16平面解析几何（解析版）练习题

这是一份16平面解析几何（解析版）练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练
一、选择题
1．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．5
C．2 D．10
【答案】　B
【解析】　由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2，2)的距离的平方，而的最小值为＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.
2．已知直线y＝kx＋3与圆x2＋(y＋3)2＝16相交于A，B两点，则“k＝2”是“|AB|＝4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，弦长的一半为＝2，故d＝＝2＝，解得k2＝8，可得k＝2或k＝－2，故“k＝2”是“|AB|＝4”的充分不必要条件，故选A.
3．已知点A，B分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P为双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±y＝0 D.x±y＝0
【答案】　C
【解析】　依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，且∠ABP＝120°，过点P作PP′垂直于x轴并交x轴于P′，故|BP|＝|AB|＝2|BP′|＝2a，故在直角三角形BPP′中，P(2a，a)，代入双曲线的方程中整理得＝1，即＝1，即双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
【答案】　A
【解析】　设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝，＝，e2－1＝e，解得e＝.选A.
5．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A. B.
C. D．2【答案】　A
【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A、B作直线x＝－1的垂线，垂足分别为D、E，
∵|PA|＝|AB|，∴又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.

6．已知圆C：x2＋y2－2x＝3，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点D，E，F，G，则四边形DFEG面积的最大值为(　　)
A．4 B．7
C．5 D．8
【答案】　B
【解析】　如图，C：x2＋y2－2x＝3⇒(x－1)2＋y2＝4，则圆心C(1，0)，r＝2，因|DE|＝2＝2，|FG|＝2＝2，又d12＋d22＝OC2＝1，所以S四边形DFEG＝|DE|·|FG|＝2≤4－d12＋4－d22＝7，即四边形面积的最大值为7.
7．已知点A是抛物线y2＝4x的对称轴与准线的交点，点B是其焦点，点P在该抛物线上，且满足|PA|＝m|PB|，当m取得最大值时，点P恰在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(　　)
A.－1 B．2－2
C.＋1 D．2＋2
【答案】　C
【解析】　设P(x，y)，可知A(－1，0)，B(1，0)，所以m＝＝＝＝，当x＝0时，m＝1；当x>0时，m＝＝≤(当且仅当x＝时取等号)．所以P(1，±2)，所以|PA|＝2，|PB|＝2.又点P在以A，B为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a＝|PA|－|PB|＝2－2，即a＝－1，c＝1，所以e＝＝＋1，故选C.
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是y＝
x，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】　B
【解析】　双曲线的渐近线方程是y＝±x，所以＝，抛物线的准线方程为x＝－，所以c＝，由a2＋b2＝c2，可得a2＝4，b2＝3，故选B.
9．如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计)．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　如图，设上、下两个乒乓球的球心分别为O1，O2，椭圆与球筒边缘的交点分别为E，F，椭圆与两个乒乓球的切点分别为A，B，由题可知，|O1O2|＝16，|O1A|＝2，过点E作EM⊥O1O2，则|EM|＝|O1A|＝2，易知△EMO≌△O1AO，则|EO|＝|O1O|＝8，所以|EF|＝16，即2a＝16，a＝8.椭圆的短轴长为圆柱的直径，即2b＝4，b＝2，所以c＝＝2，故该椭圆的离心率e＝＝，选项A正确．
10．F1，F2分别为双曲线－＝1(a，b>0)的左，右焦点，点P在双曲线上，满足·＝0，若△PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.＋1 D.＋1
【答案】　D
【解析】　不妨设|PF1|＝m，根据双曲线的定义有|PF2|＝m＋2a，由于·＝0，即⊥，则有m2＋(m＋2a)2＝(2c)2，整理有2m2＋4am＝4c2－4a2＝4b2，即m2＋2am－2b2＝0，解得m＝－a(负值舍去)，即|PF1|＝－a，|PF2|＝＋a，设△PF1F2的内切圆半径为r，则有(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r＝·|PF1||PF2|，解得r＝，又△PF1F2的外接圆半径R＝c，则有＝＝，整理有＝，整理可得c＝(＋1)a，故双曲线的离心率为e＝＝＋1.
11．已知椭圆C1：＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e21.故选A.
12．已知A1，A2分别为双曲线－＝1的左、右顶点，P为双曲线上第一象限内的点，直线l：x＝1与x轴交于点C，若直线PA1，PA2分别交直线l于B1，B2两点，且△A1B1C与△A2B2C的面积相等，则直线PA1的斜率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　B
【解析】　由已知，显然直线PA1的斜率存在，故可设直线PA1的方程为y＝k(x＋2)，由已知k>0，则由得(9－4k2)y2－36ky＝0，易知9－4k2≠0，因而P(，)，所以kPA2＝，则直线PA2的方程为y＝(x－2)，直线PA1，PA2与直线l分别交于B1(1，3k)，B2(1，－)，因而×3×3k＝×1×，得k＝，故选B.
13．若以F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　B
【解析】　依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得00)的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点(0，2)，M为抛物线上的一个动点，则M到直线l1：5x－4y＋4＝0和l2：x＝－的距离之和的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　抛物线的焦点为F(，0)，准线为x＝－，故直线AB的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒
x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p，y1＋y2＝2p，故线段AB的中点坐标为(，p)，又AB的垂直平分线经过点(0，2)，故AB垂直平分线的方程为y＝－x＋2，故p＝－＋2，p＝，x＝－是抛物线的准线，作MC⊥l1于点C，MD⊥l2于点D，如图所示，由抛物线的定义知|MD|＝|MF|，当M，C，F三点共线且点M位于C，F之间时，距离之和最小，其值是F(，0)到l1：5x－4y＋4＝0的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d＝＝＝.
二、填空题
15．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上位于第一象限的点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，若在方向上的投影为，则△FPM外接圆的方程为________．
【答案】　x2＋(y－1)2＝2
【解析】　依题意得F(1，0)，设M(－1，t)(t>0)，|PF|＝|PM|，∵在方向上的投影为，∴|MF|＝2，∴＝2，解得t＝2，∴P(1，2)，∴△FPM为直角三角形，且其外接圆圆心为(0，1)，半径为，故△FPM的外接圆的方程x2＋(y－1)2＝2.
16．已知点P和Q的纵坐标相同，P的横坐标是Q的横坐标的3倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1的渐近线方程为y＝±x，则C2的渐近线方程为________．
【答案】　y＝±3x
【解析】　设Q(x1，y1)，P(3x1，y1)，根据双曲线的对称性设C1的方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，即C2的方程为－＝1.因为C1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以C2的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【答案】　
【解析】　由题意可得B(－a，)，C(a，)，F(c，0)．则由∠BFC＝90°，得·＝(c＋a，－)·(c－a，－)＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.
18．已知点P是抛物线C1：y2＝4x上的动点，过点P作圆C2：(x－3)2＋y2＝2的两条切线，则两切线夹角的最大值为________．
【答案】　
【解析】　由已知得，圆心C2(3，0)，半径为.设点P(，y0)，两切点分别为A，B，要使两切线的夹角最大，只需|PC2|最小，|PC2|＝＝，当y02＝4时，|PC2|min＝2，∴∠APC2＝∠BPC2＝，∴∠APB＝.
19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O、A、B，若△ABO的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
【答案】　
【解析】　由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，与抛物线C2：x2＝2py联立，可得x＝0或x＝±，取A(，)，设垂心H(0，)，则kAH＝＝，而△OAB的垂心为C2的焦点，则有×(－)＝－1，可得5a2＝4b2，则有5a2＝4(c2－a2)，故e＝＝.
20．已知椭圆C的方程为＋＝1，A、B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，直线x＝4与直线PA、PB分别交于M、N两点；若D(7，0)，则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点，其坐标为________．
【答案】　(1，0)
【解析】　设点P(x0，y0)、M(4，yM)、N(4，yN)，则直线PA、PB所在的直线方程分别为y＝(x＋2)、y＝(x－2)，依题意，可求得yM＝，yN＝.∵＝(－3，yM)，＝(－3，yN)，∴·＝9＋，又＋＝1，∴12－3x02＝4y02，即＝－9，∴·＝0，∴MN为过D、M、N三点的圆的直径．
通解：设定点为E(t，0)，则MN为线段DE的垂直平分线，又线段MN为圆的直径，令圆心为F(4，a)，可得|EF|＝|FD|，即＝，解得t＝1或7(舍)，所以定点坐标为(1，0)．
优解：设定点E(t，0)，则MN为线段DE的垂直平分线，所以点E与点D关于直线x＝4对称，故定点为E(1，0)．

1．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)
A．10 B．13
C．16 D．19
【答案】　B
【解析】　由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B.
2．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B．1
C．2 D．4
【答案】　C
【解析】　由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为(，)，∴()2－()2＝2，即x1x2＝2，∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2，故选C.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该双曲线离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋1] B．[，2＋]
C．[，2＋] D．[，＋1]
【答案】　A
【解析】　在Rt△ABF中，|OF|＝c，∴|AB|＝2c，∴|AF|＝2csinα，|BF|＝2ccosα，由题中条件知|BF′|＝|AF|，∴||BF|－|AF||＝2c|cosα－sinα|＝2a，∴e＝＝＝，∵≤α≤，∴≤α＋≤，∴cos(α＋)∈[，]，|cos(α＋)|∈[，]，∴e∈[，＋1]．
4．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，＝λ(λ>0)，其中A、B为双曲线右支上的两点．若在△AF1B中，∠F1AB＝90°，|F1B|＝|AB|，则双曲线Γ的离心率的平方的值为(　　)
A．5＋2 B．5－2
C．6－ D．6＋
【答案】　B
【解析】　∵＝λ(λ>0)，∴A、F2、B三点共线．在△AF1B中，∠F1AB＝90°，|F1B|＝|AB|，故△AF1B是等腰直角三角形．设|AF2|＝m，由|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝2a＋|AF2|＝2a＋m，又|AF1|＝|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋|BF2|，∴|BF2|＝2a，又|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|＝4a，依题意|BF1|＝|AF1|，即4a＝(2a＋m)，m＝2(－1)a，在Rt△F1AF2中，|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，即8a2＋(2a－2a)2＝4c2，即c2＝5a2－2a2，∴e2＝5－2，故选B.
5．已知点A(0，2)，抛物线C1：y2＝ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线C1相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值等于________．
【答案】　4
【解析】　过点M作准线的垂线，垂足为H，则|FM|＝|MH|，∵＝＝，∴tan∠NMH＝2，即kMF＝－2，∴＝－2，解得a＝4.