专题04 椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型(原卷版)

这是一份专题04 椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)模型(原卷版)，共9页。试卷主要包含了椭圆＋圆求范围型，已知双曲线C1，已知双曲线E等内容，欢迎下载使用。
椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)型求范围的基本思路是借助椭圆、双曲线、抛物线或圆的相关知识，结合题设条件建立目标函数或构建不等式，转化为求函数的值域或解不等式求解．
【例题选讲】
[例9] (51)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 A 解析 由题设知，直线l：eq \f(x,－c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq \f(b2,a)，则圆的半径r＝eq \f(b2,a)．又圆与直线l有公共点，所以eq \f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq \f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(5),5)．又0＜e＜1，所以0＜e≤eq \f(\r(5),5)．故选A．
(52)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥eq \f(4\r(5),5)，则椭圆离心率e的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) 解析 依题意，知b＝2，kc＝2．设圆心到直线l的距离为d，则L＝2eq \r(4－d2)≥eq \f(4\r(5),5)，解得d2≤eq \f(16,5)．又因为d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，所以eq \f(1,1＋k2)≤eq \f(4,5)，解得k2≥eq \f(1,4)．于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(c2,b2＋c2)＝eq \f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq \f(4,5)，又由0＜e＜1，解得0＜e≤eq \f(2\r(5),5)．
(53)若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
答案 A 解析 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(b,2)＋c，,b ＜\f(b,2)＋c，))整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－c)2＞\f(1,4)(a2－c2)，,\r(a2－c2)＜2c，))解得eq \f(\r(5),5)＜e＜eq \f(3,5)．
【对点训练】
66．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆
C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) C．(1，2) D．(2，＋∞)
67．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2－4x＋y2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范
围是______．
68．若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1 (b>0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值
范围是( )
A．(1，2] B．[2，＋∞) C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
69．已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足eq \(AP,\s\up7(―→))⊥eq \(BP,\s\up7(―→))，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与动
点P的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，2] C．(1，eq \r(2)) D．(1，eq \r(2) ]
70．已知双曲线E： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 =1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近
线上存在点P，使得 QUOTE AP→ ⊥ QUOTE FP→ ，则E的离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[ QUOTE 324 ，＋∞) D．(2，＋∞)
71．已知圆(x－1)2＋y2＝eq \f(3,4)的一条切线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的
离心率的取值范围是( )
A．(1，eq \r(3)) B．(1，2) C．(eq \r(3)，＋∞) D．(2，＋∞)
72．已知直线l：y＝kx＋2过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F和虚轴的上端点B(0，b)，且与
圆x2＋y2＝8交于点M，N，若|MN|≥2eq \r(5)，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，eq \r(6)] B．(1，eq \f(\r(6),2)] C．[eq \f(\r(6),2)，＋∞) D．[eq \r(6)，＋∞)
73．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半
径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．
74．已知A，B，F分别是椭圆x2＋eq \f(y2,b2)＝1(00，b>0)，若在C1上存在点P，使得由点P向
C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．
2．椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)求值型
椭圆(双曲线)＋圆(抛物线)型求值的基本思路是借助椭圆、双曲线、抛物线或圆的相关知识，结合题设条件建立a，b，c的等量关系，转化为e的方程求解．
【例题选讲】
[例10] (54)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1(mn0，nb>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A．eq \f(4,5) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,5)
答案 B 解析 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，|F1F2|＝2c，根据正弦定理eq \f(|F1F2|,sin∠F1PF2)＝eq \f(2c,sin \f(π,3))＝2R，∴R＝eq \f(2\r(3),3)c，∵R＝4r，∴r＝eq \f(\r(3),6)c，由余弦定理，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，可得|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))，则由三角形面积公式eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|))·r＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋2c))·eq \f(\r(3),6)c＝eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－c2))·eq \f(\r(3),2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)．
(56)已知双曲线Γ： QUOTE x2a2 － QUOTE y2b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ (其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )
A． QUOTE 2133 B． C． D．
答案 D 解析 取双曲线渐近线为y＝ QUOTE ba x，圆(x－a)2＋y2＝8的圆心为(a，0)，半径r＝2，由题意知∠ACB＝ QUOTE π2 ，由勾股定理得|AB|＝＝4，又由 QUOTE OB→ ＝5 QUOTE OA→ 得|OA|＝ QUOTE 14 |AB|＝1，在△OAC和△OBC中，由余弦定理得cs∠BOC＝ QUOTE a2+1-82a = QUOTE 52+a2-810a ，解得a2＝13．根据圆心到直线y＝ QUOTE ba x的距离为2，有 QUOTE abc ＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝，故离心率为 QUOTE ca ＝ QUOTE 13313 ＝ QUOTE 133 ．故选D．
(57)已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \r(2)－1 C．eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(\r(2)－1,2)
答案 B 解析 法一：由抛物线方程知A(0，－1)，过点P作PB垂直准线于点B，如图．由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，则|PA|＝m|PF|＝m|PB|，即m＝eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,sin∠PAB)．若m最大，则sin∠PAB最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y得x2＝4kx－4，即x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，可得P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故选B．
法二：过点P作PB垂直准线于点B．设P(x，y)．因为A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，所以A(0，－1)，F(0，1)，则m＝eq \f(|PA|,|PF|)＝eq \r(\f((y＋1)2＋x2,(y－1)2＋x2))＝eq \r(\f((y＋1)2＋4y,(y－1)2＋4y))＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1)).当y＝0时，m＝1；当y>0时，m＝eq \r(1＋\f(4y,y2＋2y＋1))＝eq \r(1＋\f(4,y＋\f(1,y)＋2))≤eq \r(1＋\f(4,2＋2\r(y·\f(1,y))))＝eq \r(2)，当且仅当y＝1时取等号．当m取得最大值时，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2eq \r(2)．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2eq \r(2)＋2，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(2,2\r(2)＋2)＝eq \r(2)－1，故选B．
(58)已知F1，F2为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A．eq \r(5) B．2 C．eq \r(3) D．eq \f(\r(5),2)
答案 A 解析 如图，连接PF2，QF2．由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝eq \f(4,3)a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(5)，故选A．
【对点训练】
76．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
77．(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与
圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
78．以双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点，与y轴
交于P，Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )
A．eq \r(2) B．eq \r(3) C．2 D．eq \r(5)
79．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F．以原点O为圆心的圆与直
线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
80．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
81．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)(c>0)，过点F1作直线与圆x2＋y2＝eq \f(a2,4)相切于点
A，与双曲线的右支交于点B，若eq \(OB,\s\up7(→))＝2eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OF1,\s\up7(→))，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．eq \f(\r(10),2) C．eq \f(\r(7),2) D．eq \f(\r(5),2)
82．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，
PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q．若|AQ|＝eq \r(3)，E的离心率为________．
83．设F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝eq \f(a2,9)与线段PF交于A，B
两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(5),3) C．eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(17),5)
84．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是双曲线C右支上
一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．2 D．3
85．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是双曲线左、右两支上关
于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2eq \r(2)．M，N分别为AF2，BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A．eq \r(3) B．eq \r(6) C．eq \r(6)＋eq \r(3) D．eq \r(6)－eq \r(2)
86．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点与
双曲线C1的一个焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线C1的离心率为________．
87．双曲线：（，）的焦点为、，抛物线：的准线
与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A． B． C． D．