黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数、一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣6 B．3，1 C．﹣6，1 D．3，6
2．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（　　）
A． B． C． D．
3．与抛物线y＝﹣x2+2x﹣7的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（　　）
A．y＝x2+2x﹣7 B．y＝x2
C．y＝+2x﹣7 D．y＝﹣x2+
4．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
7．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：（1）b2＞4ac； （2）abc＞0；（3）2a+b＝0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（每小题3分，共21分）
11．点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是　 　．
13．某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为　 　．
14．在⊙O中，AB为直径，CD为弦，点D不与点A重合，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝　 　．
15．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　 　．
16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为　 　s时，BP与⊙O相切．

17．如图，已知点A在第一象限，AB垂直x轴，点B为垂足，OB＝1，AB＝，∠BOA＝60°，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为A2，按此作法继续下去，则点A2021的坐标是 　 　．

三、解答题（满分69分）
18．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0．
（2）x2+4x﹣5＝0．
19．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形；
（4）在图4中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD＝4．

20．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0有两个根分别为x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝8，求k的值．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求EF的长．

22．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
23．综合与实践
已知：如图1和图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
问题探究：
（1）如图2，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则∠FAG＝　 　度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为 　 　；
问题再探：
（2）如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，则DE的长为 　 　．


24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）若点M在直线l上，点N在x轴上，是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数、一次项系数分别是（　　）
A．3，﹣6 B．3，1 C．﹣6，1 D．3，6
【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．
解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的二次项系数，一次项系数分别是3，﹣6．
故选：A．
2．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，能与原来图形重合，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，不能与原来图形重合，故符合题意；
C、是中心对称图形，能与原来图形重合，故不符合题意；
D、是中心对称图形，能与原来图形重合，故不符合题意．
故选：B．
3．与抛物线y＝﹣x2+2x﹣7的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（　　）
A．y＝x2+2x﹣7 B．y＝x2
C．y＝+2x﹣7 D．y＝﹣x2+
【分析】根据已知抛物线的解析式可以确定其形状、开口方向，也可以确定其顶点的坐标，然后和选项比较即可求解．
解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣7，
∴a＝﹣，开口向下，
∴y＝﹣x2+与其开口方向相同、形状相同，位置不同．
故选：D．
4．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO＝45°，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先根据OA＝OC，∠ACO＝45°可得出∠OAC＝45°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
解：∵OA＝OC，∠ACO＝45°，
∴∠OAC＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠B＝∠AOC＝45°．
故选：D．

7．若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】把三个点的横坐标代入抛物线的解析式，分别求出对应的y值进行比较即可．
解：当x＝﹣2时，y1＝2×（﹣2﹣1）2+3＝21；当x＝1时，y2＝3；当x＝2时，y3＝5；
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x＝＝．
故选：D．
9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
解：由题意可得BQ＝x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP＝3x，
则△BPQ的面积＝BP•BQ，
解y＝•3x•x＝x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积＝BQ•BC，
解y＝•x•3＝x；故B选项错误；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP＝9﹣3x，
则△BPQ的面积＝AP•BQ，
解y＝•（9﹣3x）•x＝x﹣x2；故D选项错误．
故选：C．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，给出下列结论：（1）b2＞4ac； （2）abc＞0；（3）2a+b＝0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0．其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据抛物线与x轴交点的个数判定根的判别式的符号；由抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点位置以及抛物线对称轴可以判定a、b、c的符号；由x＝1和x＝﹣1可以得到相应的y值的符号．
解：（1）抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，则b2＞4ac，故（1）正确；

（2）抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b＞0．
所以abc＜0．故（2）错误；

（3）对称轴x＝﹣＝﹣1，则b﹣2a＝0，故（3）错误；

（4）如图，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，故（4）正确；

（5）如图，当x＝﹣时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故（5）正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：B．

二、填空题（每小题3分，共21分）
11．点（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是　（2，﹣5）　．
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点（﹣2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）．
12．抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是　（1，﹣3）　．
【分析】利用配方法化为顶点式求得顶点坐标即可．
解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以顶点的坐标是（1，﹣3）．
故答案为（1，﹣3）．
13．某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为　7200（1+x）2＝8450　．
【分析】由题意得：第一年水稻产量7200（1+x），第二年水稻产量：7200（1+x）（1+x），进而可得方程7200（1+x）2＝8450．
解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意得：
7200（1+x）2＝8450，
故答案为：7200（1+x）2＝8450．
14．在⊙O中，AB为直径，CD为弦，点D不与点A重合，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝　40°或140°　．
【分析】分两种情形：当点D在AC的右侧时，当点D′在AC的左侧时，分别求解即可．
解：如图，当点D在AC的右侧时，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝∠ADC]＝90°﹣50°＝40°，
当点D′在AC的左侧时，∠AD′C＝180°﹣∠D＝140°，
综上所述，∠ADC＝40°或140°，
故答案为：40°或140°．
15．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是　24或8　．
【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x＝6时，是等腰三角形；与x＝10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
解：∵x2﹣16x+60＝0，
∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝＝2，
∴S△ABC＝BC•AD＝×8×2＝8；
当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24．
∴该三角形的面积是：24或8．
故答案为：24或8．

16．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为　1或5　s时，BP与⊙O相切．

【分析】根据切线的判定与性质进行分析即可．若BP与⊙O相切，则∠OPB＝90°，又因为OB＝2OP，可得∠B＝30°，则∠BOP＝60°；根据弧长公式求得长，除以速度，即可求得时间．
解：连接OP；
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；
∴∠B＝30°；
∴∠O＝60°；
∵OA＝3cm，
∴＝＝π，圆的周长为：6π，
∴点P运动的距离为π或6π﹣π＝5π；
∴当t＝1或5时，有BP与⊙O相切．

17．如图，已知点A在第一象限，AB垂直x轴，点B为垂足，OB＝1，AB＝，∠BOA＝60°，将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1再绕原点O顺时针旋60°后的对应点为A2，按此作法继续下去，则点A2021的坐标是 　（﹣1，）　．

【分析】根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环，求出点A2021的坐标与点A5坐标相同，进而可得出答案．
解：∵将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A2，依此作法继续下去，
∴得出每旋转＝6次坐标一循环，得出2021÷6＝336余5，即点A2021的坐标与点A5坐标相同，
即可得出点A5与点A关于y轴对称，
∵A（1，），
∴A5点坐标为：（﹣1，），
∴点A2021的坐标是（﹣1，），
故答案为：（﹣1，）．
三、解答题（满分69分）
18．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0．
（2）x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
则x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x2+4x﹣5＝0，
（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝1．
19．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形；
（4）在图4中，画出所有格点△BCD，使△BCD为等腰直角三角形，且S△BCD＝4．

【分析】（1）如图①，以点C为对称中心画出△DEC；
（2）如图②，以AC边所在的性质为对称轴画出△ADC；
（3）如图③，利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点D、E，从而得到△DEC；
（4）如图④，利用等腰三角形的性质和网格特点作图．
解：（1）如图①，△DEC为所作；
（2）如图②，△ADC为所作；
（3）如图③，△DEC为所作；
（4）如图④，△BCD和△BCD′为所作．

20．已知一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0有两个根分别为x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的两个根x1，x2满足（x1+2）（x2+2）＝8，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2+3）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到得x1+x2＝2（k﹣1），，将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0有两个根分别为x1，x2
∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2+3）≥0，
∴4（k﹣1）2﹣4（k2+3）≥0，
∴（k﹣1）2﹣（k2+3）≥0，
∴k2﹣2k+1﹣k2﹣3≥0，
∴﹣2k﹣2≥0，
∴k≤﹣1；

（2）∵x1+x2＝2（k﹣1），，
又（x1+2）（x2+2）＝8，
∴x1x2+2（x1+x2）+4＝8，
∴k2+3+4（k﹣1）﹣4＝0，
∴k2+4k﹣5＝0，
∴k1＝﹣5，k2＝1，
∵k≤﹣1，
∴k＝﹣5．
21．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求EF的长．

【分析】（1）连接BD，证明∠ADB＝90°，求出∠ABD，可得结论；
（2）连接OD，证明△AOD是等边三角形，可得结论．
解：（1）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝∠ACD＝30°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝60°；

（2）连接OD．
∵OA＝OD，∠OAD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，OA＝OD＝2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EF，
∵DE＝OD•sin60°＝，
∴EF＝．

22．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．
（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝80﹣2（x﹣50），然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
解：（1）由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）化简得：y＝﹣2x+180；
（2）由题意得：w＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣2x+180）
＝﹣2x2+260x﹣7200；
（3）w＝﹣2x2+260x﹣7200
∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下． 当x＝65时，w有最大值．
又x＜65，w随x的增大而增大．∴当x＝55元时，w的最大值为1050元．
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1050元的最大利润．
23．综合与实践
已知：如图1和图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
问题探究：
（1）如图2，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则∠FAG＝　45　度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为 　EF＝BE+DF　；
问题再探：
（2）如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
拓展应用：
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝2，则DE的长为 　　．


【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证明△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
解：（1）如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：45，EF＝BE+DF；

（2）成立．
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，

则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；

（3）解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝＝8，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，

∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝8，
∴BF＝CE＝8﹣2﹣x＝6﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（6﹣x）2+22，
解得：x＝，
即DE＝．
故答案为：．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）若点M在直线l上，点N在x轴上，是否存在点N，使以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）直接代入点A，B坐标即可；
（2）作PE∥y轴交直线AD于H，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积；
（3）以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分平行四边形ADMN、ADNM和AMDN三种情况讨论即可．
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，
得，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4；

（2）当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴设直线AD：y＝kx+d，
则，
解得，
∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，
设P（m，m2﹣3m﹣4），
作PH∥y轴交直线AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝PH×4＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
当m＝＝1时，S△APD最大为8；

（3）∵点M在直线l上，点N在x轴上，D（3，﹣4），A（﹣1，0），
∴设N（n，0），
①若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形ADMN，
∵xA+xM＝xD+xN，
∴﹣1+＝3+n，
解得n＝﹣，
∴N（﹣，0）；
②若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形ADNM，
∵xA+xN＝xD+xM，
∴﹣1+n＝3+，
解得n＝，
∴N（，0）；
③若以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形AMDN，
∵xA+xD＝xM+xN，
∴﹣1+3＝+n，
解得n＝，
∴N（，0）．
综上，N的坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）．