、EG、AC共点．
【解析】 (1) 如图所示，连结EF，GH.
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又因为CG＝BC，CH＝DC，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E、F、G、H四点共面．
(2) 易知直线FH与直线AC不平行，但共面，
所以设FH∩AC＝M，
所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，所以FH、EG、AC共点．
例2 (1)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是___ ____(填序号)．
④
变式2. 以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 B
【解析】 ①显然是正确的，可用反证法证明；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.
考点二.空间两直线位置关系的判定
例1.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交成60∘角
C．异面成60∘角 D．异面且垂直
【答案】C
【解析】
如图，
直线AB，CD异面．
因为CE//AB，
所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，
故∠DCE=60∘
故选C
【备注】以CD所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE//AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．
本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．
变式1.在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
①
②
③
④
【答案】
②④
【解析】图 ① 中，直线 GH//MN；
图 ② 中，G、H、N 三点共面，但 M∉ 面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；
图 ③ 中，连接 MG，GM//HN，因此 GH 与 MN 共面；
图 ④ 中，G、M、N 共面，但 H∉ 面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．
所以图 ②④ 中 GH 与 MN 异面．
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是A1B1，B1C1的中点，问：
(1) AM与CN是否是异面直线？说明理由；
【答案】不是
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN//A1C1//AC，即A,C,M,N四点共面，
所以AM与CN不是异面直线，是共面直线．
(2) D1B与CC1是否是异面直线？说明理由；
【答案】是
【解析】因为DD1//CC1，所以点D1不在直线CC1上，
因为平面D1C1CD∩平面B1C1CB=C1C，
所以D1∉平面B1C1CB，即点D1在平面B1C1CB外，
因为B1B//C1C，所以点B不在直线CC1上，
根据异面直线的定义可得：D1B与CC1是异面直线．
变式2.若MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．垂直但不相交 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面
【答案】A
【解析】
如图所示：MA是面ABCD的斜线，故MA与BD的一定是异面直线，
∵MC⊥菱形ABCD，BD⊂菱形ABCD
∴MC⊥BD
由菱形的对角线互相垂直，可得AC⊥BD
又∵MC∩AC=C，MC，AC⊂平面MAC
∴BD⊥平面MAC
又∵MA⊂平面MAC
∴MA与BD垂直
故选A
【备注】由题意，画出满足条件的图形，结合异面直线的定义及判定定理可得出两直线一定是异面直线，再由线面垂直的判定定理及性质可得答案．
本题考点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了异面直线的定义，解题的关键是理解题意及异面直线的定义，考查了空间想像能力及依据定义推理判断的能力，属于基础概念考查题．
例3.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
画出展开图复原的几何体，
所以C与G重合，F，B重合，
所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：
AB与GH，AB与CD，GH与EF，
共有3对．
故选：C
．
【备注】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．
本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力
变式3 (1)(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
答案 ABC
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
答案 D
解析 连结D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连结BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
例4.已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
【证明】 (方法1)(反证法)：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，
∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线．
(方法2)(直接证法)：∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．
变式4.(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.
例5．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】选D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
变式5.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
【答案】③④
考点三.求异面直线所成的角
例1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90∘,AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30∘ B．45∘
C．60∘ D．90∘
【答案】C
【解析】第一步：如图所示，连接AB1，设AB1∩A1B=O，过点O作OD//AC1交B1C1于点D，连接A1D，
第二步：根据异面直线所成角的定义：∠A1OD（或其补角）为异面直线AB1与AC1所成的角，
第三步：设AB=AC=AA1=a，则
AC1=2a，OD=12AC1=2a2，OA1=A1B2=2a2，AD=12B1C1=2a2
故ΔA1OD为正三角形，∠A1OD=60∘，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60∘，故选C．
变式1．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】选C 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，
所以cos ∠DB1F＝.
例2．(2019·西安质检)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】选D 如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角．依题意得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝－，所以cos θ＝.
变式2.（多选）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则
A． B．直线与直线共面
C． D．直线与直线异面
【答案】．
【解析】如图，连接，，则，
为异面直线与所成的角，
，为正四棱柱，，分别为，的中点，设，则，，
在中，根据余弦定理，，
；
连接，，，则，，
，
与共面．
变式3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
【解析】 (1)连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，
∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
课后习题
一． 单选题
1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BD1 与 B1C 是( )
A．相交直线
B．异面但不垂直的两条直线
C．异面垂直的两条直线
D．相交且垂直的直线
【答案】C
【解析】正方体 ABCD-A1B1C1D1 中．
因为 BD1∩平面BCC1B1=BB1C⊂平面BCC1B1．
B∉B1C．
所以由异面直线判定定理得 BD1 与 B1C 是异面直线．
故选 C
【备注】本题给出长方体，判断它的两条对角线的位置关系，着重考查了空间两条直线位置关系的判断及其证明的知识，属于基础题．
2.三个平面两两相交，只有一条公共直线，这三个平面把空间分成( )部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
根据题意，三个平面两两相交，只有一条公共直线，
画出图形，如图所示
；
∵α∩β∩γ=l，
∴平面α、β、γ把空间分成6部分．
故选：B．
【备注】根据题意，三个平面两两相交，只有一条公共直线，画出图形，结合图形，得出正确的结论．
本题考查了平面与平面的相交问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形，解答问题，是基础题．
3.如果点 P 在直线 m 上，m 在平面 α 内，若用符号表示 P、m、α 之间关系，表示正确的是( )
A．P∈m∈α
B．P∈m⊂α
C．P⊂m∈α
D．P⊂m⊂α
【答案】B
【解析】点 P 在直线 m 上，记 P∈m．
在平面 α 内，记 m⊂α．
用符号表示 P、m、α 之间关系为 P∈m⊂α．
故选 B
4.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
【答案】B
【解析】
∵点M在直线a上，直线a在平面α内，
∴M，a，α之间的关系可记为：
M∈直线a，a⊂平面α．
故选：B．
【备注】利用点与直线、直线与平面的位置关系求解．
本题考查点、直线、平面间的位置关系的数学语言，解题时要认真审题，是基础题．
5.若a和b异面，b和c异面，则( )
A．a//c B．a和c异面
C．a和c异面或平行或相交 D．a和c相交
【答案】C
【解析】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，
则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，
而a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，
此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，
此时a和c异面；
故选C．
【备注】以长方体为例，即可得出结论．
本题考查考查线线位置关系，考查数形结合的数学思想，正确运用长方体是关键．
6.若直线a与平面α不平行，则下列结论成立的是( )
A．平面α内任意直线都与直线a异面 B．平面α内不存在与直线a平行的直线
C．平面α内的直线都与直线a相交 D．直线a与平面α一定有公共点
【答案】D
【解析】
若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内
对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；
对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；
对于C，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立；
对于D，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立．
故选D．
【备注】对于A，C可列举出所以可能性，对于B当a在平面α内就存在与a平行的直线，对于D根据线面的位置关系进行判定即可．
本题主要考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系等有关知识，同时考查了推理能力，属于基础题．
7.(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】取DD1中点F，连EF，AF，AE，易知EF∥DC，所以∠AEF为两异面直线所成的角．在Rt△AEF中，令正方体棱长为1，则EF＝1，AF＝，所以tan∠AEF＝＝.故选C.
9.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝.故选C.
10．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
【答案】选A 连接A1C1，AC，因为A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
二． 多选题
11．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线
C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
答案 CD
解析 由题意画出正方体的图形如图，
显然AB不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．
故选CD.
12．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是( )
A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变
B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角
答案 AB
解析 对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，
则P到平面AD1C的距离不变，
由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，
则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan ＜，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误．
所以其中说法正确的是A，B.
三． 填空题
13.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，
∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
14．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．
解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
【答案】60°
15．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，
且＝＝，有以下四个结论．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
其中正确结论的序号为________．
解析：如图所示．连接EH，FG，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
【答案】④
16.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．
答案
解析 如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．
则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是.
17.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为________．
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝PC.故∠ADE为异面直线PC，AD所成的角或其补角．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.故DE＝PC＝.在Rt△PAB中，PB＝＝＝2.又PD＝DB，所以AD＝PB＝.在Rt△EAB中，AE＝＝＝.在△DAE中，cos∠ADE＝＝＝－.故异面直线PC，AD所成角的余弦值为.
【答案】
四． 解答题
18.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
19.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积．
解：(1)因为AA1∥CC1，
所以异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点．
因为点O是正三角形ABC的中心，
且A1O⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，BC⊥A1O，
因为AD∩A1O＝O，
所以BC⊥平面ADA1.
所以BC⊥AA1，又因为AA1∥CC1，
所以CC1⊥BC，BC＝CC1＝B1C1＝BB1＝2，
即四边形BCC1B1为正方形，
所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.
(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以可求得AD＝，AO＝AD＝，
A1O＝＝.
所以VABCA1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，
VA1BCC1B1＝VABCA1B1C1－VA1ABC＝，
所以VC1BCA1＝VA1BCC1＝VA1BCC1B1＝.
20.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.
证明 连结BD，B1D1，如图.
则BD∩AC＝O，∵BB1∥DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
21.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
解 如图所示，取AC的中点F，连结EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
22.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
证明 (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面.
即D、B、F、E四点共面.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点.
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
第一节 空间点、线、面之间的位置关系
知识回顾
1．四个公理、三个推论
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间两条直线的位置关系
(1)位置关系的分类
①分类：
②定理：过平面内的一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
③定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
课前检测
1.下列命题中正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
④若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
①如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面平行或在这个平面内，故①错误．
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，故②错误．
③若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，
故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故③正确．
④若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α或l与平面相交，故④错误．
故选：B．
【备注】在①中，另一条与这个平面平行或在这个平面内；在②中，l与平面α内的任意一条直线都平行或异面；在③中，l与平面α内的任意一条直线都平行或异面，故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点；在④中，l//α或l与平面相交．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
2.a,b是异面直线，下列结论中正确的是( )
A．过不在a,b上的任一点，可作一个平面与a,b都平行
B．过不在a,b上的任一点，可作一条直线与a,b都相交
C．经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b
D．经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b
【答案】C
【解析】A、依题意，将a平移到与b相交，此时的a用a'表示，a'与b相交，确定平面α，则a∥α，在a'上选一点P（点P∉b），此时α不与b平行，故A错误；
B、设点P为不在a,b上的任一点，则过点P，a可构成一个平面α，若b与平面α平行，则过点P找不到这样的直线与a、b都相交，故B错误；
C、经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b，正确；
下面用反证法证明：
在a上任意取一点C，过此点做直线CD∥b；①
由于a,CD为两相交直线，故可唯一确定一平面α．显然，b∥α．
若另有一平面β，过a且平行于b，可过b和点C做平面γ，γ与β相交于过C点的直线CE．则CE∥b；②
由 ① ② 知CD,CE为同一直线，即β与α为同一平面，故C正确；
D、只有a,b垂直时才能作出满足条件的平面，故D错误．
故选：C．
【备注】异面直线性质判定
3.下列命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上所述，真命题的个数为2.
4.直线在平面外是指( )
A．直线与平面没有公共点 B．直线与平面相交
C．直线与平面平行 D．直线与平面最多只有一个公共点
【答案】D
【解析】根据直线在平面外是指，直线平行于平面或直线与平面相交．
∴ 直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选 D
5.若l//a，A∈a，则下列说法正确的是( )
A．过A在平面a内可作无数条直线与l平行
B．过A在平面a内仅可作一条直线与l平行
C．过A在平面a内可作两条直线与l平行
D．与A的位置有关
【答案】B
【解析】
如果过A在平面α内可以做两条直线与l平行，根据平行公理知道这两条直线平行，这与两直线相交于A点相矛盾．故选B．
【备注】本题考查直线与平面的关系，根据题意利用反证法即可得到结论．
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，则直线A1P与DQ的位置关系是________ .(填“平行”、“相交”或“异面”)
【答案】
相交
【解析】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P、Q分别是B1C1、CC1的中点，
∴PQ//A1D，
∵直线A1P与DQ共面，
∴PQ=12A1D，∴四边形A1DQP是梯形，
∴直线A1P与DQ相交．
故答案为：相交．
【备注】由已知得PQ//A1D，PQ=12A1D，从而四边形A1DQP是梯形，进而直线A1P与DQ相交．
本题考查两直线位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．
解析：通过举例说明，如三棱柱三个侧面所在平面满足两两相交，且三条交线互相平行，这三个平面将空间分成7部分．
【答案】7
课中讲解
考点一.平面的基本性质及应用
例1. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，
∴CE，D1F，DA三线共点．
变式1.已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1) E、F、G、H四点共面；
(2) 三直线FH、EG、AC共点．
【解析】 (1) 如图所示，连结EF，GH.
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又因为CG＝BC，CH＝DC，
所以GH∥BD，所以EF∥GH，
所以E、F、G、H四点共面．
(2) 易知直线FH与直线AC不平行，但共面，
所以设FH∩AC＝M，
所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又因为平面EFHG∩平面ABC＝EG，
所以M∈EG，所以FH、EG、AC共点．
例2 (1)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是___ ____(填序号)．
④
变式2. 以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 B
【解析】 ①显然是正确的，可用反证法证明；②若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.
考点二.空间两直线位置关系的判定
例1.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交成60∘角
C．异面成60∘角 D．异面且垂直
【答案】C
【解析】
如图，
直线AB，CD异面．
因为CE//AB，
所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，
故∠DCE=60∘
故选C
【备注】以CD所在平面为底面，将正方体的平面展开图还原成直观图，因为CE//AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．
本题以图形的折叠为载体，考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，考查空间想象能力和运算能力．
变式1.在图中，G、N、M、H 分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
①
②
③
④
【答案】
②④
【解析】图 ① 中，直线 GH//MN；
图 ② 中，G、H、N 三点共面，但 M∉ 面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；
图 ③ 中，连接 MG，GM//HN，因此 GH 与 MN 共面；
图 ④ 中，G、M、N 共面，但 H∉ 面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．
所以图 ②④ 中 GH 与 MN 异面．
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是A1B1，B1C1的中点，问：
(1) AM与CN是否是异面直线？说明理由；
【答案】不是
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN//A1C1//AC，即A,C,M,N四点共面，
所以AM与CN不是异面直线，是共面直线．
(2) D1B与CC1是否是异面直线？说明理由；
【答案】是
【解析】因为DD1//CC1，所以点D1不在直线CC1上，
因为平面D1C1CD∩平面B1C1CB=C1C，
所以D1∉平面B1C1CB，即点D1在平面B1C1CB外，
因为B1B//C1C，所以点B不在直线CC1上，
根据异面直线的定义可得：D1B与CC1是异面直线．
变式2.若MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．垂直但不相交 B．平行 C．相交但不垂直 D．异面
【答案】A
【解析】
如图所示：MA是面ABCD的斜线，故MA与BD的一定是异面直线，
∵MC⊥菱形ABCD，BD⊂菱形ABCD
∴MC⊥BD
由菱形的对角线互相垂直，可得AC⊥BD
又∵MC∩AC=C，MC，AC⊂平面MAC
∴BD⊥平面MAC
又∵MA⊂平面MAC
∴MA与BD垂直
故选A
【备注】由题意，画出满足条件的图形，结合异面直线的定义及判定定理可得出两直线一定是异面直线，再由线面垂直的判定定理及性质可得答案．
本题考点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了异面直线的定义，解题的关键是理解题意及异面直线的定义，考查了空间想像能力及依据定义推理判断的能力，属于基础概念考查题．
例3.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
画出展开图复原的几何体，
所以C与G重合，F，B重合，
所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：
AB与GH，AB与CD，GH与EF，
共有3对．
故选：C
．
【备注】展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．
本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力
变式3 (1)(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
答案 ABC
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．相交且垂直
C．异面 D．平行
答案 D
解析 连结D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，
连结BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1.
例4.已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
【证明】 (方法1)(反证法)：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，
∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，
∴AD和BC是异面直线．
(方法2)(直接证法)：∵a∩c＝P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C∉平面α，B∈平面α，BC⊄平面α，AD⊂平面α，B∉AD，∴AD和BC是异面直线．
变式4.(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直.
例5．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
【答案】选D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
变式5.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
【答案】③④
考点三.求异面直线所成的角
例1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90∘,AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30∘ B．45∘
C．60∘ D．90∘
【答案】C
【解析】第一步：如图所示，连接AB1，设AB1∩A1B=O，过点O作OD//AC1交B1C1于点D，连接A1D，
第二步：根据异面直线所成角的定义：∠A1OD（或其补角）为异面直线AB1与AC1所成的角，
第三步：设AB=AC=AA1=a，则
AC1=2a，OD=12AC1=2a2，OA1=A1B2=2a2，AD=12B1C1=2a2
故ΔA1OD为正三角形，∠A1OD=60∘，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60∘，故选C．
变式1．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】选C 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，
所以cos ∠DB1F＝.
例2．(2019·西安质检)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【答案】选D 如图，取BC的中点O，取BD的中点E，取AC的中点F，连接OA，OE，OF，EF，则OE∥CD，OF∥AB，则∠EOF或其补角为异面直线AB与CD所成的角．依题意得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，过点F作FG⊥BC于点G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G为OC的中点，则OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝－，所以cos θ＝.
变式2.（多选）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则
A． B．直线与直线共面
C． D．直线与直线异面
【答案】．
【解析】如图，连接，，则，
为异面直线与所成的角，
，为正四棱柱，，分别为，的中点，设，则，，
在中，根据余弦定理，，
；
连接，，，则，，
，
与共面．
变式3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
【解析】 (1)连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体
ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，
∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
课后习题
一． 单选题
1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BD1 与 B1C 是( )
A．相交直线
B．异面但不垂直的两条直线
C．异面垂直的两条直线
D．相交且垂直的直线
【答案】C
【解析】正方体 ABCD-A1B1C1D1 中．
因为 BD1∩平面BCC1B1=BB1C⊂平面BCC1B1．
B∉B1C．
所以由异面直线判定定理得 BD1 与 B1C 是异面直线．
故选 C
【备注】本题给出长方体，判断它的两条对角线的位置关系，着重考查了空间两条直线位置关系的判断及其证明的知识，属于基础题．
2.三个平面两两相交，只有一条公共直线，这三个平面把空间分成( )部分．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
根据题意，三个平面两两相交，只有一条公共直线，
画出图形，如图所示
；
∵α∩β∩γ=l，
∴平面α、β、γ把空间分成6部分．
故选：B．
【备注】根据题意，三个平面两两相交，只有一条公共直线，画出图形，结合图形，得出正确的结论．
本题考查了平面与平面的相交问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形，解答问题，是基础题．
3.如果点 P 在直线 m 上，m 在平面 α 内，若用符号表示 P、m、α 之间关系，表示正确的是( )
A．P∈m∈α
B．P∈m⊂α
C．P⊂m∈α
D．P⊂m⊂α
【答案】B
【解析】点 P 在直线 m 上，记 P∈m．
在平面 α 内，记 m⊂α．
用符号表示 P、m、α 之间关系为 P∈m⊂α．
故选 B
4.若点M在直线a上，直线a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
【答案】B
【解析】
∵点M在直线a上，直线a在平面α内，
∴M，a，α之间的关系可记为：
M∈直线a，a⊂平面α．
故选：B．
【备注】利用点与直线、直线与平面的位置关系求解．
本题考查点、直线、平面间的位置关系的数学语言，解题时要认真审题，是基础题．
5.若a和b异面，b和c异面，则( )
A．a//c B．a和c异面
C．a和c异面或平行或相交 D．a和c相交
【答案】C
【解析】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，
则满足a和b是异面直线，b和c是异面直线，
而a和c相交；
②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，
此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，
此时a和c异面；
故选C．
【备注】以长方体为例，即可得出结论．
本题考查考查线线位置关系，考查数形结合的数学思想，正确运用长方体是关键．
6.若直线a与平面α不平行，则下列结论成立的是( )
A．平面α内任意直线都与直线a异面 B．平面α内不存在与直线a平行的直线
C．平面α内的直线都与直线a相交 D．直线a与平面α一定有公共点
【答案】D
【解析】
若直线a不平行于平面α，则直线a与平面α相交或在平面内
对于A，α内的所有直线与直线a异面，也可能相交，故不成立；
对于B，α内不存在与a平行的直线，当a在平面α内就存在与a平行的直线，故不成立；
对于C，α内的直线均与a相交，也可能异面；故不成立；
对于D，直线a与平面α有公共点，当直线a与平面α相交与在平面内都有公共点，故成立．
故选D．
【备注】对于A，C可列举出所以可能性，对于B当a在平面α内就存在与a平行的直线，对于D根据线面的位置关系进行判定即可．
本题主要考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系等有关知识，同时考查了推理能力，属于基础题．
7.(2018·全国Ⅱ卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以＝(－1，0，)，＝(1，1，).则cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】取DD1中点F，连EF，AF，AE，易知EF∥DC，所以∠AEF为两异面直线所成的角．在Rt△AEF中，令正方体棱长为1，则EF＝1，AF＝，所以tan∠AEF＝＝.故选C.
9.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝.故选C.
10．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
【答案】选A 连接A1C1，AC，因为A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
二． 多选题
11．(多选)如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，下列四个命题中，正确的命题是( )
A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线
C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
答案 CD
解析 由题意画出正方体的图形如图，
显然AB不正确；
∠ANC＝60°，即CN与BM成60°角，C正确；
因为BC⊥DM，CN⊥DM，BC∩CN＝C，BC，CN⊂平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN⊂平面BCN，所以DM⊥BN，所以D正确．
故选CD.
12．(多选)关于正方体ABCD－A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的说法是( )
A．若点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变
B．若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则P点的轨迹是直线A1D1
C．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与DC所成角的范围为
D．若点P在线段BC1(含端点)上运动时，直线AP与D1C所成的角一定是锐角
答案 AB
解析 对于A，由BC1∥AD1，可得BC1∥平面AD1C，
则P到平面AD1C的距离不变，
由△AD1C的面积为定值，
可知点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变，故A正确；
对于B，若点P是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，
则P点的轨迹是平面A1BCD1与平面A1B1C1D1的交线A1D1，故B正确；
对于C，直线AP与DC所成角即为∠PAB，当P与C1重合时，∠PAB最大，最大值为arctan ＜，故C错误；
对于D，当P与C1重合时，AP与D1C所成的角为，故D错误．
所以其中说法正确的是A，B.
三． 填空题
13.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，
∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
14．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．
解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.
【答案】60°
15．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，
且＝＝，有以下四个结论．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
其中正确结论的序号为________．
解析：如图所示．连接EH，FG，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以四边形EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
【答案】④
16.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，则直线BP与动直线CE所成角的范围是________．
答案
解析 如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，半径为1的圆上运动．
则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，EB1，EC1为定值，故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是.
17.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为________．
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE.则在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝PC.故∠ADE为异面直线PC，AD所成的角或其补角．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.故DE＝PC＝.在Rt△PAB中，PB＝＝＝2.又PD＝DB，所以AD＝PB＝.在Rt△EAB中，AE＝＝＝.在△DAE中，cos∠ADE＝＝＝－.故异面直线PC，AD所成角的余弦值为.
【答案】
四． 解答题
18.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)解 取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，
即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG
＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
19.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心，如图所示．
(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；
(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1BCA1的体积．
解：(1)因为AA1∥CC1，
所以异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．
连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边上的中点．
因为点O是正三角形ABC的中心，
且A1O⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，BC⊥A1O，
因为AD∩A1O＝O，
所以BC⊥平面ADA1.
所以BC⊥AA1，又因为AA1∥CC1，
所以CC1⊥BC，BC＝CC1＝B1C1＝BB1＝2，
即四边形BCC1B1为正方形，
所以异面直线AA1与BC1所成角的大小为.
(2)因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以可求得AD＝，AO＝AD＝，
A1O＝＝.
所以VABCA1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，
VA1BCC1B1＝VABCA1B1C1－VA1ABC＝，
所以VC1BCA1＝VA1BCC1＝VA1BCC1B1＝.
20.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.
证明 连结BD，B1D1，如图.
则BD∩AC＝O，∵BB1∥DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，
B1D⊂平面BB1D1D，
则H∈平面BB1D1D，
∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
21.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
解 如图所示，取AC的中点F，连结EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD.
∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.
在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，
∴BE＝.
在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
22.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
证明 (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面.
即D、B、F、E四点共面.
(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点.
所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，
所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
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