第三章 第一节 导数的概念及运算-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第一章 导数的概念及运算
知识回顾
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f (x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f (x2)－f (x1)，则平均变化率可表示为.
(2)设函数y＝f (x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f (x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f (x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f (x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f (x)＝ex
f′(x)＝ex
f (x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln a
f (x)＝ln x
f′(x)＝
f (x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
课前检测
1.【2021年3月湖北武汉武汉市第三中学高二下学期周测数学试卷】一质点做直线运动，由始点经过 t 秒后的距离为 s=t3-t2+2t，则 t=2 秒时的瞬时速度为(　　)
A．8m/s B．10m/s
C．16m/s D．18m/s
【答案】B
【解析】【分析】：求出路程 s 对时间 t 的导函数，求出导函数在 t=2 时的值即为 t=2 时的瞬时速度．
s'=3t2-2t+2，
∴s'(2)=12-4+2=10，
∴t=2 时的瞬时速度为 10m/s．
故选 B
【备注】导数在物理上的应用：位移对时间的导数为物体运动的瞬时速度；速度对时间的导数为运动问题的加速度．
2.已知函数f(x)=1x2，则f'(12)=(　　)
A．-14 B．-18
C．-8 D．-16
【答案】D
【解析】
函数的导数f'(x)=-2x-3=-2x3，
则f'(12)=-2(12)3=-16，
故选：D

【备注】根据函数的导数公式进行求解即可．
本题主要考查函数的导数计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键.比较基础．

3.给出下列结论中正确的个数是(　　)
① (cos⁡x)'=sin⁡x；
② (sin⁡π6)'=cos⁡π6；
③ 若 y=1x2，则 y'=-1x；
④ (-1x)'=12xx．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】① (cos⁡x)'=-sin⁡x，所以 ① 错误；
② sin⁡π6=12，而 (12)'=0，所以 ② 错误；
③ (1x2)'=0-(x2)'x4=-2xx4=-2x-3，所以 ③ 错误；
④ (-1x)'=-0-(12x)'x=12x-12x=12x-32=12xx，所以 ④ 正确．
故选 B
4．如图所示为函数y＝f (x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f (x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)



答案　D
解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f (x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f (x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.

5．(2019·苏州模拟)已知函数f (x)＝(bx－1)ex＋a(a，b∈R)．若曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x，则a，b的值分别为a＝ ，b＝ .
答案　1　2
解析　由f (x)＝(bx－1)ex＋a得f′(x)＝ex(bx＋b－1)，曲线y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y＝x.
f′(0)＝1，f (0)＝0，即b－1＝1，－1＋a＝0，解得a＝1，b＝2.
课中讲解
考点一.导数的运算
例1.【2020年4月江西南昌南昌县南昌县莲塘一中高二下学期月考数学试卷】下列函数求导运算正确的个数为(　　)
① (3x)'=3xlog3⁡e
② (log2⁡x)'=1xln⁡2
③ (ex)'=ex
④ (1lnx)'=x
⑤ (x⋅ex)'=ex+1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【分析】：利用八种初等函数的导数和导数的运算法则求解判断．
① (3x)'=3xln⁡3，故错误；
② (log2⁡x)'=1x⋅ln⁡2，故正确；
③ (ex)'=ex，故正确；
④ (1lnx)'=-1x⋅ln2⁡x，故错误；
⑤ (x⋅ex)'=ex+x⋅ex，故错误．
故选 B
【备注】根据 (ax)'=axln⁡a，(logax)'=1xln⁡a，(ln⁡x)''=1x 即可作出判断．
此题考查了求导的运算．要求学生掌握求导法则，锻炼了学生的计算能力，是一道基础题．

变式1.【2020年广东广州荔湾区高二下学期期末考试数学试卷】下列求导运算正确的是(　　)
A．(e1-x)'=e1-x
B．(cos⁡3x)'=-sin⁡3x
C．(x-1)'=2x-1
D．(xln⁡x)'=1+ln⁡x
【答案】D
【解析】(e1-x)'=-e1-x，(cos⁡3x)'=-3sin⁡3x，(x-1)'=12x-1，(xln⁡x)'=ln⁡x+1．
故选 D

例2.【2019年2月浙江杭州高二下学期月考】
求下列函数的导数：
(1) y=2x3+3cos⁡x
【答案】6x2-3sin⁡x
【解析】
y'=(2x3+3cos⁡x)'=(2x3)'+(3cos⁡x)'=6x2-3sin⁡x．

(2) y=(1+2x)(2x-3)；
【答案】8x-4
【解析】
将原函数化为 y=4x2-4x-3，
所以 y'=(4x2-4x-3)'=8x-4．

(3) y=2cos⁡x2sin⁡x2；
【答案】cos⁡x
【解析】
y'=(2cos⁡x2sin⁡x2)'=(sin⁡x)'=cos⁡x．

(4) y=4x．
【答案】4xln⁡4
【解析】
y'=(4x)'=4xln⁡4．

变式2.【2019年3月浙江杭州高二下学期周测】
求下列函数的导数：
(1) y=(x+1)(x-1)(x-2);
【答案】 3x2-4x-1
【解析】因为 y=(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x-2)=x3-2x2-x+2，
所以 y´=3x2-4x-1．

(2) y=(2x3-1)(3x2+x)
【答案】 30x4+8x3-6x-1
【解析】因为 y=(2x3-1)(3x2+x)=6x5+2x4-3x2-x，
所以 y´=30x4+8x3-6x-1．
例3.【2018年优能教案试卷】已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，且满足 f(x)=2xf'(e)+ln⁡x，则 f'(e)=(　　)
A．e B．-1
C．-e-1 D．-e
【答案】C
【解析】因为 f'(x)=2f'(e)+1x
所以 f'(e)=2f'(e)+1e
解得 f'(e)=-1e=-e-1
【备注】到 f'(e) 是一个确定的数而不是一个函数，所以此处只需将 f'(e) 看做常数 k 即可

变式3.函数f(x)=e2x+1的导函数为________．
【答案】2e2x+1
【解析】f'(x)=(2x+1)'e2x+1=2e2x+1
【备注】第一步：分离复合函数的内外函数，例如此函数的内函数是一次函数，外函数是指数函数;
第二步：对原函数中的内外函数分别求导;
第三步：令内函数和外函数的导函数相乘即为复合函数的导函数．

考点二.导数的切线方程
例1.【2018年浙江金华高二下学期周测】经过原点(0,0)做函数f(x)=x3+3x2的切线，则切线方程为________
【答案】
y=0或9x+4y=0

【解析】
∵f'(x)=3x2+6x，
①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f'(0)=0，则切线方程为y=0；
②若原点(0,0)不是切点，设切点为P(x0,y0)，
则切线的斜率为f'(x0)=3x02+6x0，因此切线方程为y-(x03+3x02)=(3x02+6x0)(x-x0)，
因为切线经过原点(0,0)，∴-(3x02+x03)=-x0(3x02+6x0)，∵x0≠0，解得x0=-32．
∴切线方程为y=-94x，化为9x+4y=0．
∴切线方程为y=0或9x+4y=0．
故答案为y=0或9x+4y=0．

变式1.【2018年浙江台州高二下学期月考】已知函数f(x)=x3-3x，过点P(2,-6)作曲线y=f(x)的切线，则切线方程是 ________
【答案】
3x+y=0或24x-y-54=0

【解析】
由f(x)=x3-3x，得f'(x)=3x2-3，
设切点为(x0,x03-3x0)，则斜率k=3x02-3，
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)，
即y=(3x02-3)x-2x03．
∵切线过点P(2,-6)，
则-6=2(3x02-3)-2x03，
解得：x0=0或x0=3．
∴所求切线方程是y=-3x或y=24x-54．
故答案为：3x+y=0或24x-y-54=0．


例2.在点 (-1,1) 作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则切线方程为(　　)
A．x+y=0 B．x-y=0
C．x+y+1=0 D．x-y+1=0
【答案】A
【解析】本题考查函数的切线问题，由导数的几何意义得到切线的斜率是解决问题的关键，属基础题．
由已知可得点在抛物线上，求其导数可得切线斜率，由点斜式可写方程，整理成一般式即可．
经验证点 (-1,1) 为抛物线 y=x2+x+1 上的点．
又 y'=2x+1，故点 (-1,1) 处的切线斜率为：y'|x=-1=-1．
由点斜式可得：y-1=-1(x+1)，化简得 x+y=0．
故选 A

变式2.过点 M(-1,0) 作抛物线 y=x2+x+1 的切线，则切线方程为 (　　)
A．3x+y+3=0 或 x-y+1=0
B．3x-y+3=0 或 x+y+1=0
C．x-y+1=0
D．3x-y+3=0
【答案】A
【解析】M(-1,0) 不在抛物线 y=x2+x+1 上．
设切点为 N(a,b)，则切线斜率 k=2a+1=kMN=ba+1=a2+a+1a+1，
所以 a=0 或 a=-2，故切线斜率为 k=1 或 k=-3，
所以切线方程为 x-y+1=0 或 3x+y+3=0．

例3.若曲线 y=ax2-ln⁡x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a= ________
【答案】12
【解析】求导导数的运算得，y'=2ax-1x．由导数的几何意义导数的几何意义可知，曲线在点 (1,a) 处的切线斜率 k=yx=1'=2a-1，故 2a-1=0，即 a=12．
【备注】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．
变式3.已知曲线 y=13x3+43．
(1) 求曲线在点 P(2,4) 处的切线方程；
(2) 求曲线过点 P(2,4) 的切线方程．
【答案】(1) 4x-y-4=0
(2) 4x-y-4=0 或 x-y+2=0
【解析】(1) ∵P(2,4) 在曲线 y=13x3+43 上，且 y'=x2．
∴ 在点 P(2,4) 处的切线的斜率 k=y'|x=2=4．
∴ 曲线在点 P(2,4) 处的切线方程为 y-4=4(x-2)．
即 4x-y-4=0．
(2) 设曲线 y=13x3+43 与过点 P(2,4) 的切线相切于点 A(x0,13x03+43)．
则切线的斜率 k=y'|x=x0=x02．
∴ 切线方程为 y-(13x03+43)=x02(x-x0)．
即 y=x02×x-23x03+43．
∵ 点 P(2,4) 在切线上．
∴4=2x02-23x03+43．
∴x03-3x02+4=0．
∴x03+x02-4x02+4=0．
∴(x0+1)(x0-2)2=0．
解得 x0=-1 或 x0=2．
故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0．
考点三.求参数的取值范围
例1.在同一坐标系中，直线l是函数f(x)=1-x2在(0,1)处的切线，若直线l与g(x)=-x2+mx 相切于x=1处，则m=________
【答案】
2

【解析】函数y=f(x)=1-x2，
即为上半圆x2+y2=1，(0,1)为与y轴的交点，
即有在(0,1)处的切线为y=1，
由题意可得直线l：y=1也是g(x)=-x2+mx的切线，
所以g(x)在x=0处的导函数值为0,g'(0)=-2*0+m=0且g(1)=1,所以m=2
变式1.若曲线 y=ax2-ln⁡x 在点 (1,a) 处的切线平行于 x 轴，则 a= ________
【答案】12
【解析】求导导数的运算得，y'=2ax-1x．由导数的几何意义导数的几何意义可知，曲线在点 (1,a) 处的切线斜率 k=yx=1'=2a-1，故 2a-1=0，即 a=12．
【备注】本题考查了利用导数求曲线的切线方程，属于基础题．

例2.设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
[解析]　(1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
变式2.函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　B
解析　函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－