黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区九年级第一学期期中数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
2．下列图形中，中心对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用配方法解一元二次方程x2+8x+9＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝55 B．（x+8）2＝55 C．（x﹣4）2＝7 D．（x+4）2＝7
4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．某商品经过连续两次降价，每件售价由原来的144元降到了121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝121 B．144（1+x）2＝121
C．（1﹣x）2＝121 D．121（1+x）2＝144
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）

A．45° B．38° C．36° D．30°
8．已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　）
A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④＜b＜1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 　 　．
12．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是 　 　．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝2，那么AB的长是 　 　．

14．圆锥的底面半径为3，侧面积为21π，则这个圆锥的高为 　 　．
15．如图，半径均为4的⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，点O1、O2、O3分别为圆心，则图中阴影部分的面积为 　 　．

16．已知等腰△ABC内接于半径为10的⊙O中，且圆心O到BC的距离为6，则这个等腰△ABC底边上的高是 　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2021为 　 　．

三、解答题（本题有7个小题，共69分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
19．已知关于x的方程x2+2x+a＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣2，﹣4），点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（1，﹣1）．
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）求△AA1A2的面积．

21．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求OP的长．

22．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 　 　元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 　 　元．

23．综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．
如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：
①CD＝　 　；
②△A′BC的面积为 　 　；
拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．
（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为 　 　．
②若点D是边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 　 　．


24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P做PE∥y轴，与AC交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；
（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到1﹣m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．
解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，
∴1﹣m﹣3＝0，
解得m＝﹣2．
故选：D．
2．下列图形中，中心对称图形的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：第1，3个图形是中心对称图形，共2个．
故选：B．
3．用配方法解一元二次方程x2+8x+9＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣8）2＝55 B．（x+8）2＝55 C．（x﹣4）2＝7 D．（x+4）2＝7
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
解：x2+8x+9＝0，
移项，得x2+8x＝﹣9，
配方，得x2+8x+16＝﹣9+16，
即（x+4）2＝7，
故选：D．
4．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．
解：如图，∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．
∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，
∴＝．
∴∠AOC＝∠BOC＝60°．
故选：D．

5．某商品经过连续两次降价，每件售价由原来的144元降到了121元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝121 B．144（1+x）2＝121
C．（1﹣x）2＝121 D．121（1+x）2＝144
【分析】利用经过两次连续降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：144（1﹣x）2＝121．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF
【分析】依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．
解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．

7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（　　）

A．45° B．38° C．36° D．30°
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．
解：在正五边形ABCDE中，∠B＝×（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣108°）＝36°．
故选：C．
8．已知m，n是一元二次方程2x2﹣x﹣7＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（　　）
A．7 B．4 C．﹣2 D．﹣7
【分析】根据根与系数的关系得到m+n＝，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：根据题意得m+n＝，mn＝﹣，
所以m+n﹣mn＝﹣（﹣）＝+＝4．
故选：B．
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD∥AC交于点D，交BC于点E，若BC＝8，ED＝2，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2
【分析】由圆周角定理得∠ACB＝90°，再证OD⊥BC，由垂径定理得BE＝BC＝4，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，然后在Rt△OBE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BE＝BC＝4，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径为5，
故选：C．
10．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④＜b＜1．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①∵函数开口方向向下，
∴a＜0；
∵对称轴在y轴右侧
∴a、b异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
故②正确；
③∵图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∵10a+2b+2c＞0，即5a+b+c＝0，
故③正确；
∵图象与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间，
∴1＜c＜2，
∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）和（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根为﹣1和3，
∴﹣3＝，
∴c＝﹣3a，
∵﹣＝1，
∴a＝﹣b，
∴c＝b，
∴1＜b＜2，
∴＜b＜；
故④错误；
综上所述，正确的有①②③共3个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 　﹣3　．
【分析】由二次函数解析式求出顶点式，根据顶点式即可得出答案．
解：∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，a＞0，
∴二次函数开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
∴函数y的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
12．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是 　9　．
【分析】设参加此次比赛的球队有x个，利用比赛的总场次数＝参赛球队的数量×（参赛球队的数量﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出共有9支球队参加比赛．
解：设参加此次比赛的球队有x支，
依题意得：x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故答案为：9．
13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝2，那么AB的长是 　4　．

【分析】先利用垂径定理得到CD＝DE＝1，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC的长，从而得到AB的长．
解：∵CD⊥AB，
∴CD＝DE＝CD＝1，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×15°＝30°，
∴OC＝2CE＝2，
∴AB＝2OC＝4．
故答案为：4．
14．圆锥的底面半径为3，侧面积为21π，则这个圆锥的高为 　2　．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求得母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高．
解：设圆锥的母线长为R，则21π＝2π×3×R÷2，解得R＝7，
故圆锥的高＝＝2．
故答案为：2．
15．如图，半径均为4的⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，点O1、O2、O3分别为圆心，则图中阴影部分的面积为 　　．

【分析】根据圆与圆外切的性质得出三角形O1O2O3是等边三角形，然后计算三角形O1O2O3的面积，再计算三个角所对的扇形的面积和即可求出阴影部分的面积．
解：由题意得，
O1O2＝O2O3＝O1O3＝8，
∴∠O1＝∠O2＝∠O3＝60°，
作O1M⊥O2O3，
，
，
∴，
∴S阴＝＝，
故答案为：．
16．已知等腰△ABC内接于半径为10的⊙O中，且圆心O到BC的距离为6，则这个等腰△ABC底边上的高是 　或16或4　．
【分析】分BC为腰和BC为底边以及当BC为底边时圆心O在等腰△ABC内部和圆心O在等腰△ABC外部三种情况讨论解答．
解：当BC为腰时，如图，

连接CO并延长交AB于点D，
∵BC＝AC，
∴．
∴CD⊥AB．
∵OE⊥BC，OE＝6，OA＝10，
∴BE＝CE＝＝8．
∴CB＝16．
∵OE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠OEC＝∠BDC＝90°．
∵∠ECO＝∠DCB，
∴△CEO∽△CDB．
∴．
∴．
∴CD＝；
当BC为底边时，①圆心O在等腰△ABC内部时，如图，

连接AO，BO，延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC，
∴．
∴AD⊥BC．
∵OD＝6，OA＝10，
∴AD＝OA+OD＝16．
②圆心O在等腰△ABC外部时，如图，

连接OA，交BC于点D，
∵AB＝AC，
∴．
∴AD⊥BC．
∵OD＝6，OA＝10，
∴AD＝OA﹣OD＝4．
综上，这个等腰△ABC底边上的高是或16或4．
故答案为：或16或4．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2021为 　22017π　．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝2n﹣3π，依此规律即可得出结论．
解：由题意△A1OA2、A3OA4、A5OA6、…、都是等腰直角三角形，
∴OA2＝，OA4＝2，OA6＝2，…，
∴S1＝＝π，S2＝＝π，S3＝＝π，S4＝，
…；
∴Sn＝2n﹣4π，
∴S2021＝22017π，
故答案为：22017π，
三、解答题（本题有7个小题，共69分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣3x+1＝0；
（2）（x+1）2＝（2x﹣1）2．
【分析】（1）利用求根公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
解：（1）x2﹣3x+1＝0；
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（x+1）2＝（2x﹣1）2，
∴x+1＝±（2x﹣1），
∴x1＝2，x2＝0．
19．已知关于x的方程x2+2x+a＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【分析】（1）方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，即可确定出a的范围；
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解：（1）∵方程x2+2x+a＝0有两个实数根，
∴Δ＝4﹣4a＞0，
解得：a＜1；

（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：．
则a的值是﹣3，该方程的另一根为﹣3．
20．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣2，﹣4），点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（1，﹣1）．
（1）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1．
（2）请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
（3）求△AA1A2的面积．

【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用等腰直角三角形的面积公式求解即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）＝×2×2＝20．

21．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB＝3，OD＝5，求OP的长．

【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理得出AD＝4，根据切线的性质得到PA＝PB，再根据勾股定理得出PB＝6，最后根据勾股定理即可得解．
【解答】（1）证明：连接OA，

∵AB⊥OP，OB＝OA，
∴∠BOP＝∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
在△OBP与△OAP中，
，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝5，OA＝OB＝3，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（PB+4）2＝PB2+82，
∴PB＝6，
在Rt△OBP中，OP＝＝＝3．
22．为迎接“双十一”购物节，某网店计划销售某种网红食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品的售价x（元/千克）的范围为：20≤x≤50，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出200元给灾区，若捐款后店主的剩余利润是800元，求该食品的售价；
（3）若该食品的日销量不低于90千克，当售价为 　35　元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是 　1350　元．

【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）设售价为x元/千克，根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；
（3）先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（30，100），（40，80）代入得：
，
解得 ，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+160；
（2）设该食品的售价为x元/千克，
由题意得，（x﹣20）（﹣2x+160）＝800+200，
整理得，x2﹣100x+2100＝0，
解得x1＝70，x2＝30，
∵20≤x≤50，
∴x＝30，
答：该食品的售价为30元/千克；
（3）∵﹣2x+160≥90，
解得x≤35，
∴20≤x≤35，
设每天获利W元，
W＝（x﹣20）（﹣2x+160）
＝﹣2x2+200x﹣3200
＝﹣2（x﹣50）2+1800，
∵a＝﹣2＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝50，
∴在x≤50时，W随x的增大而增大，
∴x＝35时，W最大值＝15×90＝1350（元），
答：售价为35元时，每天获利最大为1350元．
故答案为：35，1350．
23．综合与实践
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．
如图1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：
①CD＝　8　；
②△A′BC的面积为 　8　；
拓展延伸：（2）如图2，若△ACB为任意直角三角形，∠ACB＝90°．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C，过点A′作A′D⊥CB交CB延长线于点D．猜想三条线段AC、CD、A′D的数量关系，并证明．
（3）如图3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A′B，连接A′C．
①△A′BC的面积为 　9　．
②若点D是边BC的高线上的一动点，连接A′D、DB，则A′D+DB的最小值是 　　．


【分析】（1）①根据旋转的性质根据（AAS）证△ABC≌△BA'D，即可得出CD＝BC+BD＝BC+AC＝8；
②△A′BC的面积＝BC×A'D＝BC×BC＝8；
（2）同理（1）证△ABC≌△BA'D，即可得出CD＝AC+A'D；
（3）①作AH⊥BC于H，作A'D⊥BC延长线于M，同理（2）证△ABH≌△BA'M，得出A'M＝BH＝BC，△A′BC的面积＝BC×A'M＝BC×BC＝9；
②由等腰三角形的性质可知A'D+DB的最小值为A'C，由勾股定理可求出A'C的长即可．
解：（1）①由旋转知，AB＝A'B，∠ABA'＝90°，
∵△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠A'BD＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△BA'D是等腰直角三角形，
∴△ABC≌△BA'D（AAS），
∴BD＝AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝BC+AC＝8，
故答案为：8；
②由①知，A'D＝BC＝4，
∴△A′BC的面积＝BC×A'D＝BC×BC＝8，
故答案为：8；
（2）CD＝AC+A'D；证明如下：
由旋转知，AB＝A'B，∠ABA'＝90°，
∴∠ABC+∠A'BD＝90°，
∵A′D⊥CB，
∴∠A'BD+∠BA'D＝90°，
∴∠ABC＝∠BA'D，
又∵∠ACB＝∠A'DB＝90°，
∴△ABC≌△BA'D（AAS），
∴AC＝BD，A'D＝BC，
∴CD＝BD+BC＝AC+A'D；
（3）①作AH⊥BC于H，作A'D⊥BC延长线于M，

同理（2）可证△ABH≌△BA'M，
∴A'M＝BH，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴A'M＝BH＝BC＝＝3，
∴△A′BC的面积＝BC×A'M＝×6×3＝9，
故答案为：9；
②∵AB＝AC＝5，
∴B点和C点关于AH对称，
∴BD＝CD，
∴A'D+DB＝A'D+CD，
∴当D点在A'C上时A'D+CD有最小值即A'C，

由①知，BM＝AH＝＝＝4，
∴CM＝CB+BM＝6+4＝10，
∴A'C＝＝＝，
∴A′D+DB的最小值是，
故答案为：．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB，点P是第三象限内抛物线上的一动点，连接AC，过点P做PE∥y轴，与AC交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PC∥AB时，求点P的坐标；
（3）用含x的代数式表示PE的长，并求出当PE的长取最大值时对应的点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，平面内是否存在点Q，使以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出A（﹣8，0），B（1，0），并代入y＝ax2+bx﹣4即可求解析式；
（2）由题意可知，P点的纵坐标为﹣4，即可求P点坐标；
（3）先求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣4，设P（x，x2+x﹣4），则E（x，﹣x﹣4），可求PE＝﹣（x+4）2+8，当x＝﹣4时，PE有最大值8，此时P（﹣4，10）；
（4）设Q（m，n），分三种情况讨论：①当AC为对角线时，求出Q（﹣4，﹣14）；②当AP为对角线时，求出Q（﹣12，14）；③当AQ为对角线时，求出Q（4，6）．
解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵OA＝2OC＝8OB，
∴OA＝8，OB＝1，
∴A（﹣8，0），B（1，0），
将A、B代入y＝ax2+bx﹣4，得
，
∴，
∴y＝x2+x﹣4；
（2）当PC∥AB时，P点的纵坐标为﹣4，
∴x2+x﹣4＝﹣4，
∴x＝0或x＝﹣7，
∵P点在第三象限，
∴P（﹣7，﹣4）；
（3）设AC的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4，
设P（x，x2+x﹣4），则E（x，﹣x﹣4），
∴PE＝﹣x﹣4﹣（x2+x﹣4）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+4）2+8，
∴当x＝﹣4时，PE有最大值8，
此时P（﹣4，10）；
（4）存在点Q，使得以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设Q（m，n），
①当AC为对角线时，AC的中点为（﹣4，﹣2），PQ的中点为（，），
∴﹣4＝，﹣2＝，
∴m＝﹣4，n＝﹣14，
∴Q（﹣4，﹣14）；
②当AP为对角线时，AP的中点为（﹣6，5），CQ的中点为（，），
∴﹣6＝，5＝，
∴m＝﹣12，n＝14，
∴Q（﹣12，14）；
③当AQ为对角线时，AQ的中点为（，），CP的中点为（﹣2，3），
∴＝﹣2，＝3，
∴m＝4，n＝6，
∴Q（4，6）；
综上所述：以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点坐标为（﹣4，﹣14）或（﹣12，14）或（6，4）．