模块五平面解析几何-练习题

这是一份模块五平面解析几何-练习题，共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
模块五 平面解析几何
一、解答题
1．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知△的面积为40，求的值.

2．
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
3．
如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

4．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+=16相交于M，N两点，且|MN|=|AB|，求椭圆的方程．
5．已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
6．已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
7．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
8．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
9．(本小题满分12分)已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于，两点，当圆的半径最长时，求．
10．如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．

（1） 求抛物线E的方程；
（2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点
11．已知双曲线的左、右焦点分别为离心率为直线与C的两个交点间的距离为
（I）求；
（II）设过的直线l与C的左、右两支分别相交有A、B两点，且证明：
12．
已知双曲线的右焦点为 ，过点的动直线与双曲线相交于 两点，点的坐标是 ．
（I）证明为常数；
（II）若动点满足 （其中为坐标原点），求点 的轨迹方程．
13．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
14．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.

（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
15．
已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段，为直径的圆内，求实数的取值范围.

参考答案
1．（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ）由题=60°，则，即椭圆的离心率为．
（Ⅱ）因△的面积为40，设，又面积公式，又直线，
又由（Ⅰ）知，联立方程可得，整理得，解得，，所以，解得．
2．（Ⅰ）（Ⅱ）当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分．
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；
【详解】
(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得 a = 4 , c = 3 又∵b2＝a2－c2，∴b＝ 7 ， 所以椭圆C的方程为 .
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知 及点P在椭圆C上可得 ，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．
①当λ＝时，化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝± (－4≤x≤4)．轨迹是两条平行于x轴的线段．
②当λ≠时，方程变形为 ，其中x∈[－4,4]．当0