高考数学(理数)一轮复习学案8．3《空间点、线、面之间的位置关系》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案8．3《空间点、线、面之间的位置关系》(含详解)，共10页。
8．3　空间点、线、面之间的位置关系



1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．
(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面．
公理2的推论如下：
①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②经过两条相交直线，有且只有一个平面；
③经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．
2．空间两条直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线
①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．
②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．
③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．
3．平行公理
公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据．
4．等角定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．

自查自纠：
1．(1)两点　直线在平面内　(2)不在一条直线
(3)有且只有一条
2．(1)一个公共点　没有公共点　没有公共点
(2)③　互相垂直　异面垂直
3．同一条直线
4．相等或互补


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解：易知仅B正确．故选B．
()设a，b，c是空间中的三条直线，给出以下几个命题：
①设a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交．
其中真命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：因为a⊥b，b⊥c，所以a与c可能相交、平行、异面，故①错．因为a，b异面，b，c异面，则a，c可能异面、相交、平行，故②错．由a，b相交，b，c相交，则a，c可能异面、相交、平行，故③错．故选A．
()若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是 (　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
解：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选D．
有下列四个命题：
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；
④若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．
其中正确命题的序号是________．
解：在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，即P，Q，R三点共线，所以①正确．在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l⊂α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．

在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错．故填①②．
()如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成角的余弦值为________．

解：不妨设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接EO，如图所示，在△BC1D1中，当点E为C1D1的中点时，BD1∥OE，则BD1∥平面B1CE，据此可得∠OEC为直线BD1与CE所成的角．

在△OEC中，边长EC＝，OC＝，OE＝，
则△OEC是直角三角形，
即异面直线BD1与CE所成角的余弦值为＝．故填．



类型一　基本概念与性质问题
()ABCD­A1B1C1D1是正方体，在图1中，E、F分别是D1C1、B1B的中点，画出图1、2中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．

解：在图3中，过点E作EN平行于B1B交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
在图4中，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．

证明：在图3中，因为直线EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面，因此EF与BN相交，交点为M．因为M∈EF，且M∈NB，而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．
在图4中，C1M在平面DCC1D1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．

点　拨：
本题解题的关键在于构造平面，可考虑过一条直线及另一条直线上的点作平面，进而找出两面相交的交线．
　　
　如图所示，E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线．

解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，
分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M．


因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则平面BED1F∩平面ABCD＝MB．
故直线MB即为所求两平面的交线．
类型二　点共线、线共点问题
　如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
在△BCD中，因为＝＝，
所以GH∥BD，所以EF∥GH．
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，即P，A，C三点共线．

点　拨：
①证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．②要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上．③证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2．

　已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

证明：(1)如图所示．
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD．所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设平面AA1C1C为α，
又设平面BDEF为β．因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β．所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF