2022年新高考一轮复习考点精选练习38《椭圆及其性质》（含详解）

这是一份2022年新高考一轮复习考点精选练习38《椭圆及其性质》（含详解），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
椭圆mx2＋ny2＋mn=0(m＜n＜0)的焦点坐标是( )
A.(0，±eq \r(m－n)) B.(±eq \r(m－n)，0) C.(0，±eq \r(n－m)) D.(±eq \r(n－m)，0)
P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，
若tan∠PAF=eq \f(1,2)，则椭圆的离心率e为( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,2)
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为( )
A.eq \f(4,3) B.1 C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
已知点P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2成立，则λ的值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.2
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，
直线AB交y轴于点P.若eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
已知点F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=( )
A.4 B.6 C.8 D.12
“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
已知点F1，F2分别是椭圆E：=1的左、右焦点，P为E上一点，直线1为∠F1PF2的外角平分线，过点F2作l的垂线，垂足为M，则|OM|=（ ）
A.10 B.8 C.5 D.4
已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y=x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(10),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(10),5)
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1的两个焦点，P在椭圆上且满足eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=c2，
则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，
△FMN的面积是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5) C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
二、填空题
已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)=1(0 已知P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时，
cs∠F1PF2=eq \f(1,3)，则椭圆的离心率为________.
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=3eq \r(3)，则b= .
设F1、F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为 .
设F1，F2是椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|=4∶3，
则△PF1F2的面积为________.
已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，
且eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.
\s 0 答案解析
答案为：C；
解析：化为标准方程是eq \f(x2,－n)＋eq \f(y2,－m)=1，
∵m＜n＜0，∴0＜－n＜－m.∴焦点在y轴上，且c=eq \r(n－m).
答案为：D；
解析：不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP=c，
将xP=c代入椭圆方程得yP=eq \f(b2,a)，即|PF|=eq \f(b2,a)，则tan∠PAF=eq \f(|PF|,|AF|)=eq \f(\f(b2,a),a＋c)=eq \f(1,2)，
结合b2=a2－c2，整理得2c2＋ac－a2=0，两边同时除以a2得2e2＋e－1=0，
解得e=eq \f(1,2)或e=－1(舍去).故选D.
答案为：D；
解析：不妨设A点在B点上方，
由题意知，F2(1,0)，将F2的横坐标代入椭圆方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1中，
可得A点纵坐标为eq \f(3,2)，故|AB|=3，
所以内切圆半径r=eq \f(2S,C)=eq \f(6,8)=eq \f(3,4)(其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长)，故选D.
答案为：D；
解析：设内切圆的半径为r，因为S△MPF1=λS△MF1F2－S△MPF2，
所以S△MPF1＋S△MPF2=λS△MF1F2；
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，所以ar=λcr，c=eq \r(a2－b2)，
所以λ=eq \f(a,\r(a2－b2))=2.
答案为：D；
解析：∵eq \(AP,\s\up7(―→))=2eq \(PB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AP,\s\up7(―→))|=2|eq \(PB,\s\up7(―→))|.
又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)=eq \f(|AO|,|AF|)=eq \f(2,3)，即eq \f(a,a＋c)=eq \f(2,3)，∴e=eq \f(c,a)=eq \f(1,2).
答案为：A；
解析：因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为eq \f(bc,a)，即OC=eq \f(bc,a)，
因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋c,2)，\f(bc,a)))，
代入椭圆方程得eq \f(（a＋c）2,4a2)＋eq \f(c2b2,a2b2)=1，所以5e2＋2e－3=0，又0＜e＜1，所以e=eq \f(3,5).故选A.
答案为：A.
解析：由|PF1|＋|PF2|=4，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs60°=|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|=12，
所以|PF1|·|PF2|=4，故选A.
答案为：B
解析：若eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)=1表示椭圆，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2故“2 C.
答案为：A；
解析：不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－1)=1(a＞1)，
与直线l的方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,a2－1)＝1，,y＝x＋3，))
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4=0，
由题意易知Δ=36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥eq \r(5)，
所以e=eq \f(c,a)=eq \f(1,a)≤eq \f(\r(5),5)，所以e的最大值为eq \f(\r(5),5).故选A.
答案为：B；
解析：设P(x，y)，则eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1，y2=b2－eq \f(b2,a2)x2，－a≤x≤a，eq \(PF1,\s\up7(―→))=(－c－x，－y)，
eq \(PF2,\s\up7(―→))=(c－x，－y).所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))=x2－c2＋y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(b2,a2)))x2＋b2－c2=eq \f(c2,a2)x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))≤b2.所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.所以eq \f(\r(3),3)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2).故选B.
答案为：C；
解析：设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L=|MN|＋|MF|＋|NF|
=|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|).因为|ME|＋|NE|≥|MN|，
所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，
所以L=4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x=a过椭圆的右焦点E时，
△FMN的周长最大，此时S△FMN=eq \f(1,2)×|MN|×|EF|=eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2=eq \f(8\r(5),5)，故选C.
答案为：eq \r(3).
解析：由椭圆的方程可知a=2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|=4a=8，
所以|AB|=8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，
则eq \f(2b2,a)=3，所以b2=3，即b=eq \r(3).
答案为：eq \f(\r(3),3).
解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1与y轴的交点，
由余弦定理及椭圆的定义得2a2－eq \f(2a2,3)=4c2，即a=eq \r(3)c，所以椭圆的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(3),3).
答案为：3；
解析：由题意得|PF1|＋|PF2|=2a，
又∠F1PF2=60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°=|F1F2|2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|=4c2，
所以3|PF1||PF2|=4a2－4c2=4b2，所以|PF1||PF2|=eq \f(4,3)b2，
所以S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin60°=eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3),3)b2=3eq \r(3)，所以b=3.
答案为：-5；
解析：由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|=2a－|PF2|，
∴|PM|－|PF1|=|PM|－(2a－|PF2|)=|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|=eq \r(6－32＋4－02)=5,2a=10，∴|PM|－|PF1|≥5－10=－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
答案为：24.
解析：因为|PF1|＋|PF2|=14，又|PF1|∶|PF2|=4∶3，所以|PF1|=8，|PF2|=6.
因为|F1F2|=10，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2=eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|=eq \f(1,2)×8×6=24.
答案为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).
解析：设P(x，y)，则eq \(PF1,\s\up15(→))·eq \(PF2,\s\up15(→))=(－c－x，－y)·(c－x，－y)=x2－c2＋y2=c2，①
将y2=b2－eq \f(b2,a2)x2代入①式，解得x2=eq \f(2c2－b2a2,c2)=eq \f(3c2－a2a2,c2)，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.∴e=eq \f(c,a)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).