专题13 椭圆(抛物线)的标准方程模型(原卷版)

这是一份专题13 椭圆(抛物线)的标准方程模型(原卷版)，共8页。试卷主要包含了椭圆的标准方程，已知椭圆C，设F1，F2为椭圆C等内容，欢迎下载使用。
(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2px或x2＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)．
1．椭圆的标准方程
【例题选讲】
[例1] (1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( )
A．eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
答案 D 解析 依题意椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，椭圆C的长轴长与焦距之和为6,2a＋2c＝6，解得a＝2，c＝1，则b＝eq \r(3)，所以椭圆C的标准方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，故选D．
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq \r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 A 解析 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由点P(2，eq \r(3))在椭圆上，知eq \f(4,a2)＋eq \f(3,b2)＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).又c2＝a2－b2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，,c2＝a2－b2，,\f(c,a)＝\f(1,2)，))得a2＝8，b2＝6，故椭圆的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1．
(3)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 C 解析 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C.
(4) (2013·全国Ⅰ)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 D 解析 由题意知直线AB的斜率k＝eq \f(0－(－1),3－1)＝eq \f(1,2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))①－②整理得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，即k＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(2,－2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1．
(5)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B 解析 解法一 由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝eq \f(1,a)．在等腰三角形ABF1中，cs2θ＝eq \f(\f(a,2),\f(3a,2))＝eq \f(1,3)，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(2)，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故选B．
解法二 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝eq \f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，eq \(AF2,\s\up8(→))＝2eq \(F2B,\s\up8(→))，得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(b,2)))．由点B在椭圆上，得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1．故选B．
(6)设F1，F2分别是椭圆E：(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
答案 解析 设B在x轴上的射影为B0，由题意得，，得B0坐标为，即B点横坐标为．设直线AB的斜率为k，又直线过点F1(－c，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其两根为和c，由韦达定理得解之，得，∴b2＝1－．∴椭圆方程为．
【对点训练】
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq \f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程
为( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋y2＝1
4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和
为12，则椭圆G的方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(2,3)，过F2的直线l交C于A，
B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )
A．eq \f(x2,3)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1
6．已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|
＝3，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
7．中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5eq \r(2))的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为eq \f(1,2)，则该椭圆的
方程是( )
A．eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B．eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D．eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1
8．已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A． B． C． D．
9．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB
的面积为4eq \r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为______________．
10．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，
B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4eq \r(3)，且直线AM与AN的斜率之积为－eq \f(2,3)，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 B．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,3)＋y2＝1
11．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝eq \f(1,2)x的对称点在椭圆C上，则椭
圆C的方程为________________．
12．椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率为e1，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为e2，其中，a>b>0，eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，直
线l：x－y＋3＝0与椭圆C1相切，则椭圆C1的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
13．若椭圆的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是( )
A． B． C． D．
14．已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C
的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
2．抛物线的标准方程
【例题选讲】
[例2] (7)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
答案 B 解析 由抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大eq \f(1,2)，根据抛物线的定义可得eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，∴p＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝2x．故选B．
(8)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 C 解析 法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF))＝a，则由已知得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))＝2a，由抛物线定义，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BD))＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝|AF|＝3，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))＝3＋3a，∴2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AE))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))，即3＋3a＝6，从而得a＝1，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝3a＝3．∴p＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FG))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FC))＝eq \f(3,2)，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．

法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝eq \f(p,1－cs 60°)＝3，可知p＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
(9)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，则抛物线C2的方程为____________．
答案 y2＝eq \f(32,5)x 解析 由题意，知圆C1与抛物线C2的一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)．因为|AB|＝eq \f(8\r(5),5)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(m2＋n2)＝\f(8\r(5),5)，,m2＋(n－2)2＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(8,5)，,n＝\f(16,5)，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5)))．将点A的坐标代入抛物线方程得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(2)＝2p×eq \f(8,5)，所以p＝eq \f(16,5)，所以抛物线C2的方程为y2＝eq \f(32,5)x．
(10)已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝8x C．y2＝3x D．y2＝eq \r(3)x
答案 y2＝8x 解析 将双曲线方程化为标准方程得eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3a2)＝1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a．而由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y2＝8x．
【对点训练】
15．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两
点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
16．直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的
中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－12x B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x
17．已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的
渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
18．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，
2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
19．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且
该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．