2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考冲刺训练试卷（2）

这是一份2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考冲刺训练试卷（2），共44页。
2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考冲刺训练试卷（2）
一．选择题（共9小题）
1．在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为（参考等式：＝）（　　）

A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
2．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③；④若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，动点P从点B出发，沿BC向终点C运动，点P可以与点B、点C重合，连接PD，将△PCD沿直线PD折叠，设折叠后点C的对应点为点E，连接AE并延长交BC于点F，连接BE，则下列结论中：
①当∠PDC＝15°时，△ADE为等边三角形；
②当∠PDC＝15°时，F为BC的中点；
③当PB＝2PC时，BE⊥AF；
④当点P从点B运动到点C时，点E所走过的路径的长为π．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F、E、M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4；④连接EF，设FC、ED交于点O，若FE平分∠BFC，则O是FC的中点，且AE＝2﹣2，其中正确的个数有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（　　）

A．7 B．5 C． D．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝4，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，则AA′＝（　　）

A． B．2 C． D．
7．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）

A． B． C．1 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
9．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
二．填空题（共13小题）
10．如图，已知直线y＝x+3与坐标轴分别交于A、B两点，M是以C（6，0）为圆心，2为半径的圆上一动点，连接MA、MB，则△MAB面积的最大值是　 　．

11．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为　 　．

12．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为　 　．

13．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为　 　．

14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　 　．

15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为　 　．

16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 　 　．

17．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为　 　．

18．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②；③DP2＝PH•PB；④tan∠DBE＝2﹣．其中正确结论的序号是　 　．

19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

20．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 　 　．

21．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　 　．

22．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有　 　．

三．解答题（共1小题）
23．如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG•CE．


2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考冲刺训练试卷（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．在湖边高出水面50m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°，则飞艇底部P距离湖面的高度为（参考等式：＝）（　　）

A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
【分析】设AE＝x，则PE＝AE＝x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE＝50，OP′＝x+50，根据∠P′AE＝60°，得出P′E＝x，从而列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设AE＝x，在Rt△AEP中∠PAE＝45°，则∠P＝45°，
∴PE＝AE＝x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE＝50m，
∴OP′＝OP＝PE+OE＝x+50，
∵∠P′AE＝60°，
∴P′E＝tan60°•AE＝x，
∴OP′＝P′E﹣OE＝x﹣50，
∴x+50＝x﹣50，
解得：x＝50（+1）（m），
∴PO＝PE+OE＝50（+1+50＝50+100（m），
即飞艇距离湖面的高度是（50+100）m．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
2．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③；④若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，可判断②；由垂线段最短，可得当CF⊥DF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，可判断④；由连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE＝（AM+CD），由“AAS”可证△APE≌△ENF，可得AP＝NE＝AD，即可求AM＝2DG＝2×＝DF，可判断③，即可求解．
【解答】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，

∵点E是CM的中点，
∴ME＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，
∴△AME≌△HCE（AAS），
∴AE＝EH，
又∵∠ADH＝90°，
∴DE＝AE＝EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴AE＝DE＝EF，故①正确；
∵AE＝DE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，
∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，
∴∠ADF＝135°，
∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；
如图，连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，

∵EP⊥AD，FN⊥EP，∠ADC＝90°，
∴四边形PDGN是矩形，
∴PN＝DG，∠DGN＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值，
∵CD＝2，∠CDF＝45°，
∴CF的最小值＝＝，故④正确；
∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD，
∴AM∥PE∥CD，
∴，
∴AP＝PD，
∴PE是梯形AMCD的中位线，
∴PE＝（AM+CD），
∵∠FDC＝45°，FN⊥CD，
∴∠DFG＝∠FDC＝45°，
∴DG＝GF，DF＝DG，
∵∠AEP+∠FEN＝90°，∠AEP+∠EAP＝90°，
∴∠FEN＝∠EAP，
又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°，
∴△APE≌△ENF（AAS），
∴AP＝NE＝AD，
∵PE＝（AM+CD）＝NE+NP＝AD+NP，
∴AM＝NP＝DG，
∴AM＝2DG＝2×＝DF，
∴，故③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，梯形中位线的定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．如图，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，动点P从点B出发，沿BC向终点C运动，点P可以与点B、点C重合，连接PD，将△PCD沿直线PD折叠，设折叠后点C的对应点为点E，连接AE并延长交BC于点F，连接BE，则下列结论中：
①当∠PDC＝15°时，△ADE为等边三角形；
②当∠PDC＝15°时，F为BC的中点；
③当PB＝2PC时，BE⊥AF；
④当点P从点B运动到点C时，点E所走过的路径的长为π．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意可得△ADE为等边三角形，因此可判断①②，由E点所走过的路径是以D为圆心，CD为半径的圆可判断④．由沿直线PD折叠得到△DPE可得CE的长，根据相似可得EM，BM的长，以B点为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，可求AE，BE解析式，根据k1×k2＝﹣1，两直线垂直，可判断③．
【解答】解：∵∠PDC＝15°且将△PCD沿直线PD折叠得到△DPE
∴，CD＝DE，∠EDP＝∠CDP＝15°即∠EDC＝30°
∴∠ADE＝60°且AD＝DE
∴△ADE为等边三角形
∴AE＝AD，∠DAE＝60°
∴∠BAF＝30°
∴BF＝AF且AF＞AE
故①正确，②错误
∵DE是定值3，
∴点E所走过的路径是以D为圆心，DC长为半径的圆
∴点E所走过的路径＝×2π×3＝π
故④正确

连接EC交DP于N，作EM⊥BC
∵BP＝2PC
∴BP＝2，PC＝1
∴由勾股定理得：DP＝
∵×DC×PC
∴CN＝
∵将△PCD沿直线PD折叠得到△DPE
∴CE⊥DP，CE＝
∵∠CDP+∠DCN＝90°，∠PCN+∠DCN＝90°
∴∠CDP＝∠PCN，∠DCP＝∠CME＝90°
∴△CEM∽△DCP
∴
∴CM＝1.8，EM＝0.6
∴BM＝1.2
以B点为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系
∴A（0，3），E（1.2，0.6）
∴可得BE解析式y＝x，
AE解析式y＝﹣2x+3
∵＝﹣1
∴AE⊥BE
故③正确
故选：C．
【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是会运用直角坐标系中，两直线的k1，k2关系证明垂直．
4．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F、E、M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF、EC、FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4；④连接EF，设FC、ED交于点O，若FE平分∠BFC，则O是FC的中点，且AE＝2﹣2，其中正确的个数有（　　）个．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①正确．如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．想办法证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可．
②正确．如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝x，构建方程即可解决问题．
③正确．如图3中，连接EC，CF，当EF＝CE时，设AE＝AF＝m，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
④正确．如图4中，当OF＝OC时，设AE＝AF＝n．根据tan∠CFD＝tan∠EDA，构建方程即可解决问题．
【解答】解：①如图1中，连接AM，延长DE交BF于J．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD．∠DAE＝∠BAF＝90°，
∵AE＝AF，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴∠ABF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠AED＝90°，∠AED＝∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ＝90°，
∴∠BJE＝90°，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA＝EM，DM＝DA，
∴DE垂直平分线段AM，
∴BF∥AM，故①正确，

②如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA＝∠DEM＝67.5°，

在MD上取一点J，使得ME＝MJ，连接EJ，
∵∠MEJ＝∠MJE＝45°，
∴∠JED＝∠JDE＝22.5°，
∴EJ＝JD，设AE＝EM＝MJ＝x，则EJ＝JD＝x，
则有x+x＝4，
∴x＝4﹣4，
∴AE＝4﹣4故②正确，

③如图3中，连接EC，CF，当EF＝CE时，设AE＝AF＝m，

则有：2m2＝42+（4﹣m）2，
∴m＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃），
∴AE＝4﹣4，故③正确．
④如图4中，∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF＝45°，
∵EF平分∠BFC，
∴∠EFB＝∠EFC，
∴∠OFD＝45°﹣∠EFC，∠ADE＝∠ABF＝45°﹣∠EFB，
∴∠OFD＝∠ODF，
∴OF＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴OC＝OD，
∴OF＝OC，
∴OF＝OC，
设AE＝AF＝n，
∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF＝45°
∵∠EFB＝∠EFC，
∴∠OFD＝45°﹣∠EFC，∠ADE＝∠ABF＝45°﹣∠EFB，
∴∠OFD＝∠ODF，
∴tan∠CFD＝tan∠EDA，
，＝，
∴n＝2﹣2或﹣2﹣2（舍弃），
∴AE＝2﹣2，故④正确．
故选：A．

【点评】本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（　　）

A．7 B．5 C． D．
【分析】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP＝PA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
【解答】解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．

∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴＝，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴＝＝，
∴PM＝PA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM＝＝5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝4，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，则AA′＝（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据旋转的性质得到∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，推出△B′CD为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
则BE＝AD＝4，DE＝7，
设B′C＝BC＝x，
则DC＝x，
∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝49+（x﹣4）2，
解得：x＝5（负值舍去），
∴BC＝5，AC＝，
在AB上取一点F，使得BF＝BC＝5，连接DF，
则△DFC∽△CB′B，且相似比为：1，
∴AF＝7﹣5＝2，
∵AD＝4，
∴DF＝2，
∴BB′＝＝，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，
∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，
∴△A′CA∽△B′CB，
∴＝，
∴AA′＝×＝，
故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线分线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴，解得，CD＝；
∵CD∥AO，
∴＝，即＝，解得，PO＝
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称﹣﹣﹣最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24
【分析】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝18，推出S△EOF＝S△AOE＝9，可得S△FME＝S△EOF＝3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．

∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM＝AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM＝，
∴•ON•AN＝•OM•FM，
∴ON＝OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME＝OE，
∴S△FME＝S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝18，
∵AF＝EF，
∴S△EOF＝S△AOE＝9，
∴S△FME＝S△EOF＝3，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝9﹣3＝6＝，
∴k＝12．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；
②PM+PN＝AC；
③PE2+PF2＝PO2；
④△POF∽△BNF；
⑤点O在M、N两点的连线上．
其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．③④⑤
【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是等腰直角三角形，故④错误；
连接OM，ON，
∵OA垂直平分线段PM．OB垂直平分线段PN，
∴OM＝OP，ON＝OP，
∴OM＝OP＝ON，
∴点O是△PMN的外接圆的圆心，
∵∠MPN＝90°，
∴MN是直径，
∴M，O，N共线，故⑤正确．
故选：B．

【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．
二．填空题（共13小题）
10．如图，已知直线y＝x+3与坐标轴分别交于A、B两点，M是以C（6，0）为圆心，2为半径的圆上一动点，连接MA、MB，则△MAB面积的最大值是　20　．

【分析】过点C作CD⊥AB垂足为D，延长DC交圆C与点M，令x＝0可求得点B的坐标，令y＝0可求得点A的坐标，然后利用勾股定理可求得AB＝5，然后证明△ABO∽△ACD，由相似三角形的性质可求得DC＝6，从而得到DM＝8，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：如图所示：过点C作CD⊥AB垂足为D，延长DC交圆C与点M．

∵将x＝0代入y＝x+3得；y＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
∴OB＝3．
∵将y＝0代入y＝x+3得；＝0，解得：x＝﹣4．
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
∴OA＝4．
在Rt△ABO中，AB＝＝5．
∵点C的坐标为（6，0），
∴AC＝10．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠AOB＝90°．
又∵∠DAC＝∠BAO，
∴△ABO∽△ACD．
∴，即．
解得：DC＝6．
∵圆C的半径为2，
∴MD＝6+2＝8．
∴＝＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、一次函数的图象和性质，掌握本题辅助线的作法是解题的关键．
11．如图，矩形OABC的边OC在y轴上，边OA在x轴上，C点坐标为（0，3），点D是线段OA上的一个动点，连接CD，以CD为边作矩形CDEF，使边EF过点B．连接OF，当点D与点A重合时，所作矩形CDEF的面积为12．在点D的运动过程中，当线段OF有最大值时，则点F的坐标为　（，+3）　．

【分析】连接BD，由矩形的性质得出S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，得出S矩形OABC＝12，由OC＝3，得出OA＝4，由∠CFB＝90°，C、B均为定点，F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，则OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，由勾股定理得出方程求解即可得出结果．
【解答】解：当点D与点A重合时，如图：
∵S矩形CDEF＝2S△CBD＝12，S矩形OABC＝2S△CBD，
∴S矩形OABC＝12，
∵C点坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∴OA＝4，
∵∠CFB＝90°，C、B均为定点，
∴F可以看作是在以BC为直径的圆上，取BC的中点M，
则MF＝BC＝2，OM＝＝，
∴OF的最大值＝OM+BC＝+2，即O、M、F三点共线，
设点F的横坐标为2x，则纵坐标为3x，
∴（2x）2+（3x）2＝（+2）2，
解得：x＝（负值舍去）
∴2x＝+2，3x＝+3
∴点F坐标（，+3）
故答案为：（，+3）

【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质以及最值问题等知识；熟练掌握矩形的性质，求出矩形OABC的面积是解题的关键．
12．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y＝经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为　6　．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E．
∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴CE∥AB，
∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C，
∴CE为Rt△OAB的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴＝．
∵双曲线的解析式是y＝，即xy＝k
∴S△BOD＝S△COE＝|k|，
∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|，
由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2k﹣k＝18，
k＝12，
S△BOD＝S△COE＝k＝6，
故答案为：6．

【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积是|k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
13．以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为　　．

【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可求得点E的坐标；延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，由勾股定理求得点F的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案．
【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．
∵CD＝BD，
∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，
∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，
∴AE＝EB，
∵C′（2，4），
∴AE＝EB＝4，
在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，
∴m2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴E（5，4），
∴B（5，8），则BC＝5，
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
∴C′G＝2，CG＝4，
∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，
∴FG＝，
∴CF＝4﹣＝，
∴tan∠CBF＝＝＝．
故答案是：．

【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　﹣　．

【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．

【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DCH≌△DBG，得到S四边形DGCH＝S△BDC是关键．
15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF＝DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为　9　．

【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
【解答】解：作CH⊥AB于点H，
∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴＝，
∵DF＝DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是，
故答案为：9．

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为 　3﹣2　．

【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．
【解答】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．

∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，
∴OM＝AD＝2，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝2，
∵CD＝4，
∴CG＝2，
∴OG＝2OD•cos30°＝2，GF＝，OF＝3，
∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．
【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为　．　．

【分析】根据已知条件证明△ABD≌△BCE，再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，此时∠AOB＝120°，OA＝，根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∴在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，
如图，

此时∠AOB＝120°，OA＝＝，
所以弧AB的长为：＝．
则点F的运动路径的长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查了轨迹、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②；③DP2＝PH•PB；④tan∠DBE＝2﹣．其中正确结论的序号是　①③④　．

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴＝，故②错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，
∵∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴，
∴PD2＝PH•CD，
∵PB＝CD，
∴PD2＝PH•PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，
∴∠PCD＝30°
∴CM＝PN＝PB•sin60°＝4×＝2
PM＝PC•sin30°＝2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP＝∠DPM，
∴∠DBE＝∠DPM，
∴tan∠DBE＝tan∠DPM＝＝＝2﹣，故④正确；
故答案为：①③④．


【点评】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM及PN的长．
19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝120°，AB＝2，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　3﹣π　．（结果保留π）

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，可证△BEO，△DFO是等边三角形，由等边三角形的性质可求∠EOF＝60°，由扇形的面积公式和面积和差关系可求解．
【解答】解：如图，设以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与AB，AD相交于E，F，连接EO，FO，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∴BO＝DO＝，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，
∴BO＝OE＝OD＝OF，
∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝60°，
∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）＝2×（×12﹣×3﹣×3﹣）＝3﹣π，
故答案为：3﹣π．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
20．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 　3　．

【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB∥CD
∴∠EDP＝∠DAB＝60°，
∴sin∠EDP＝
∴EP＝PD
∴PB+PD＝PB+PE
∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，
∵sin∠A＝＝
∴BE＝3
故答案为：3
【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，
21．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【解答】解：连接EG，
∵EG是切点，
∴EG过⊙O，
∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，
∴AE＝AB，EG＝BC，
根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．
∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，
∴sin∠MFG＝．
故答案为：．

【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
22．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有　①②③⑤　．

【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；
②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；
③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；
④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；
⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
∵在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理，△BPN是等腰直角三角形，
当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM＝PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP＝BP，即P是AB的中点，
故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点评】此题主要考查了正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟记各性质并准确识图是解决问题的关键．
三．解答题（共1小题）
23．如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG•CE．

【分析】（1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；
（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；
（3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
【解答】（1）解：由题意可得：BO＝4cm，t＝＝2（s）；

（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A＝45°，
∴AO＝OH＝3cm，
∴AD＝AO﹣DO＝（3﹣3）cm；

（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF＝90°，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，
又∵∠FCG＝∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴＝，
∴CF2＝CG•CE．


【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键．
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