专题08 抛物线模型(原卷版)

这是一份专题08 抛物线模型(原卷版)，共12页。试卷主要包含了如图，过抛物线C，已知直线l，已知抛物线M，已知直线y＝k与抛物线C，已知抛物线E等内容，欢迎下载使用。
专题08　抛物线模型
抛物线秒杀小题常用结论
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　图(17)　　　　　　　　　　　　 　　　　图(18)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；如图(18)
③＋＝为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)
　　　　　　　　　
　图(19)　　　　　　　　　　　　 　　　　图(20)　
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　图(21)　　　　　　　　　　　　　　　 　　　图(22)　
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|MN|min＝
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图(23)
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为．
【例题选讲】
[例3]　(15)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．或　　　　　　　　D．或
答案　C　解析　如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．

(16)(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案　2　解析　法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
(17)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
答案　4　解析　[一般解法]　设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
(18)(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝________．
答案　6　解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF．

由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2．∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1．又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3．由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6．
(19)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)

A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　[一般解法]　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．

[应用结论]法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二　因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
(20)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6
答案　B　解析　[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．

法二　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
(21)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　[一般解法]　由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[应用结论]　由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
(22)过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　C　解析　解法1　设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
【对点训练】
23．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点
N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为(　　)
A．15°　　　　　　　　B．30°　　　　　　　　C．45°　　　　　　　　D．60°
24．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P，点A在抛物线上且|AP|＝
|AF|＝3，则直线l的斜率为(　　)
A．±1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．2
25．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，
若2＝，则实数k等于(　　)
A．±　　　　　　　　B．±1　　　　　　　　C．±　　　　　　　　D．±2
26．已知抛物线M：y2＝4x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，且
交抛物线的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为(　　)
A．3 　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
27．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k
的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
28．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则
＋＋＝________．
29．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与y轴交于点D，过点F作直线交抛物线E于A，B
两点，若AB⊥AD且|BF|＝|AF|＋4，则p的值为________．
30．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O
为坐标原点)时，|PF|＝________.
31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂
足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为________．
32．在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，
M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于(　　)
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
33．已知y2＝4x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y2＝4x于A，B，两点∠AFB
＝60°，则|AB|等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．4 　　　　　　　　D．3
34．过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________．
35．已知直线l过抛物线C：y2＝3x的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|
＝(　　)
A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．8
36．(2017·全国Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C
的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
37．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，
则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．
38．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l．若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，
则＝(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．5
39．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的
面积为________．
40．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF
的面积为(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2
41．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点
A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)
A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．8
42．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F ，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与
x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则△AOB的面积为(　　)
A．4　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．8
43．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的
面积为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
44．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3，
过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为(　　)
A．　　　　　　　　B． 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
45．已知抛物线x2＝2y的焦点为F，其上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足|AF|－|BF|＝2，则y1＋x－y2－x
＝(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
46．(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，
则·等于(　　)
A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8
47．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1，0)，当取得最小值时，直线AP
的方程为________．
48．已知点P(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB
的角平分线，则直线l一定过点(　　)
A．　　　　　　B．(1，0)　　　　　　　C．(2，0)　　　　　　　D．(－2，0)
49．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和动直线l：y＝kx＋b(k，b是参变量，且k≠0，b≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)两点，平面直角坐标系的原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，且kOA·kOB＝恒成立，则当k变化时，直线l经过的定点为________．
50．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点
的坐标为(　　)
A．(0，1)　　　　　　B．(0，2)　　　　　　C．(2，0)　　　　　　D．(1，0)
51．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与C交于A，B(A在x轴上方)两点．若＝
m，则m的值为________．
52．设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝λ(λ>0)，若|MF|
＝4，则λ等于(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．3
53．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为
M，若＝λ，则实数λ为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3
54．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、
C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为(　　)

A．4　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．8
55．如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设
A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4