数学必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念巩固练习

课时作业42　同角三角函数的基本关系

——基础巩固类——

一、选择题

1．若α是第四象限角，tanα＝－，则sinα等于(　D　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：因为α是第四象限角，tanα＝－，所以＝－.又sin2α＋cos2α＝1.所以sinα＝－.故选D.

2．化简·cos2x＝(　D　)

A．tanx   B．sinx

C．cosx   D.

解析：·cos2x＝·

cos2x＝·cos2x＝＝.

3．已知sinθ＝，且sinθ－cosθ>1，则tanθ等于(　C　)

A.   B.

C．－   D．－

解析：因为sinθ－cosθ>1，所以cosθ<0，

所以cosθ＝－＝－，

所以tanθ＝＝－，故选C.

4．已知sinα，cosα是关于x的方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为(　B　)

A.   B．－

C.   D.

解析：根据根与系数的关系及sinα，cosα是方程3x2－2x＋a＝0的两根，得sinα＋cosα＝，①

sinα·cosα＝，②

由①2－2×②得－＝1，解得a＝－.

5．若1＋sinθ·＋cosθ·＝0成立，则角θ不可能是(　C　)

A．第二、三、四象限角  B．第一、二、三象限角

C．第一、二、四象限角  D．第一、三、四象限角

解析：由于1＋sinθ·＋cosθ＝0，且1－sin2θ－cos2θ＝0，所以sinθ≤0，cosθ≤0，故选C.

6．若化简 后的结果为，则角α的取值范围是(　A　)

A．{α|－π＋2kπ<α<2kπ，k∈Z}

B．{α|－π＋2kπ≤α≤2kπ，k∈Z}

C．{α|π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}

D．只能是第三或第四象限角

解析：∵＝

＝＝，∴sinα<0.

∴－π＋2kπ<α<2kπ，k∈Z.故选A.

二、填空题

7．已知sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝－.

解析：∵sinθ＝－<0，tanθ>0，

∴θ是第三象限角．

∴cosθ＝－＝－＝－.

8．已知cosα＋cos2α＝1，则sin2α＋sin6α＋sin8α＝1.

解析：由cosα＋cos2α＝1，

得cosα＝1－cos2α，即cosα＝sin2α.

∴原式＝cosα＋cos3α＋cos4α＝cosα＋cos2α(cosα＋cos2α)＝cosα＋cos2α＝1.

9．若sinθ＋cosθ＝1，则sin8 341θ＋cos1 226θ＝1.

解析：由sinθ＋cosθ＝1，可得sinθ·cosθ＝0，即sinθ＝0，cosθ＝1或sinθ＝1，cosθ＝0.∴原式＝1.

三、解答题

10．已知(tanα－3)(sinα＋cosα＋3)＝0.求下列各式的值．

(1)；(2)sin2α＋cos2α.

解：由已知得tanα－3＝0，即tanα＝3.

(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝＝

＝＝.

11．化简 －，其中α为第三象限角．

解：因为α为第三象限角，

所以－1<sinα<0，－1<cosα<0，

1＋sinα>0,1－sinα>0.

则 －＝－＝

＝＝－2tanα.

——能力提升类——

12．已知＝，则＝(　B　)

A.   B．－

C．2   D．－2

解析：由＝得＝，

即＝，

∴＝，即＝.

∴＝－.

13．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tanα等于(　D　)

A．3   B．－

C．－3   D．3或－

解析：因为sinα＋2cosα＝，

所以sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，

所以3cos2α＋4sinαcosα＝，

所以＝，即＝，

即3tan2α－8tanα－3＝0，

解得tanα＝3或tanα＝－.

14．若0<α<，则 ＋

的化简结果是2cos.

解析：由0<α<，得0<<，

所以0<sin<cos.

故原式＝＋

＝cos－sin＋sin＋cos＝2cos.

15．已知sinθ＋cosθ＝，其中θ是△ABC的一个内角．

(1)求sinθcosθ的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求sinθ－cosθ的值．

解：(1)由sinθ＋cosθ＝，得1＋2sinθcosθ＝.

所以sinθcosθ＝－.

(2)因为0<θ<π，且sinθcosθ<0，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ为钝角，所以△ABC是钝角三角形．

(3)因为sinθ>0，cosθ<0，

所以sinθ－cosθ＝＝＝.