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考点57 空间向量的简单应用练习题
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这是一份考点57 空间向量的简单应用练习题,共8页。试卷主要包含了单选题,填空题等内容,欢迎下载使用。
考点57 空间向量的简单应用一、单选题1.已知点在平面内,是平面的一个法向量,则下列各点在平面内的是( )A. B.C. D.2.已知两平面的法向量分别为,则两平面所成的二面角为( )A.45° B.135°C.45°或135° D.90°3.若直线、的方向向量分别为,,则与的位置关系是( )A. B. C.、相交不垂直 D.不能确定4.平面的一个法向量是,,,平面的一个法向量是,6,,则平面与平面的关系是( )A.平行 B.重合 C.平行或重合 D.垂直5.若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )A. B.C. D.与斜交6.若平面的法向量分别为,则( )A. B. C.相交但不垂直 D.以上均不正确7.已知,,,,则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.8.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,,,则PA与底面ABCD的关系是( )A.相交 B.垂直C.不垂直 D.成60°角9.若不重合的直线的方向向量分别为,,则A.∥ B.⊥C.相交但不垂直 D.不能确定10.已知两个不重合的平面与平面,若平面的法向量为,向量,,则( )A.平面平面 B.平面平面C.平面、平面相交但不垂直 D.以上均有可能11.若平面的法向量为,直线的方向向量为,直线与平面的夹角为,则下列关系式成立的是A. B. C. D.12.平面的法向量,平面的法向量,则下列命题正确的是( )A.、平行 B.、垂直 C.、重合 D.、不垂直 二、填空题13.已知,,,则平面ABC的一个单位法向量是________.14.设平面与向量垂直,平面与向量垂直,则平面与的位置关系是________.15.已知平面的一个法向量为,则直线与平面的位置关系为_______.16.在空间直角坐标系中,已知,,.则直线和平面所成的角为___________.
参考答案1.B【分析】设平面内的一点为,由可得,进而可得满足的方程,将选项代入检验即可得正确选项.【详解】设平面内的一点为(不与点重合),则,因为是平面的一个法向量,所以,所以,即,对于A:,故选项A不正确;对于B:,故选项B正确;对于C:,故选项C不正确;对于D:,故选项D不正确,故选:B.2.C【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式,求解二面角的大小即可.【详解】,即.∴两平面所成二面角为或.故选:C.3.A【分析】由题可得,即可判断.【详解】由题意,直线、的方向向量分别为,,,∴与的位置关系是.故选:A.4.C【分析】由题设知,根据空间向量共线定理,即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是,,,平面的一个法向量是,6,,,平面与平面的关系是平行或重合.故选:C.5.B【分析】判断与的位置关系,进而可得出结论.【详解】由已知可得,则,因此,.故选:B.6.C【分析】根据平面法向量的定义,由既不平行也不垂直即可得解.【详解】显然不平行,而,故不垂直,所以法向量既不平行也不垂直,所以相交但不垂直,故选:C7.A【分析】先求出向量=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),再利用向量法求两异面直线所成的角的余弦.【详解】由题得=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos<>=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.故选:A【点睛】(1)本题主要考查向量法求两异面直线所成的角,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一:(几何法)找作(平移法、补形法)证(定义)指求(解三角形),方法二:(向量法),其中是异面直线所成的角,分别是直线的方向向量.8.B【分析】由已知可得,,从而可判断PA与底面ABCD的关系【详解】解:因为,所以;因为,所以,又,所以平面ABCD.故选:B.【点睛】此题考查线面的位置关系,利用了空间向量进行了求解,属于基础题.9.A【分析】根据直线的方向向量共线即可判定的位置关系.【详解】解:因为,所以.又直线不重合,所以平行.故选:.【点睛】本题考查线线平行判定,属于基础题.10.A【分析】通过计算可得知,也为平面的一个法向量,由此可得出平面与平面的位置关系.【详解】,,,,,所以,也为平面的一个法向量,又平面与平面不重合,所以平面与平面平行,故选:A.【点睛】本题考查利用法向量判断平面与平面的位置关系,考查计算能力,属于基础题.11.D【分析】根据线面角的正弦值的计算公式,判断出正确选项.【详解】由于直线与平面的夹角为,其中,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法,属于基础题.12.B【分析】利用两个向量的数量积是否为0,判断两个平面的位置关系即可.【详解】解:平面的法向量,平面的法向量,因为,所以两个平面垂直.故选:.【点睛】本题考查平面与平面的位置关系的应用,考查计算能力.13.【分析】由题设,求面ABC的一个法向量,则其单位法向量是.【详解】由题设,,若是面ABC的一个法向量,则,令,则,故面ABC的一个单位法向量是.故答案为:14.垂直【分析】由于,可知两个平面的法向量垂直,所以可得两个平面也垂直【详解】因为,所以 ,所以,因为平面与向量垂直,平面与向量垂直,所以故答案为:垂直15.直线在平面上或直线与平面平行【分析】由,可得,即可判断直线与平面的位置关系.【详解】由,所以.又向量为平面的一个法向量.所以直线在平面上或直线与平面平行.故答案为:直线在平面上或直线与平面平行.【点睛】本题考查了法向量的应用、数量积运算性质、空间线面位置关系,考查了推理能力,属于基础题.16.【分析】根据已知条件求出平面的法向量,再利用向量的夹角公式直接求解即可.【详解】依题意,,,设平面的一个法向量为,则,则可取,又,设直线和平面所成的角为,则,∴,故答案为:.
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