苏科版九年级数学上册 小结与思考(4)（教案）

        线段和的最值问题

一、考点分析： 在近几年中考试题中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，在平面几何中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题．本节课主要是运用轴对称变换实现线段转移，利用“两点之间，线段最短”解决与线段和最值有关的数学问题．整节课选取典型例题，分层训练，讲练结合，重在方法的总结，形成解决这一类问题的通性通法．

二、教学目标：

1、理解并掌握线段和的最大值或最小值问题的实质，灵活运用“两点之间，线段最短”；

2、巩固、提高空间观念、模型思想和几何直观的思想和意识，提升学生分析问题、解决问题的能力．

三、重点、难点分析：

教学重点：借助轴对称变换转移线段达到共线的目的．

教学难点：

1、正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；

2、通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法．

四、教学过程：

观看视频，激发兴趣

（一）复习回顾，建立模型：

模型1  当两定点A、B在直线异侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小．

作法：

模型2 当两定点A、B在直线同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小．

作法：

分析：模型1的作法依据是“两点之间，线段最短”；模型2是利用轴对称作点B关于直线l的对称点C，连接AC与定直线的交点即为点P，且最小值等于AC．

（二）基础训练，感悟归纳

1、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（    ）

A．       B．        C．3        D．

2、如图，MN是⊙O的直径，MN=2，∠AMN=30°，B点是弧AN的中点，P是直径MN上的动点，则PA+PB的最小值为        ． 

归纳：以圆、正方形为背景的两条线段和最小问题，抓住问题本质“两点之间线段最短”，利用对称化“折”为“直”，实现共线，确定“两定一动”是解题的关键．

（三）变式探究，拓展模型

1、如图，l1 ，l2 是河的两岸，从 A 点修一条公路到河岸l1 ，在河上修建一座垂直于河岸的桥，在桥的另一端在修建一条公路到 B 点，求作点 A 到点 B 的最短路径．

模型3   如图，已知A、B是两个定点（在定直线l异侧），在直线上找两个动点M、N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小．

                                作法：

模型4       如图，已知A、B是两个定点(在直线上找在直线同侧），在直线l上找两个动点M、N，且MN等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB最小．

                                       作法：

分析：要使AM+MN+NB最小，其中MN=d已经确定，只要使AM+NB最小；如图，将定点A沿着定直线l的方向向右平移d个单位得到点C，则点C也是一个定点，且四边形ACNM为平行四边形，从而有AM+NB=CN+NB，问题转化为CN+NB最小，这就转化为模型2的问题了．

（四）能力训练，发展思维

1、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=2，当BP=______时，四边形APQE的周长最小．

2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）和点B（4，1），若点P（a，0），点Q（a+1，0）是x轴上的两个动点，当四边形APQB的周长最小时，求a的值．

（五）中考链接，实战体验

（2016•龙岩）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝a（x―）2+与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，―2）．

（1）求a值及A，B两点坐标；

（2）求证CD为直径；

（3）点E是抛物线的顶点，将线段CD沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时C′的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）把点C坐标代入抛物线解析式即可求出a，令y＝0可得抛物线与x轴的交点坐标．

（2）根据题意可知，A,C,D 的坐标，可由勾股定理或三角函数解决问题．

（3）存在．如图，将点A向右平移5个单位得到A′（6，0），只要使A′D′+D′E最小，这就是典型的模型3，从而可以解决问题．

（六）合作交流，感悟反思

1、今天所运用的最值的模型适合哪一类问题？

2、运用这个模型解决问题关键是什么？

3、求线段的最值问题还有哪些方法？请同学们课后去总结归纳．

（七）趁热打铁，当堂反馈

1．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE、CP，则△CPE的周长的最小值为　   　．

2. 如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是　   　．

3．已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，﹣3），B（4，﹣1）．

（1）若P是x轴上的一个动点，则△PAB的最小周长为　   　；

（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝　   　时，四边形ABDC的周长最小．