【2022版】专题15三角函数求值问题-高三数学万能解题模板（原卷+解析版）

这是一份【2022版】专题15三角函数求值问题-高三数学万能解题模板（原卷+解析版），文件包含专题15三角函数求值问题-高三数学万能解题模板2022版原卷版docx、专题15三角函数求值问题-高三数学万能解题模板2022版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
专题15 三角函数求值问题

【高考地位】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.
方法一 切化弦，弦化切
万能模板
内 容
使用场景
一般三角求值类型
解题模板
第一步 利用同角三角函数的基本关系，将题设中的切化成弦的形式；
第二步 计算出正弦与余弦之间的关系；
第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.
例1若，，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）冲刺预测试题
【答案】C
【分析】
根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.
【详解】由知，，或，
则，

由知，，或，
则，
，
则
故选：C
【变式演练1】【安徽省淮北市2020届高三下学期二模】若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据齐次式化简得到，代入数据计算得到答案.
【详解】
，则，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了和差公式，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
【变式演练2】已知，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【来源】“陕西名校”2021届高三5月检测数学（理）试题
【答案】C
【分析】
利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】
解：因为，所以




故选：C
方法二 统一配凑
万能模板
内 容
使用场景
一类特殊三角求值类型
解题模板
第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；
第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；
第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.
例2【黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据，确定的范围，再根据，，得到，，然后由，利用两角和的余弦公式求解.
【详解】
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
【变式演练3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题
【答案】A
【分析】
令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；
【详解】
解：令，则，，所以
.
故选：A.
【变式演练4】【2020届江西省吉安、抚州、赣州市高三一模】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，可得，可得出，利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求得的值.
【详解】
设，则，
，．
故选：D.
【点睛】
本题考查利用三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.
方法三 公式活用
万能模板
内 容
使用场景
一般求值题
解题模板
第一步 观察已知式与待求式的特征；
第二步 选择合适的公式进行化简；
第三步 注意一些公式逆用的情况使用．
例3【2020届河北省张家口市高三下学期第二次模拟】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的关系可得，进一步通分化简得到原式为，再由余弦的二倍角公式结合诱导公式和特殊角的三角函数值可得到答案.
【详解】
故选：D
【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
【变式演练5】若，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题
【答案】A
【分析】
由二倍角公式得，化简得出或，再由三角恒等变换得出，再分别讨论，两种情况即可．
【详解】
由题可得
所以，即
所以或
又
所以当时，；
当时，．
故选：A
【变式演练6】【2020届广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】若，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.
【详解】
由三角函数的诱导公式，可得，
又由余弦的倍角公式，可得，
所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数9】已知，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路导引】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．
【解析】，得，即，解得或（舍去），又，故选A．
【专家解读】本题考查了三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记三角函数有关公式．
3.【2020年高考全国Ⅲ卷文数5】已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路导引】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值．
【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．故选：B．
【专家解读】本题考查了三角函数知值求值问题的解法，考查两角和与差的正余弦公式及其应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是灵活运用三角函数有关公式进行计算．
4.（2018年全国卷Ⅲ文）若sinα=13，则cos2α=
A． 89 B． 79 C． -79 D． -89
【答案】B
【解析】
分析：由公式cos2α=1-2sin2α可得.
详解：cos2α=1-2sin2α=1-29=79
故答案为B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
5. 【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
【答案】A
【解析】
试题分析：由，得或，所以，故选A．
考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．学*科网
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
6.【2017山东，文4】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】

【考点】二倍角公式
【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．网]
7.【2015高考重庆，理9】若，则（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C


【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.
【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．
8.（2018年全国卷II文）已知tan(α-5π4)=15，则tanα=__________．
【答案】32.
【解析】
分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得tanα=32.
详解：tan(α-5π4)=tanα-tan5π41+tanα⋅tan5π4=tanα-11+tanα=15，
解方程得tanα=32.
点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.
9.【2017北京理，12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.
【答案】
.
10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知α,β为锐角，tanα=43，cos(α+β)=-55．（1）求cos2α的值；（2）求tan(α-β)的值．
【答案】（1）-725；（2）-211
【解析】
分析：先根据同角三角函数关系得cos2α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为tanα=43，tanα=sinαcosα，所以sinα=43cosα．
因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=925，
因此，cos2α=2cos2α-1=-725．
（2）因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)．
又因为cos(α+β)=-55，所以sin(α+β)=1-cos2(α+β)=255，
因此tan(α+β)=-2．
因为tanα=43，所以tan2α=2tanα1-tan2α=-247，
因此，tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=-211．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
11．【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-35，-45）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．
【答案】（Ⅰ）45；（Ⅱ）-5665 或1665 .
【解析】
【详解】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sinα，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cosα，再根据同角三角函数关系得cos(α+β)，最后根据β=(α+β)-α，利用两角差的余弦公式求结果.
详解：（Ⅰ）由角α的终边过点P(-35,-45)得sinα=-45，
所以sin(α+π)=-sinα=45.
（Ⅱ）由角α的终边过点P(-35,-45)得cosα=-35，
由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα，
所以cosβ=-5665或cosβ=1665.
点睛：三角函数求值的两种类型：
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
【反馈练习】
1．已知()，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省永州市2021届高三高考押题卷数学试题（一）
【答案】C
【分析】
本题首先可根据得出，然后两边同时平方，得出，再然后根据得出，最后通过诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
两边同时平方，得，，
因为，所以，，
则，
，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角恒等变换的求值问题，考查的公式有两角差的正弦公式、同角三角函数关系、诱导公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】江苏省南通学科基地2021届高三高考数学全真模拟试题（五）
【答案】C
【分析】
利用诱导公式及二倍角公式计算即可．
【详解】
.
故选：C
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】专题5.8—三角恒等变换2-2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】C
【分析】
将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】
将式子进行齐次化处理得：

．
故选：C．
【点睛】
易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．已知为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题
【答案】A
【分析】
由正切的二倍角公式求得，再由可求.
【详解】
因为，
所以
.
故选：A.
5．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【来源】江苏省淮安市2021届高三下学期5月模拟数学试题
【答案】D
【分析】
根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到a的范围；利用二倍角公式化简b、c，结合函数单调性，可得到b、c的大致范围；从而，可以比较a、b、c的大小.
【详解】
因为，所以有，
即，所以；
因为，而，
所以有，所以，即；
因为，而
所以；
显然，，而，所以，即
所以
故选：D
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】安徽省宿州市泗县第一中学2021届高三下学期最后一卷文科数学试题
【答案】C
【分析】
先根据诱导公式计算出的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出的值.
【详解】
∵.
∴，
∴，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于诱导公式以及二倍角公式的熟练使用，要具备一定的转化技巧；本例还可以通过直接将变形进行求解：.
7．已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省商丘市第一高级中学2020-2021学年高三5月月考理科数学试题
【答案】D
【分析】
由已知条件可得，而，，由此可得①或②，从而可求出，然后代入中化简可得结果
【详解】
解：因为
所以，
因为，，
所以①或②，
由①解得，
由②有知不可能，得，，
所以.
故选：D
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】甘肃省天水市第一中学2020-2021学年高三下学期第九次模考数学（理）试题
【答案】B
【分析】
由已知利用两角差的余弦公式即可化简求解．
【详解】
解：因为，
则．
故选：．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】浙江省宁波市效实中学2021届高三下学期高考模拟测试数学试题
【答案】D
【分析】
利用角的变换，再根据两角差的余弦公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
10．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第九次考前适应性训练数学（理）试题
【答案】B
【分析】
由，，可求得，然后将代入中利用三角函数恒等变换公式化简可得结果
【详解】
因为，，所以，
因此，
故选：B.
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省安阳市2021届高三三模拟考试理科数学试题
【答案】C
【分析】
由二倍角公式化简计算即可得出结果.
【详解】
由可得，
则，又 ， ，
故，又，
解得：，
所以：.
故选：C.
12．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】贵州省毕节市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】D
【分析】
根据诱导公式，先得到，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.
【详解】
由可得，
所以.
故选：D.
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题
【答案】D
【分析】
根据，结合余弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由题意知，
又由.
故答案为：D.
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省红河州2021届高三三模数学（理）试题
【答案】A
【分析】
利用换元法令，再利用诱导公式和倍角公式，即可计算得到答案；
【详解】
令，则，，
所以，
故选：A.
【点睛】
利用三角恒等变换进行求值时，注意整体思想的应用.
15．设，，化简（ ）
A． B． C． D．
【来源】三角恒等变换2-2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】A
【分析】
直接利用三角恒等变换求解.
【详解】
因为，，
所以，
，
，
，
，
，
故选：A
16．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（理）试题
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式对条件进行化简得，再进行配角求值，即可得到答案；
【详解】
∵，
∴
即得，
化简得，
∵，∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即整体法的运用.
17．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古包头市2021届高三第二次模拟考试数学（文）试题
【答案】D
【分析】
根据两角差的余弦公式即可得出，然后即可求出的值.
【详解】
,

.
故选：D.
18．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安交通大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试理科数学试题
【答案】A
【分析】
利用两角和差公式和二倍角公式化简求值即可．
【详解】
因为，
所以，
即，
则，
.
故选：A
19．已知，若，则（ ）
A．或 B． C． D．
【来源】文科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）
【答案】B
【分析】
由正弦的二倍角公式得，再根据同角三角函数的关系可得，令，建立方程解之可得选项.
【详解】
由，可得，
所以，
令，所以，
即，解得或.又，所以，所以，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，所以，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.
20．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【来源】江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题
【答案】D
【分析】
将看成一个整体，将化简后代入即可的出答案.
【详解】
令，则，，

故选：D.
【点睛】
本题考查三角恒等变换.属于基础题.熟记二倍角公式与降次公式是解本题的关键.
21．已知角满足，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【来源】陕西省西安中学2021届高三下学期第九次模拟考试文科数学试题
【答案】A
【分析】
利用二倍角公式可得出关于的方程，由此可解得的值.
【详解】
，
可得，解得或.
故选：A.
22．已知，，则（ ）
A． B． C． D．1
【来源】宁夏回族自治区石嘴山市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】C
【分析】
根据正余弦倍角公式即可化简求解．
【详解】
由得

又因为，所以
则，故
故选：C
23．已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【来源】宁夏中卫市2021届高三第二次优秀生联考数学（理）试题
【答案】A
【分析】
根据三角的恒等变换公式即可求解．
【详解】
解：因为，
所以．
因为，
所以，即，
所以，
故选：A．
24.【九师联盟2018-2019学年高三押题信息卷】若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件求得的值，进而利用二倍角的正切公式求出，再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值.
【详解】
，，则.
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
25．【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】已知，则的结果为____.
【答案】
【解析】
【分析】
转化条件得，，求出后即可得解.
【详解】
，即，
即，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.
26．【辽宁省辽南协作校2020届高三（5月份)高考数学（理科)模拟】若，则_____.
【答案】-3
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简，可求出的值，将所求利用二倍角公式化简，再利用齐次式求出结果即可.
【详解】
因为，所以，则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数的二倍角公式，考查齐次式的应用，属于基础题.
27.【2020届重庆市第八中学高三6月三诊】若，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先把两边平方得到，利用弦切互化所得方程可以化成关于的方程结合，解出后可求的值．
【详解】
由可以得到，
故，
也就是，
整理得到，故或．
又，所以

故答案为：
【点睛】
本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.
28.【吉林省示范高中2020届高三第四次模拟】若，则____.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据两角和的正切公式，代入已知条件，即可求解.
【详解】
由，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要两角和的正切函数公式的应用，其中解答中熟记两角和的正切公式，正确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.