2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷 解析版

这是一份2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了四个实数0，﹣1，中最小的数是，下列运算正确的是，下列命题正确的个数有等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷（47）
一．选择题（共10小题）
1．四个实数0，﹣1，中最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
2．盐田区一季度经济逆势飘红，地区生产总值约为15200000000元，同比增长1.1%．数字15200000000用科学记数法表示为（　　）
A．15.2×109 B．1.52×1010 C．1.52×1011 D．0.152×1012
3．下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（　　）
A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是8 D．平均数是10
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a6÷a3＝a3
6．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝34°．则∠BHQ等于（　　）

A．73° B．34° C．45° D．30°
7．下列命题正确的个数有（　　）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：m2（x﹣3）+（3﹣x）＝　 　．
12．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　 　．
13．定义新运算：对于任意有理数a、b都有a⊗b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊗5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则4⊗x＝13，则x＝　 　．
14．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　 　．

15．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为　 　．

三．解答题（共7小题）
16．计算：（﹣）﹣1﹣+4cos30°﹣||
17．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
18．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝　 　，n＝　 　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　 　度；
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　 　名．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接AD、CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

20．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．

21．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．
（1）⊙O的半径为　 　．
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．

22．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），求MN最大值．


2021年广东省深圳市罗湖区布心中学中考数学模拟试卷（47）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．四个实数0，﹣1，中最小的数是（　　）
A．0 B．﹣1 C． D．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜，
∴四个实数中最小的数是﹣1．
故选：B．
2．盐田区一季度经济逆势飘红，地区生产总值约为15200000000元，同比增长1.1%．数字15200000000用科学记数法表示为（　　）
A．15.2×109 B．1.52×1010 C．1.52×1011 D．0.152×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：15200000000＝1.52×1010，
故选：B．
3．下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
4．为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（　　）
A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是8 D．平均数是10
【分析】根据极差、众数、中位数及平均数的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：A．极差＝14﹣7＝7，结论错误，故A不符合题意；
B．众数为7，结论正确，故B符合题意；
C．中位数为8.5，结论错误，故C不符合题意；
D．平均数是9，结论错误，故D不符合题意；
故选：B．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a6÷a3＝a3
【分析】分别根据算术平方根的定义，负整数指数幂的定义，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故本选项不合题意；
D、a6÷a3＝a3，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝34°．则∠BHQ等于（　　）

A．73° B．34° C．45° D．30°
【分析】由折叠可得，∠DGH＝∠EGH＝∠DGE＝73°，再根据AD∥BC，即可得到∠BHG＝∠DGH＝73°，根据EG∥QH，即可得到∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，再根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：∵∠AGE＝34°，
∴∠DGE＝146°，
由折叠可得，∠DGH＝∠EGH＝∠DGE＝73°，
∵AD∥BC，
∴∠BHG＝∠DGH＝73°，
∵EG∥QH，
∴∠QHG＝180°﹣∠EGH＝107°，
∴∠BHQ＝∠QHG﹣∠BHG＝107°﹣73°＝34°．
故选：B．
7．下列命题正确的个数有（　　）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用完全平方式的定义、平行四边形的判定、中点四边形及黄金分割的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于±10，故错误；
②由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，正确；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形，错误；
④黄金分割比的值为≈0.618，故错误，
正确的只有1个，
故选：B．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．

由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；
故选：B．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可，利用反证法证明④不成立即可．
【解答】解：∵AG∥FC且AG＝FC，
∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；
∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND
在△ADE和△BAF中，
∵，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AEM＝90°
∴∠EAM+∠AEM＝90°
∴∠AME＝90°
∴∠GND＝90°
∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．
∵G点为AD中点，
∴GN为△ADM的中位线，
即CG为DM的垂直平分线，
∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误；
在△GDC和△GMC中，
∵，
∴△GDC≌△GMC（SSS），
∴∠CDG＝∠CMG＝90°，
∠MGC＝∠DGC，
∴GM⊥CM，故①正确；
∵∠CDG＝∠CMG＝90°，
∴G、D、C、M四点共圆，
∴∠AGM＝∠DCM，
∵CD＝CM，
∴∠CMD＝∠CDM，
在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，
∴DM＜AD，
∴DM＜CD，
∴∠DMC≠∠DCM，
∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：m2（x﹣3）+（3﹣x）＝　（x﹣3）（m+1）（m﹣1）　．
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m2（x﹣3）﹣（x﹣3）
＝（x﹣3）（m2﹣1）
＝（x﹣3）（m+1）（m﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（m+1）（m﹣1）．
12．某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是　　．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有9种等可能结果，其中抽到同一类书籍的有3种结果，
所以抽到同一类书籍的概率为＝，
故答案为：．
13．定义新运算：对于任意有理数a、b都有a⊗b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊗5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则4⊗x＝13，则x＝　1　．
【分析】利用题中的新定义列出所求式子，解一元一次方程即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：4（4﹣x）+1＝13，
去括号得：16﹣4x+1＝13，
移项合并得：4x＝4，
解得：x＝1．
故答案为：1．
14．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　2　．

【分析】分别求出矩形ODCE与△OAB的面积，即可求解．
【解答】解：一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令x＝0，则y＝k，令y＝0，则x＝﹣k，
故点A、B的坐标分别为（﹣k，0）、（0，k），
则△OAB的面积＝OA•OB＝k2，而矩形ODCE的面积为k，
则k2＝k，解得：k＝0（舍去）或2，
故答案为2．
15．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为　15　．

【分析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．
【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，
∴AF⊥DE，AE＝EF，
∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，
∴B，E，N，F四点共圆，
∴∠BNF＝∠BEF，
∴tan∠BEF＝，
设BF＝x，BE＝2x，
∴EF＝＝3x，
∴AE＝3x，
∴AB＝5x，
∴AB＝BF．
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．
故答案为：15．
三．解答题（共7小题）
16．计算：（﹣）﹣1﹣+4cos30°﹣||
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4×﹣（2﹣）
＝﹣2﹣2+2﹣2+
＝﹣4+．
17．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝（a+1）2
＝a2+2a+1，
∵a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴a2﹣2a﹣3＝0，
∴a＝3或a＝﹣1，
∵a2+a≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝3，
∴原式＝9+6+1＝16．
18．以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）m＝　50　，n＝　10　．
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　72　度；
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　180　名．
【分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；
（2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
【解答】解：（1）m＝15÷30%＝50，
n%＝5÷50×100%＝10%，
故答案为：50，10；
（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）600×30%＝180（名），
即估计“总线”专业的毕业生有180名，
故答案为：180．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（m，6），过B作BD⊥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接AD、CD．
（1）求b，k的值；
（2）求△ACD的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式中求得b，把C点坐标代入求得的一次函数解析式求得m，得出C点坐标，再把求得的C点坐标代入反比例函数解析式中求得k；
（2）由一次函数解析式求得其函数图象与y轴的交点B的坐标，再根据BD⊥y轴，得D点的纵坐标与B点纵坐标相等，将其纵坐标代入反比例函数解析式求得D点坐标，再根据三角形的面积公式求得△ABD和△BCD的面积，再求其和便可为△ACD的面积；
（3）分两种情况：∠BAE＝90°；∠ABE＝90°．利用相似三角形的知识进行解答．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+b经过点A（﹣2，0），
∴﹣4+b＝0，
∴b＝4，
∴直线y＝2x+b为y＝2x+4，
把C（m，6）代入y＝2x+4中，得6＝2m+4，
解得，m＝1，
∴C（1，6），
把C（1，6）代入反比例函数y＝中，得k＝6；
（2）令x＝0，得y＝2x+4＝4，
∴B（0，4），
∵BD⊥y轴于B，
∴D点的纵坐标为4，
把y＝4代入反比例函数y＝＝中，得x＝，
∴D（，4），
∴，
∴4+×（6﹣4）＝4.5；
（3）当∠BAE＝90°时，如图1，

∵∠BAE＝∠BOA＝90°，∠ABE＝∠OBA，
∴此时△AOB∽△EAB，
∴，即，
∴BE＝5，
∴OE＝1，
∴E（0，﹣1），
当∠ABE＝90°时，如图2，

∵∠ABE＝∠AOB＝90°，∠OAB＝∠BAE，
∴△AOB∽△ABE，
∴，
∴，
∴OE＝AE﹣AO＝10﹣2＝8，
∴E（8，0），
故存在点E（除点O），使得△ABE与△AOB相似，其坐标为E（8，0）或（0，﹣1）．
20．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长　（24﹣3x）　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．

【分析】（1）设花圃的宽AB为x米，由矩形面积S＝长×宽，列出BC长的解析式即可；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长变为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．
故答案为（24﹣3x）；

（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米．
21．如图1，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．
（1）⊙O的半径为　4　．
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）如图2，作⊙O的直径AE，连接DE交BC于点F，连接AF，求AF的长．

【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝30°，根据等边三角形的性质解答；
（2）连接OC，证明四边形OBAC为菱形，得到OC∥BD，根据切线的判定定理证明结论；
（3）连接BE，根据垂径定理得到OA⊥BC，根据含30°直角三角形的性质、勾股定理计算，求出CD、BE，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】（1）解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
故答案为：4；
（2）证明：如图1，连接OC，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴四边形OBAC为菱形，
∴OC∥BD，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线；
（3）解：如图2，连接BE，
∵＝，
∴OA⊥BC于H，
∵∠ABC＝30°，
∴AH＝AB＝2，
由勾股定理得，BH＝＝2，
∴BC＝2BH＝4，
在Rt△BDC中，∠ABC＝30°，
∴CD＝BC＝2，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠EBA＝90°，
∴BE＝AB•tan∠BAE＝4，
∵∠DBE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥BE，
∴＝＝2，
∠DAC＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴DA＝AC＝AB，
∴＝，
∴AF∥CD，
∴＝＝，即＝，
解得，AF＝．


22．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），求MN最大值．

【分析】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y＝﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m＝2时，MN有最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：
y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，

作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E′（2，3），
∴E′F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，
∴G（1，0）；
（3）如图2，

∵A（1，4），B（3，0），
∴AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3A，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，MN有最大值．最大值为，