模块二平面向量与三角函数练习题

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模块二平面向量与三角函数一、解答题1．已知向量, 设函数.(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.2．已知向量,且(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函数R)的值域.3．本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）．4．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．5．已知向量，，设函数.（1）求函数的最大值;（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.6．设向量（I）若（II）设函数7．在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长（2）设实数t满足()·=0，求t的值8．已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.9．已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.10．在中，已知．（1）求证：；（2）若，求A的值．11．已知向量，函数的最大值为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.12．已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.13．已知向量互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值14．已知向量（1）若，求的值； （2）若求的值.15．　　　已知向量 =(sinA,cosA)，=，＝1，且A为锐角．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数的值域．
参考答案1．(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可.【详解】（Ⅰ）的最小正周期为. （Ⅱ），，故当即时，当即时，本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．2．(1) tanA="2.(2)" 函数f(x)的值域是【详解】解：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0,因为cosA≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得因为xR,所以.当时，f(x)有最大值，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是3．【详解】试题分析：(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得 ，又为锐角，所以 ；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得 ①由（1）知，所以 ②由余弦定理知，将及①代入，得 ③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.考点：两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理. 4．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5．（1）；（2）.【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．【详解】（1）因为，，所以函数∴当时，（2）∵为锐角三角形，. 又 即   6．（I）（II）【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2) sinx·cosx＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为. 7．（1）， ．（2）．【解析】（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，．由()·=0，得：，从而所以．或者：，8．（1）见解析（2），.【详解】由题意，，即，又因为，∴，即，∴（2），∴，由此得，由，得，又，故，代入得，而，∴，.【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.9．（I）.（II）函数的单调递增区间为.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围试题解析：（1）由题意知．的过图象过点和，所以即解得（2）由（1）知．由题意知．设的图象上符合题意的最高点为，由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．将其代入得，因为，所以，因此．由Z得Z，所以函数的单调递增区间为考点：1.三角函数化简与性质；2.图像平移 10．（1）见解析；（2）．【详解】试题解析：(1)∵,∴,即. 由正弦定理,得,∴. 又∵,∴.∴即. (2)∵,∴.∴.∴,即.∴. 由 (1) ,得,解得. ∵,∴.∴. 考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角. 11．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）因为的最大值为，所以（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到因为所以的最小值为最大值为所以在上的值域为【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小 12．（1）见解析（2）【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径， 所以，所以为等腰三角形.⑵因为，所以.由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.13．（１）, ∴,即又∵,∴,即,∴又　,………………6分(2)∵,,即又, ∴【详解】试题分析：（１）, ∴,即又∵,∴,即,∴又　,(2)∵,,即又, ∴考点：向量的数量积以及两角和差的公式点评：主要是考查了向量的数量积以及两角和差公式的综合运用，属于基础题．14．（1）（2），或【详解】试题分析：（1）由向量平行得到坐标满足的关系式，整理可得（2）代入向量模的计算公式可得到角的方程，解方程求解角的大小试题解析：（1） 3分． 5分（2） 8分所以，,． 10分考点：1．向量的坐标运算；2．三角函数式的化简 15．（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）由题意得,由A为锐角得,．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以因为，所以，因此,当时，有最大值，当时，有最小值-3，所以所求函数的值域是．