2020-2021年福建省厦门市湖里区双十中学第一次中考模拟数学试卷（含答案）

这是一份2020-2021年福建省厦门市湖里区双十中学第一次中考模拟数学试卷（含答案），共24页。
2021厦门双十中学初三下数学第一次诊断卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）﹣的倒数为（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣1
2．（4分）二元一次方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．（a3b）2＝a6b2
C．﹣＝ D．a9÷a3＝a3
4．（4分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
5．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
6．（4分）如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2，其作图依据是（　　）

A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
7．（4分）已知a，b，c都是实数，则关于三个不等式：a＞b，a＞b+c，c＜0的逻辑关系的表述，下列正确的是（　　）
A．因为a＞b+c，所以a＞b，c＜0
B．因为a＞b+c，c＜0，所以a＞b
C．因为a＞b，a＞b+c，所以c＜0
D．因为a＞b，c＜0，所以a＞b+c
8．（4分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的
9．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
10．（4分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
二．填空题（共6小题，满分20分）
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是　 　．

12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为　 　．

13．（4分）已知，一次函数y＝x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值为　 　．
14．（4分）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　 　．

15．（4分）观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x+＝2n+5（n为正整数）的根，你的答案是　 　．
16．计算：（15y2﹣5y）÷5y＝　 　．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（12分）（1）计算：（π﹣2020）0﹣+4sin45°﹣（）﹣1．
（2）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上．

18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°+1．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE，求证：∠CAD＝∠D．

20．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．

21．（8分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．
22．（8分）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．
（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．
23．（11分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
24．（11分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线BD上，△ABE的外接圆交BC于点F．连接AF交BD于点G．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若FH是该圆的切线，交线段CD于点H，且FH＝FG，求BF的长．

25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，且△ABC为等腰直角三角形．
（1）当A（﹣1，0），B（3，0）时，求a的值；
（2）当b＝﹣2a，a＜0时．
①求该二次函数的解析式（用只含a的式子表示）；
②在﹣1≤x≤3范围内任取三个自变量x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3，若以为y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围．

2021厦门双十中学初三下数学第一次诊断卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）﹣的倒数为（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：∵（﹣）×（﹣2）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：C．
2．（4分）二元一次方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：，
①+②得，3x＝3，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+y＝2，
解得y＝1，
所以，方程组的解是．
故选：B．
3．（4分）下列各式计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．（a3b）2＝a6b2
C．﹣＝ D．a9÷a3＝a3
【解答】解：A、﹣，无法计算，故此选项错误；
B、（a3b）2＝a6b2，故此选项正确；
C、﹣＝，故此选项错误；
D、a9÷a3＝a6，故此选项错误．
故选：B．
4．（4分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【解答】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是．
故选：D．
5．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
6．（4分）如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2，其作图依据是（　　）

A．两直线平行，同位角相等
B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【解答】解：由图可知，
直线l1和直线l2之间的内错角相等，则可以判定这两条直线平行，
故选：D．
7．（4分）已知a，b，c都是实数，则关于三个不等式：a＞b，a＞b+c，c＜0的逻辑关系的表述，下列正确的是（　　）
A．因为a＞b+c，所以a＞b，c＜0
B．因为a＞b+c，c＜0，所以a＞b
C．因为a＞b，a＞b+c，所以c＜0
D．因为a＞b，c＜0，所以a＞b+c
【解答】解：A、例如a＝5，b＝1，c＝2，满足条件a＞b+c，但是不满足结论c＜0，故本选项错误；
B、例如a＝5，b＝8，c＝﹣6，满足条件a＞b+c，c＜0，但是不满足结论a＞b，故本选项错误；
C、例如a＝5，b＝1，c＝2，满足条件a＞b，a＞b+c，但是不满足结论c＜0，故本选项错误；
D、∵c＜0，∴a+c＜a，即a＞a+c，
∵a＞b，∴a+c＞b+c，
∴a＞b+c，故本选项正确．
故选：D．
8．（4分）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是（　　）
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的
【解答】解：∵某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程：，
∴甲工作了4天，乙工作了x天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
∴可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，
故选：A．
9．（4分）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）

A． B． C．2 D．2
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，
∴△ABC的面积为＝，
S扇形BAC＝＝π，
∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，
故选：D．
10．（4分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1
【解答】解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分20分）
11．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是　　．

【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴cosA＝＝．
故答案为．
12．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为　70°　．

【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠B+∠C＝70°，
故答案为：70°．
13．（4分）已知，一次函数y＝x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c﹣d）﹣b（c﹣d）的值为　25　．
【解答】解：∵一次函数y＝x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），
∴点P（a，b）和Q（c，d）满足一次函数解析式y＝x+5，
∴b＝a+5，d＝c+5，
∴a﹣b＝﹣5，c﹣d＝﹣5，
∴a（c﹣d）﹣b（c﹣d）＝（a﹣b）（c﹣d）＝（﹣5）×（﹣5）＝25．
故答案是：25．
14．（4分）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　2　．

【解答】解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴AB•DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案为：2．
15．（4分）观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x+＝2n+5（n为正整数）的根，你的答案是　x＝n+4或x＝n+5　．
【解答】解：x+＝3，解得：x＝2或x＝1；
x+＝5，解得：x＝2或x＝3；
x+＝7，解得：x＝3或x＝4，
得到规律x+＝m+n的解为：x＝m或x＝n，
所求方程整理得：x﹣4+＝2n+1，
根据规律得：x﹣4＝n或x﹣4＝n+1，
解得：x＝n+4或x＝n+5．
故答案为：x＝n+4或x＝n+5
16．计算：（15y2﹣5y）÷5y＝　3y﹣1　．
【解答】解：原式＝15y2÷5y﹣5y÷5y
＝3y﹣1，
故答案为：3y﹣1．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（12分）（1）计算：（π﹣2020）0﹣+4sin45°﹣（）﹣1．
（2）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在如图的数轴上．

【解答】解：（1）原式＝1﹣2+4×﹣2
＝1﹣2+2﹣2
＝﹣1；

（2），
解不等式①，得x≤2．
解不等式②，得x＞﹣3．
所以该不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
表示在数轴上为：
．
18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°+1．
【解答】解：原式＝•＝，
∵a＝2sin60°+1，
∴a＝+1，
∴原式＝＝﹣．
19．（8分）如图，四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE，求证：∠CAD＝∠D．

【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠D．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形．
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC．（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长．

【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求；


（2）连接EB，EC，
由（1）知EB＝EC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝4，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴AE＝DE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，EB＝＝＝5．
21．（8分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求sinA+sinB的值．
【解答】解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，
根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；

（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b
∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，
∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，
∴4c＝5b，即b＝c，
∴a＝3c﹣3b＝c
∵sinA＝，sinB＝，
∴sinA+sinB＝＝＝．
22．（8分）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．
（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．
【解答】解：（1）25是“平方和数”．
∵25＝32+42，
∴A（25）＝3×4＝12；

（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，
∵A（k）＝，
∴ab＝，
∴2ab＝a2+b2﹣4，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，
∵a、b为正整数，k为两位数，
∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；
当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；
当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；
当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；
当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；
综上，k的值为：10或20或34或52或74．
23．（11分）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，
根据题意得，
解之得x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
答：今年A型车每辆2000元．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m
解之得m≥，
∵50﹣m≥0，
∴m≤50，
∴16≤m≤50
∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m＝17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
24．（11分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线BD上，△ABE的外接圆交BC于点F．连接AF交BD于点G．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若FH是该圆的切线，交线段CD于点H，且FH＝FG，求BF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝90°，
∴＝，AF为直径，
∴AE＝FE，∠AEF＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝AE；
（2）解：∵FH是该圆的切线，
∴AF⊥FH，
∴∠3+∠4＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠5＝∠4，
∴Rt△ABF∽Rt△FCH，
∴＝，
∵FH＝GF，
∴＝，
∵AD∥BF，
∴△ADG∽△FGB，
∴＝，
即＝+1，
∴＝+1，
而FC＝4﹣BF，
∴＝+1，
整理得BF2+4BF﹣16＝0，
解得BF＝﹣2+2或BF＝﹣2﹣2（舍去），
即BF的长为2﹣2．

25．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，且△ABC为等腰直角三角形．
（1）当A（﹣1，0），B（3，0）时，求a的值；
（2）当b＝﹣2a，a＜0时．
①求该二次函数的解析式（用只含a的式子表示）；
②在﹣1≤x≤3范围内任取三个自变量x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3，若以为y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，AB＝4，
设对称轴交AC于点H，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CH＝2，
∴当抛物线开口向上时，点C坐标为（1，﹣2），
设y＝a（x﹣1）2﹣2，
把B（3，0）代入，可得a＝，
∴当抛物线开口向下时，点C坐标为（1，2），
设y＝a（x﹣1）2+2，
把B（3，0）代入，可得a＝﹣
∴a的值为或﹣；

（2）①当b＝﹣2a时，y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a
∴点C（1，c﹣a），
∴点B（1+c﹣a，0），
∴a（c﹣a）2+c﹣a＝0，
∴（c﹣a）（ac﹣a2+1）＝0，
∵c﹣a≠0，
∴ac﹣a2+1＝0，
∴c＝a﹣，
∴y＝a（x﹣1）2﹣，
②∵﹣1≤x≤3，a＜0，
∴当x＝﹣1或3时，y有最小值为4a﹣，
当x＝1时，y有最大值﹣，
若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，
则2（4a﹣）＞﹣，
整理的8a2﹣1＜0，
∴﹣＜a＜0．