2021学年5.1.3 数据的直观表示第2课时学案及答案

这是一份2021学年5.1.3 数据的直观表示第2课时学案及答案，共15页。学案主要包含了频率分布直方图的概念，频率分布直方图的绘制等内容，欢迎下载使用。

第2课时　频数分布直方图与频率分布直方图
学习目标　1.会列频率分布表，会画频数分布直方图、频率分布直方图、频数分布折线图和频率分布折线图.2.能够利用图形解决实际问题．

知识点　频数分布直方图及频率分布直方图
1．频数分布直方图、频率分布直方图编制的方法步骤：
―→―→
―→
2.

1．频率分布直方图的纵轴表示频率．(　×　)
2．频数分布直方图中每一组数对应的矩形高度与频数成正比．(　√　)
3．频率分布直方图中小长方形的面积表示该组的个体数．(　×　)
4．频率分布直方图中所有小长方形面积之和为1.(　√　)

一、频率分布直方图的概念
例1　一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
分组
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7

则样本数据落在[10,40)上的频率为(　　)
A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64
答案　C
解析　由题意可知频数在[10,40)的有13＋24＋15＝52(个)，所以频率为＝0.52.
反思感悟　频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．
跟踪训练1　容量为100的某个样本，数据拆分为10组，若前七组频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为________．
答案　0.12
解析　设剩下的三组中频率最大的一组的频率为x，则另两组的频率分别为x－0.05，x－0.1，而由频率和为1得0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12.
二、频率分布直方图的绘制
例2　某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135　98　102　110　99　121　110　96　100　103　125　97　117　113　110　92　102　109　104　112　105　124　87　131　97　102　123　104　104　128　109　123　111　103　105　92　114　108　104　102　129　126　97　100　115　111　106　117　104　109　111　89　110　121　80　120　121　104　108　118　129　99　90　99　121　123　107　111　91　100 99　101　116　97　102　108　101　95　107　101 102　108　117　99　118　106　119　97　126　108 123　119　98　121　101　113　102　103　104　108
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图．
解　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，
则组数为＝11.
(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1.00
0.200

注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示．

反思感悟　(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系
①若为整数，则＝组数；
②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况．
跟踪训练2　有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
解　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5,0)
40
0.200
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.100
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.000

(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

(3)样本数据不足0的频率为0.035＋0.055＋0.075＋0.200＝0.365.

频率分布直方图的应用
典例　从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100


(1)计算这100名学生中该周课外阅读时间少于12小时的比例；
(2)求频率分布直方图中的a，b的值；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)．
解　(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，
所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.
所以这100名学生该周课外阅读时间少于12小时的比例为90%.
(2)课外阅读时间落在[4,6)组内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.课外阅读时间落在[8,10)组内的有25人，频率为0.25，
所以b＝＝＝0.125.
(3)样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组．
[素养提升]　(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频率成正比，频率之和等于1.
(2)数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理，分析和推断，形成关于研究对象知识的素养，这里的频率分布直方图的应用，就是根据整理的数据，进行推断，是重要的数学素养．

1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于(　　)
A．组距 B．频率 C．组数 D．频数
答案　B
解析　根据小长方形的宽及高的意义，可知小长方形的面积为一组样本数据的频率．
2．某校为了解高三学生的身体状况，抽取了100名女生的体重．将所得的数据整理后，画出了如图的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在40～45 kg的人数是(　　)

A．10 B．2 C．5 D．15
答案　A
解析　由图可知频率＝×组距，知频率为0.02×5＝0.1.所以所抽取的女生中体重在40～45 kg的有0.1×100＝10(人)．
3．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为50和0.25，则n＝________.
答案　200
解析　由题意得＝0.25，所以n＝200.
4．如图，一个频数分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和为________．

答案　21
解析　根据题意，设分布在[40,50)，[50,60)内的数据个数分别为x，y.
∵样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，样本容量为50，
∴＝0.6，
解得x＋y＝21.
即样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和为21.
5．某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a(a为整数)即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是________．

答案　133
解析　由已知可以判断a∈(130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20.解得a≈133.

1．知识清单：
(1)频率分布直方图的理解．
(2)频率分布直方图的绘制．
(3)频率分布直方图的应用．
2．方法归纳：数据处理．
3．常见误区：未弄清频率分布直方图中的纵轴上表示数据的含义而致错．


1．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A．45 B．50 C．55 D．60
答案　B
解析　根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是＝50.
2．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9

第三组的频数和频率分别是(　　)
A．14和0.14 B．0.14和14
C.和0.14 D.和
答案　A
解析　x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为＝0.14.
3．在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其他7个小长形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为(　　)
A．40 B．0.2 C．50 D．0.25
答案　A
解析　设最后一个小长方形的面积为x，则其他7个小长方形的面积和为4x，从而x＋4x＝1，所以x＝0.2.故第8组的频数为200×0.2＝40.
4．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)

A．64 B．54 C．48 D．27
答案　B
解析　由题意知[4.7,4.8)之间的频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22，所以a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
5．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则这100个新生婴儿中，体重(单位：kg)在[3.2,4.0)内的人数是(　　)

A．30 B．40 C．50 D．55
答案　B
解析　在频率分布直方图中小长方形的面积为频率．
在[3.2,3.6)内的频率为0.625×0.4＝0.25，频数为0.25×100＝25，
在[3.6,4.0)内的频率为0.375×0.4＝0.15，频数为0.15×100＝15.
则这100个新生婴儿中，体重在[3.2,4.0)内的有25＋15＝40(人)．
6．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组
频数
频率
[80,90)
①
②
[90,100)

0.050
[100,110)

0.200
[110,120)
36
0.300
[120,130)

0.275
[130,140)
12
③
[140,150]

0.050
合计
④


根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．
答案　3　0.025
解析　由位于[110,120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130,140)的频率为＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.
7．已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积和的，则该组的频数为________．
答案　50
解析　设除中间一个小矩形外的(n－1)个小矩形面积的和为p，则中间一个小矩形面积为p，p＋p＝1，得p＝，则中间一个小矩形的面积为p＝，即200×＝50，即该组的频数为50.
8．为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示，已知图中从左到右的前三个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12.则该校报考飞行员的总人数为________．

答案　48
解析　设报考飞行员的总人数为n，
设第一小组的频率为a，
则有a＋2a＋3a＋(0.013＋0.037)×5＝1，
解得a＝0.125，所以第2小组的频率为0.25.
又第2小组的频数为12，
则有0.25＝，所以n＝48.
9．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内频数为8.

(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数．
解　由样本频率分布直方图可知组距为3.
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于×3＝.
(2)∵样本在[15,18)内频数为8，由(1)可知，
样本容量为＝8×＝50.
(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，
故样本在[12,15)内的频率为0.06，
故样本在[15,33)内的频数为50×(1－0.06)＝47，
又在[15,18)内频数为8，
故在[18,33)内的频数为47－8＝39.
10．某市2019年4月1日－4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103，
95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
(1)完成频率分布表；
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市4月份的空气质量给出一个简短评价．
解　(1)频率分布表：
分组
频数
频率
[41,51)
2

[51,61)
1

[61,71)
4

[71,81)
6

[81,91)
10

[91,101)
5

[101,111]
2

合计
30
1

(2)频率分布直方图如图所示．

(3)答对下述两条中的一条即可．
①该市4月份中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的；有26天处于良的水平，占当月天数的；处于优或良的天数为28，占当月天数的.说明该市4月份空气质量基本良好．
②轻微污染有2天，占当月天数的；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市4月份空气质量有待进一步改善．

11．某教育机构随机抽查某校20个班级，调查各班关注“汉字听写大赛”的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是(　　)



答案　A
解析　由频率分布直方图知，各组频数统计如下表：
分组
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
频数
1
1
4
2
分组
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
频数
4
3
3
2

结合各选项茎叶图中的数据可知选项A正确．
12．(多选)供电部门对某社区1 000位居民12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)五组，整理得到如下的频率分布直方图，则有关这1 000位居民，下列说法正确的是(　　)

A．12月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．12月份人均用电量在[20,30)内的有300人
C．12月份人均用电量不低于20度的有500人
D．12月份人均用电量为25度
答案　ABC
解析　根据频率分布直方图知，12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1 000
×0.04×10＝400(人)，A正确；12月份人均用电量在[20,30)内的人数为1 000×0.03×10＝300，B正确；12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03＋0.01＋0.01)×10＝0.5，有1 000×0.5＝500(人)，C正确；12月份人均用电量为5×0.1＋15×0.4＋25×0.3＋35×0.1＋45×0.1＝22，D错误．故选ABC.
13．某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[90,100]内的人数分别为________．

答案　25,2
解析　由频率分布直方图知，分数在[90,100]内的频率和[50,60)内的频率相同，所以分数在[90,100]内的人数为2人，总人数为＝25.
14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．

答案　0.03　3
解析　因为频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为×18＝3.

15．某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图②，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a＋b的值为(　　)

A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
答案　B
解析　由题意得c＋d＝×＝0.024，且[2(c＋d)＋a＋b]×5＝1，
所以2×0.024＋a＋b＝0.2，所以a＋b＝0.152.
16．某高中有高一新生500名，分成水平相同的A，B两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从A，B两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试．
(1)求该学校高一新生A，B两类学生各多少人？
(2)经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分及以上A，B两类参加测试学生成绩的茎叶图

图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图

100名学生成绩的频率分布表
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)


4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)


6
[80,85]


合计
100
1.00

先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图(图2)补充完整．
解　(1)由题意知A类学生有500×＝200(人)，
则B类学生有500－200＝300(人)．
(2)表格：
组号
分组
频数
频率
1
[55,60)
5
0.05
2
[60,65)
20
0.20
3
[65,70)
25
0.25
4
[70,75)
35
0.35
5
[75,80)
10
0.10
6
[80,85]
5
0.05
合计
100
1.00


图2：