第八章 第一节 直线的方程-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

第一节 直线的方程

知识回顾 

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是0°≤α<180°.

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

课前检测

1.若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)

A．0　　　　　　 B.

C. D．不存在

2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)

A. B.

C. D.

3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限 B.第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4.不论m为何实数,直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点(　　)

A．  B．(－2,0)

C．(－2,3)  D．(2,3)

5．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　)

A.   B.

C.∪   D.

6．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．有的直线斜率不存在

B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α

C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为

D．截距可以为负值

7．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

课中讲解  

考点一.直线的倾斜角与斜率

例1. (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A．[0，π)　　　　　 B.∪

C. D.∪

(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

变式1. (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)

A.   B.

C.   D.

(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)

A．k≥   B．k≤－2

C．k≥或k≤－2   D．－2≤k≤

例2.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

变式2．（1）已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．

(2)若直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________．

考点二.直线的方程

例1. 根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

变式1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0   B．x－3y－2＝0

C．3x－y＋6＝0   D．3x＋y－6＝0

变式2. 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

考点三. 直线方程的综合问题

例1. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

变式1. (1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．

(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

变式2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

课后习题

一．单选题

1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

2．(2019·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，－1)∪

3．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)

A．3x－y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0

C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0

4．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)

5．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A. B.

C. D.

6．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1   B．－1

C．－2或－1   D．－2或1

7．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C.∪ D.∪

8．(2020·保定模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2   B．y＝x－2

C．y＝x＋   D．y＝－x＋2

9．已知方程kx＋3－2k＝有两个不同的解，则实数k的取值范围为(　　)

A.  B.  C.  D.

二．多选题

10．(多选)在下列四个命题中，错误的有(　　)

A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

B．直线倾斜角的取值范围是[0，π]

C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α

D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α

11．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为(　　)

A．x－y＋1＝0   B．x＋y－3＝0

C．2x－y＝0   D．x－y－1＝0

三．填空题

12．已知三角形的三个顶点A(－5,0，)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．

13．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．

14.直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．

15.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

16．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

17．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．

18.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程为____________________________．

19．已知P(－3,2)，Q(3,4)及直线ax＋y＋3＝0.若沿的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是________．

20．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________．

四．解答题

21．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．