2021年北师大版数学九年级上册《特殊平行四边形》期末复习卷（含答案）

2021年北师大版数学九年级上册

《特殊平行四边形》期末复习卷

一、选择题

1.用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是(　　)

A.   B.   C.   D.

2.能判定一个四边形是菱形的条件是（     ）

A.对角线互相平分且相等

B.对角线互相垂直且相等

C.对角线互相垂直且对角相等

D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角

3.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（　　）

A．测量两条对角线，是否相等

B．测量两条对角线，是否互相平分

C．测量门框的三个角，是否都是直角

D．测量两条对角线，是否互相垂直

4.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分∠MON．

有以下几条几何性质：

①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”．

小明的作法依据是(　　)

A．①②      B．①③      C．②③          D．①②③

5.下列叙述，错误的是(　　)

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线相等的四边形是矩形

6.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（     ）

 A.选①②                    B.选②③                     C.选①③                     D.选②④

7.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于(　　)

A.4.5        B.5        C.6        D.9

8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A．         B．6         C．4          D．5

9.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有（     ）

  A.2对           B.3对           C.4对           D.5对

10.如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线AC=10，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，

则AE的长为(     )

A.8      B.      C.     D.

11.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)

A.4≥x＞2.4   B.4≥x≥2.4    C.4＞x＞2.4     D.4＞x≥2.4

12.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是（　　）

A.2           B.2       C.2         D.

二、填空题

13.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件      ，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)

14.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是_____

15.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为          ．

16.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED度数为　　.

17.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于          ．

18.如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=6，则AC=　   　.

三、解答题

19.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH.

求证：∠DHO=∠DCO.

20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.

(1)求证：△ABD≌△CAE.

(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论．

21.如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.

22.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N

（1）求证：AE=MN；

（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．

23.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点.

(1)求证：四边形DEBF是菱形；

(2)若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为　   　，并在图上标出此时点P的位置.

24.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.

(1)求证：△ABE≌△AGF；

(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．

25.如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是              ；

③请证明你的上述两猜想。

⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，

进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

参考答案

1.C.

2.C

3.C

4.C.

5.D.

6.B

7.A.

8.B  

9.C

10.C.  

11.D

12.A

13.答案为：OA=OC.

14.答案为：∠2=∠3

15.答案为：6；

16.答案为：150°.

17.答案为：75/16；

18.答案为：16

19.证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°.

∵DH⊥AB于H，

∴∠DHB=90°.

在Rt△DHB中，OH=OB，

∴∠OHB=∠OBH.

又∵AB∥CD，

∴∠OBH=∠ODC.

∴∠OHB=∠ODC.

在Rt△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，

在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO.

20. (1)证明：因为AB=AC，

所以∠B=∠ACB，

又因为AD是BC边上的中线，

所以AD⊥BC，即∠ADB=90°.

因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACB，

所以∠B=∠EAC.

因为CE⊥AE，所以∠CEA=90°，

所以∠ADB=∠CEA.

又AB=CA，

所以△ABD≌△CAE(A.A.S.)．

(2)解：AB∥DE且AB=DE.

证明：由△ABD≌△CAE可得AE=BD，

又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形，所以AB∥DE且AB=DE.

21.解：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形.

理由如下：

在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EF∥AC，且EF=AC，             

同理有GH∥AC，且GH=AC，

∴EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形.

EH∥BD且EH=BD，若AC=BD，则有EH=EF，

又因为四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形.             

即：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形.

22.（1）证明：连接EC．

∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，

∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，

∴四边形EMCN为矩形．

∴MN=CE．

又∵BD为正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中

∵，

∴△ABE≌△CBE（SAS）．

∴AE=EC．

∴AE=MN．

（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，

∵AE=2，∠DAE=30°，

∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，

∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．

23.(1)证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC=∠ADB=90°.

∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，

∴DE=AB=AE=BE.

同理，BF=DF，

∵平行四边形ABCD中，AB=CD，

∴DE=BE=BF=DF，

∴四边形DEBF是菱形；

(2)解：连接BF，

∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，

∴∠EF=60°，

∴△BEF是等边三角形，

∵M是BF的中点，

∴EM⊥BF.

则EM=2.

即PF+PM的最小值是2.

24.证明：

25.解：⑴①DE=EF；②NE=BF。

③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF

⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略)

此时，DE=EF.