2024年新高考数学培优专练11 数列求和方法之分组并项求和法（原卷版+解析）

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1．已知数列满足，，，且是等比数列，则（ ）
A．376B．382C．749D．766
2．若在边长为的正三角形的边上有（，）等分点，沿向量的方向依次为，记，若给出四个数值：①；②；③；④；则的值可能的共有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．若数列的通项公式是，则（ ）
A．45B．65C．69D．
二、解答题
4．设为等差数列，是正项等比数列，且，.在①，②，这两个条件中任选一个，回答下列问题：
（1）写出你选择的条件并求数列和的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若，求数列的前项和.
5．已知数列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
6．在数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
7．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
已知是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，________，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求.
9．已知数列是等差数列，是其前项和，且．
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和．
10．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
11．已知是等比数列，，．数列满足，，且是等差数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
12．设数列的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列中，，，求数列的前项和.
13．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
14．已知数列满足奇数项成等比数列，而偶数项成等差数列，且，，，，数列的前n项和为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时，若，试求的最大值．
15．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题.
已知等比数列的公比是，，且有 ().(注：如果选择多个条件分别解答，那么按照第一个解答计分)
（1）求证：；
（2）求数列的前项和为.
16．设是数列的前n项和，已知，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17．已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和
18．已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19．已知数列中，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都有.
（1）求a的值；
（2）试确定数列是不是等差数列；若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）记，求数列的前n项和.
（4）记是否存在正整数M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，说明理由.
20．已知数列的首项，，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数.
21．已知数列满足数列的前n项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
22．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
23．如图，在直角坐标系中有边长为2的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.设这一系列正方形中心的纵坐标为，其中为最大正方形中心的纵坐标.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的奇数项构成新数列，求的前n项和.
24．已知数列的前项和为，且，数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和.
25．已知有限数列{an}，从数列{an} 中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1＜i2＜…＜im），顺次排列构成数列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an} 的长度为m的子列．规定：数列{an} 的任意一项都是{an} 的长度为1的子列．若数列{an} 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an} 为完全数列．设数列{an}满足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．
（Ⅰ）判断下面数列{an} 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．
（Ⅱ）数列{an} 的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：m的最大值为6；
（Ⅲ）数列{an} 的子列{ak}长度m＝5，且{bk}为完全数列，求的最大值．
三、填空题
41．数列的通项公式，其前项和为，则______.
42．已知数列的前项和为，，则的值为__________.
43．在数列中，若，记是数列的前项和，则__________.
44．已知等差数列中，则数列的前n项和=___.
45．已知数列的前n项和，.求数列的通项公式为______.设，求数列的前项和______.
46．已知数列满足，为的前项和，记，数列的前项和为，则______．
47．设为数列的前项和，，若（），则__________.
四、双空题
48．已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.
49．设数列中，，，则________，数列前n项的和________.
50．已知数列的前项和为，满足，，则_______；___________．