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2020年广东省深圳市罗湖区深圳中学中考三模数学试卷
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这是一份2020年广东省深圳市罗湖区深圳中学中考三模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 4 的算术平方根是
A. −2B. 2C. ±2D. 2
2. 下列运算正确的是
A. a−bb−a=a2−b2B. 2x32=2x6
C. x÷1y×y=xD. x+32=x2+6x+9
3. 2019 年世界超高清视频产业发展大会在广州召开，到 2022 年我国超高清视频产业规模将超过 4 万亿元．4 万亿用科学记数法表示为
A. 4×104B. 4×108C. 4×1012D. 4×1013
4. 如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A. 主视图B. 左视图
C. 俯视图D. 主视图和左视图
5. 下列是假命题的是
A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B. 垂直于弦的直径必平分弦
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
D. 顺次连接平行四边形的四边中点，得到的四边形是平行四边形
6. 一组数据 1，4，5，2，8 ，它们的数据分析正确的是
A. 平均数是 5B. 中位数是 4C. 方差是 30D. 极差是 6
7. 罗湖区对一段全长 2000 米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率 25%，就可以提前 5 天完成修路任务．设原计划每天修路 x 米，则根据题意可得方程
A. 2000x−20001+25%x=5B. 2000x−200025%x=5
C. 20001+25%x−2000x=5D. 200025%x−2000x=5
8. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是 ∠AOB，∠COD，若 ∠AOB 和 ∠COD 互补，且 AB=2，CD=4，则 ⊙O 的半径是
A. 3B. 2C. 5D. 4
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−24x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，直线 l2:y=kxk≠0 与直线 l1 在第一象限交于点 C．若 ∠BOC=∠BCO，则 k 的值为
A. 23B. 22C. 2D. 22
10. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以 550 元/块的价格售出 60 块，第二个月起降价，以 500 元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了 5.5 万元．这批电话手表至少有
A. 103 块B. 104 块C. 105 块D. 106 块
11. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是
A. b2<4acB. ac>0C. 2a−b=0D. a−b+c=0
12. 如图，E 为正方形 ABCD 边 AB 上一动点（不与 A 重合），AB=4，将 △DAE 绕着点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △BAF，再将 △DAE 沿直线 DE 折叠得到 △DME．下列结论：①连接 AM，则 AM∥FB；②连接 FE，当 F，E，M 共线时，AE=42−4；③连接 EF，EC，FC，若 △FEC 是等腰三角形，则 AE=43−4；④连接 EF，设 FC，ED 交于点 O，若 FE 平分 ∠BFC，则 O 是 FC 的中点，且 AE=25−2，其中正确的个数有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解 x3−6x2+9x= ．
14. 在 −4，−2，1，2 四个数中，随机取两个数分别作为函数 y=ax2+bx+1 中 a，b 的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．
15. 如图，Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，双曲线 y=kxx>0 经过斜边 OA 的中点 C，与另一直角边交于点 D．若 S△OCD=9，则 S△OBD 的值为 ．
16. 如图，矩形 OABC 的边 OC 在 y 轴上，边 OA 在 x 轴上，C 点坐标为 0,3，点 D 是线段 OA 上的一个动点，连接 CD，以 CD 为边作矩形 CDEF，使边 EF 过点 B．连接 OF，当点 D 与点 A 重合时，所作矩形 CDEF 的面积为 12．在点 D 的运动过程中，当线段 OF 有最大值时，则点 F 的坐标为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：18−2sin45∘−−12−2+π−30．
18. 解不等式组 2x−2≤4x−3,2x−5<1−x, 并将解集在数轴上表示出来．
19. 深圳某校初三为提高学生长跑成绩，把每天的课间操改为“环校跑”，现测得初三（1）班全体同学的成绩如图，请你根据提供的信息，解答下列问题：
（1）初三（1）班共有 人；
（2）在扇形统计图中，“良好”所在扇形圆心角等于 度；
（3）请你补充条形统计图；
（4）若该年级共有 650 名学生，请你估计该年级喜欢“不及格”的学生人数约是 人．
20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F；再分别以点 B，F 为圆心，大于 12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形 ABEF 是菱形；
（2）若菱形 ABEF 的周长为 16，AE=43，求 ∠C 的大小．
21. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在 2014 年图书借阅总量是 7500 本，2016 年图书借阅总量是 10800 本．
（1）求该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率；
（2）已知 2016 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2017 年达到 1440 人，如果 2016 年至 2017 年图书借阅总量的增长率不低于 2014 年至 2016 年的年平均增长率，那么 2017 年的人均借阅量比 2016 年增长 a%，求 a 的值至少是多少?
22. 如图，点 P 在曲线 y=kx（x<0）上，PA⊥x 轴于点 A，点 B 在 y 轴正半轴上，PA=PB，OA，OB 的长是方程 t2−8t+12=0 的两个实数根，且 OA>OB，点 C 是线段 PB 延长线上的一个动点，△ABC 的外接圆 ⊙M 与 y 轴的另一个交点是 D．
（1）填空：OA= ；OB= ；k= ；
（2）设点 Q 是 ⊙M 上一动点，若圆心 M 在 y 轴上且点 P，Q 之间的距离达到最大值，则点 Q 的坐标是 ；
（3）试问：在点 C 运动的过程中，BD−BC 的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．
23. 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2−2ax+32 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的顶点为 C，直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点．
（1）如图 1，求抛物线的顶点坐标；
（2）如图 2，点 P 为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 m，求 m 与 t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图 3，连接 AP，过点 C 作 CE⊥AP 于点 E，连接 BE，CE 分别交 PQ 于 F，G 两点，当点 F 是 PG 中点时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】因 22=4，根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2．
2. D【解析】a−bb−a=−a2+2ab−b2，故选项A错误；
2x32=4x6，故选项B错误；
x÷1y×y=xy2，故选项C错误；
x+32=x2+6x+9，故选项D正确．
3. C
4. C【解析】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形．
5. C
【解析】A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题；
B、垂直于弦的直径必平分弦，正确，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故错误，是假命题；
D、顺次连接平行四边形的四边中点，得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题．
6. B【解析】将数据重新排列为 1，2，4，5，8，
则这组数据的平均数为 1+2+4+5+85=4 ，中位数为 4 ，
方差为 15×1−42+2−42+4−42+5−42+8−42=6 ，
极差为 8−1=7．
7. A【解析】设原计划每天修路 x 米，则实际每天修路 1+25%x 米，
依题意，得：2000x−20001+25%x=5．
8. C【解析】作直径 DE，连接 CE，如图，
∵∠AOB+∠COD=180∘，∠COD+∠COE=180∘，
∴∠AOB=∠COE，
∴CE=AB，
∴CE=AB=2，
∵DE 为直径，
∴∠DCE=90∘，
∴DE=22+42=25，
∴OD=5，
即 ⊙O 的半径是 5．
9. B【解析】如图，过 C 作 CD⊥OA 于 D．
直线 l1:y=−24x+1 中，令 x=0，则 y=1，令 y=0，则 x=22，
即 A22,0，B0,1，
∴Rt△AOB 中，AB=AO2+BO2=3．
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2．
∵CD∥BO，
∴OD=13AO=223，CD=23BO=23，
即 C232,23，
把 C232,23 代入直线 l2:y=kx，
可得：23=232k，即 k=22．
10. C
【解析】设这批手表有 x 块，
550×60+x−60×500>55000，
解得，x>104，
∴ 这批电话手表至少有 105 块．
11. D【解析】∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即 b2>4ac，
所以A选项错误；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
所以B选项错误；
∵ 二次函数图象的对称轴是直线 x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，
所以C选项错误；
∵ 抛物线过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −1,0，
∴a−b+c=0，
所以D选项正确．
12. A【解析】①如图 1 中，连接 AM，延长 DE 交 BF 于 J．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD．∠DAE=∠BAF=90∘，
∵AE=AF，
∴△BAF≌△DAESAS，
∴∠ABF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90∘，∠AED=∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ=90∘，
∴∠BJE=90∘，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA=EM，DM=DA，
∴DE 垂直平分线段 AM，
∴BF∥AM，故①正确．
②如图 2 中，当 F，E，M 共线时，易证 ∠DEA=∠DEM=67.5∘，
在 MD 上取一点 J，使得 ME=MJ，连接 EJ，
∵∠MEJ=∠MJE=45∘，
∴∠JED=∠JDE=22.5∘，
∴EJ=JD，设 AE=EM=MJ=x，则 EJ=JD=2x，
则有 x+2x=4，
∴x=42−4，
∴AE=42−4，故②正确．
③如图 3 中，连接 EC，CF，当 EF=CE 时，设 AE=AF=m，
则有：2m2=42+4−m2，
∴m=43−4或−43−4舍弃，
∴AE=43−4，故③正确．
④如图 4 中，当 OF=OC 时，设 AE=AF=n．
∵∠FDC=90∘，OF=OC，
∴OF=OD，
∴∠OFD=∠ODF，
∴tan∠CFD=tan∠EDA，
44+n=4n，
∴n=25−2或−25−2舍弃，
∴AE=25−2，故④正确．
第二部分
13. xx−32
【解析】x3−6x2+9x=xx2−6x+9=xx−32.
14. 13
【解析】画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，满足 a>0，b<0 的结果数为 4，
所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率 =412=13．
15. 6
【解析】如图，过 C 点作 CE⊥x 轴，垂足为 E．
∵Rt△OAB 中，∠OBA=90∘，
∴CE∥AB，
∵C 为 Rt△OAB 斜边 OA 的中点 C，
∴CE 为 Rt△OAB 的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴OAOC=12．
∵ 双曲线的解析式是 y=kx，即 xy=k，
∴S△BOD=S△COE=12∣k∣，
∴S△AOB=4S△COE=2∣k∣，
由 S△AOB−S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得 2k−12k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=12k=6．
16. 41313+2,61313+3
【解析】当点 D 与点 A 重合时，如图：
∵S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，
∴S矩形OABC=12，
∵C 点坐标为 0,3，
∴OC=3，
∴OA=4，
∵∠CFB=90∘，C，B 均为定点，
∴F 可以看作是在以 BC 为直径的圆上，取 BC 的中点 M，
则 MF=12BC=2，OM=OC2+CM2=13，
∴OF 的最大值 =OM+12BC=13+2，即 O，M，F 三点共线，
设点 F 的横坐标为 2x，则纵坐标为 3x，
∴2x2+3x2=13+22，
解得：x=1313+213（负值舍去），
∴2x=41313+2，3x=61313+3，
∴ 点 F 坐标 41313+2,61313+3．
第三部分
17. 18−2sin45∘−−12−2+π−30=32−2×22−4+1=22−3
18.
2x−2≤4x−3, ⋯⋯①2x−5<1−x. ⋯⋯②
解不等式①得：
x≥−0.5.
解不等式②得：
x<2.
则不等式组的解集是：
−0.5≤x<2.
解集在数轴上表示为：
19. （1） 50
【解析】初三（1）班共有学生：20÷40%=50（人）．
（2） 108
【解析】“良好”所在扇形圆心角：1550×360∘=108∘．
（3） 及格人数：50−20−15−5=10（人），
补充条形统计图如下：
（4） 65
【解析】该年级“不及格”的学生人数：650×550=65（人）．
20. （1） 由作图过程可知，AB=AF，AE 平分 ∠BAD．
∴ ∠BAE=∠EAF．
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ BC∥AD．
∴ ∠AEB=∠EAF．
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE．
∴ BE=AF．
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．
∴ 四边形 ABEF 为菱形．
（2） 连接 BF，
∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ BF 与 AE 互相垂直平分，∠BAE=∠FAE．
∴ OA=12AE=23．
∵ 菱形 ABEF 的周长为 16，
∴ AF=4．
∴ cs∠OAF=OAAF=32．
∴ ∠OAF=30∘，
∴ ∠BAF=60∘．
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ ∠C=∠BAD=60∘．
21. （1） 设该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 x，根据题意得
75001+x2=10800,
即
1+x2=1.44,
解得：
x1=0.2,x2=−2.2舍去,
答：该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 20%．
（2） 108001+0.2=12960（本），
10800÷1350=8（本），
12960÷1440=9（本），
9−8÷8×100%=12.5%．
故 a 的值至少是 12.5．
22. （1） 6；2；−60
【解析】t2−8t+12=0，
解得：t=2 或 6，
即 OA=6，OB=2，即点 A，B 的坐标为 −6,0，0,2，
设点 P−6,k−6，
由 PA=PB 得：36+2+k62=k62，
解得：k=−60，
故点 P−6,10．
（2） 10,−310−8
【解析】当 PQ 过圆心 M 时，点 P，Q 之间的距离达到最大值，
∵AM2=AO2+OM2，
∴AM2=36+AM−22，
∴AM=10=BM，
∴ 点 M 坐标为 0,−8，
设直线 PM 的解析式为：y=kx−8，
∴10=−6k−8，
∴k=−3，
∴ 直线 PM 的解析式为：y=−3x−8，
∴ 设点 Qa,−3a−8（a>0），
∵MQ=10=a2+−3a−8+82，
∴a=10，
∴ 点 Q 坐标为 10,−310−8．
（3） 是定值，理由：
连接 CD，过点 P 作 PH⊥y 轴，
∵tan∠PBH=PHPB=34=tan∠DBC，则 cs∠DBC=45，
∴BD−BC=2r−2rcs∠DBC=2r1−45=4．
23. （1） ∵ 抛物线 y=ax2−2ax+32，
∴ 抛物线对称轴为 x=−−2a2a=1，
∵ 抛物线的顶点为 C，
∴ 点 C 的横坐标为 1，
设点 An,0，
∵ 直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点，
∴1+n2=0，
∴n=−1，
∴A−1,0，
∵ 点 A 在抛物线 y=ax2−2ax+32 上，
∴a+2a+32=0，
∴a=−12，
∴ 抛物线解析式为 y=−12x2+x+32=12x−12+2，
∴ 抛物线的顶点坐标 C1,2；
（2） 由（1）有，抛物线解析式为 y=−12x2+x+32，
∵ 抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，A−1,0，抛物线对称轴为 x=1，
∴B3,0，
∵ 直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点，且 A−1,0，C1,2，
∴D0,1，
∵A−1,0，C1,2，
∴ 直线 AC 解析式为 y=x+1，
∵PQ⊥AC，
∴ 设直线 PQ 解析式为 y=−x+b，
∵ 设点 Pt,−12t2+t+32，
∴ 直线 PQ 解析式为 y=−x−12t2+2t+32，
∵ 点 Q 在直线 AC 上，且点 Q 的横坐标为 m，
∴y=m+1,y=−m−12t2+2t+32,
∴m=−14t2+t+14；
（3） 如图，连接 DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE=90∘，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE=90∘，
∴∠ACE=∠APQ，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ=∠ACE，
∵∠AEC=90∘，
∴DE=AD=CD，
∴∠ACE=∠DEC，
∵∠CEP=90∘，
∴EF=QF=PF，
∴∠APQ=∠PEF，
∴∠PEF=∠APQ=∠ACE=∠CED，
∴∠CED+∠BEC=∠PEF+∠BEC=∠PEC=90∘，
∵ 点 A−1,0，D0,1，
∴OA=OD，
∴∠BAC=45∘，
∵ 点 A，B 是抛物线与 x 轴的交点，点 C 是抛物线的顶点，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45∘，
∴∠ACB=90∘，
在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，
DE=DC，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED，
∴∠BDC=∠BDE，
∵DE=DC，
∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，
∴AP∥BD，
∵B3,0，D0,1，
∴ 直线 BD 解析式为 y=−13x+1，
∵A−1,0，
∴ 直线 AP 解析式为 y=−13x−13，
联立抛物线和直线 AP 解析式得，y=−13x−13,y=−12x2+x+32,
∴x1=113,y1=−149, x2=−1,y2=0,（舍）
∴P113,−149．
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 4 的算术平方根是
A. −2B. 2C. ±2D. 2
2. 下列运算正确的是
A. a−bb−a=a2−b2B. 2x32=2x6
C. x÷1y×y=xD. x+32=x2+6x+9
3. 2019 年世界超高清视频产业发展大会在广州召开，到 2022 年我国超高清视频产业规模将超过 4 万亿元．4 万亿用科学记数法表示为
A. 4×104B. 4×108C. 4×1012D. 4×1013
4. 如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是
A. 主视图B. 左视图
C. 俯视图D. 主视图和左视图
5. 下列是假命题的是
A. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B. 垂直于弦的直径必平分弦
C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等
D. 顺次连接平行四边形的四边中点，得到的四边形是平行四边形
6. 一组数据 1，4，5，2，8 ，它们的数据分析正确的是
A. 平均数是 5B. 中位数是 4C. 方差是 30D. 极差是 6
7. 罗湖区对一段全长 2000 米的道路进行改造，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率 25%，就可以提前 5 天完成修路任务．设原计划每天修路 x 米，则根据题意可得方程
A. 2000x−20001+25%x=5B. 2000x−200025%x=5
C. 20001+25%x−2000x=5D. 200025%x−2000x=5
8. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB，CD 所对的圆心角分别是 ∠AOB，∠COD，若 ∠AOB 和 ∠COD 互补，且 AB=2，CD=4，则 ⊙O 的半径是
A. 3B. 2C. 5D. 4
9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=−24x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，直线 l2:y=kxk≠0 与直线 l1 在第一象限交于点 C．若 ∠BOC=∠BCO，则 k 的值为
A. 23B. 22C. 2D. 22
10. 某经销商销售一批电话手表，第一个月以 550 元/块的价格售出 60 块，第二个月起降价，以 500 元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了 5.5 万元．这批电话手表至少有
A. 103 块B. 104 块C. 105 块D. 106 块
11. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是
A. b2<4acB. ac>0C. 2a−b=0D. a−b+c=0
12. 如图，E 为正方形 ABCD 边 AB 上一动点（不与 A 重合），AB=4，将 △DAE 绕着点 A 逆时针旋转 90∘ 得到 △BAF，再将 △DAE 沿直线 DE 折叠得到 △DME．下列结论：①连接 AM，则 AM∥FB；②连接 FE，当 F，E，M 共线时，AE=42−4；③连接 EF，EC，FC，若 △FEC 是等腰三角形，则 AE=43−4；④连接 EF，设 FC，ED 交于点 O，若 FE 平分 ∠BFC，则 O 是 FC 的中点，且 AE=25−2，其中正确的个数有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 因式分解 x3−6x2+9x= ．
14. 在 −4，−2，1，2 四个数中，随机取两个数分别作为函数 y=ax2+bx+1 中 a，b 的值，则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为 ．
15. 如图，Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，双曲线 y=kxx>0 经过斜边 OA 的中点 C，与另一直角边交于点 D．若 S△OCD=9，则 S△OBD 的值为 ．
16. 如图，矩形 OABC 的边 OC 在 y 轴上，边 OA 在 x 轴上，C 点坐标为 0,3，点 D 是线段 OA 上的一个动点，连接 CD，以 CD 为边作矩形 CDEF，使边 EF 过点 B．连接 OF，当点 D 与点 A 重合时，所作矩形 CDEF 的面积为 12．在点 D 的运动过程中，当线段 OF 有最大值时，则点 F 的坐标为 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：18−2sin45∘−−12−2+π−30．
18. 解不等式组 2x−2≤4x−3,2x−5<1−x, 并将解集在数轴上表示出来．
19. 深圳某校初三为提高学生长跑成绩，把每天的课间操改为“环校跑”，现测得初三（1）班全体同学的成绩如图，请你根据提供的信息，解答下列问题：
（1）初三（1）班共有 人；
（2）在扇形统计图中，“良好”所在扇形圆心角等于 度；
（3）请你补充条形统计图；
（4）若该年级共有 650 名学生，请你估计该年级喜欢“不及格”的学生人数约是 人．
20. 如图，在平行四边形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F；再分别以点 B，F 为圆心，大于 12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证四边形 ABEF 是菱形；
（2）若菱形 ABEF 的周长为 16，AE=43，求 ∠C 的大小．
21. 为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在 2014 年图书借阅总量是 7500 本，2016 年图书借阅总量是 10800 本．
（1）求该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率；
（2）已知 2016 年该社区居民借阅图书人数有 1350 人，预计 2017 年达到 1440 人，如果 2016 年至 2017 年图书借阅总量的增长率不低于 2014 年至 2016 年的年平均增长率，那么 2017 年的人均借阅量比 2016 年增长 a%，求 a 的值至少是多少?
22. 如图，点 P 在曲线 y=kx（x<0）上，PA⊥x 轴于点 A，点 B 在 y 轴正半轴上，PA=PB，OA，OB 的长是方程 t2−8t+12=0 的两个实数根，且 OA>OB，点 C 是线段 PB 延长线上的一个动点，△ABC 的外接圆 ⊙M 与 y 轴的另一个交点是 D．
（1）填空：OA= ；OB= ；k= ；
（2）设点 Q 是 ⊙M 上一动点，若圆心 M 在 y 轴上且点 P，Q 之间的距离达到最大值，则点 Q 的坐标是 ；
（3）试问：在点 C 运动的过程中，BD−BC 的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请给出合理的解释．
23. 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2−2ax+32 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的顶点为 C，直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点．
（1）如图 1，求抛物线的顶点坐标；
（2）如图 2，点 P 为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，点 Q 的横坐标为 m，求 m 与 t 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，如图 3，连接 AP，过点 C 作 CE⊥AP 于点 E，连接 BE，CE 分别交 PQ 于 F，G 两点，当点 F 是 PG 中点时，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】因 22=4，根据算术平方根的定义即可得 4 的算术平方根是 2．
2. D【解析】a−bb−a=−a2+2ab−b2，故选项A错误；
2x32=4x6，故选项B错误；
x÷1y×y=xy2，故选项C错误；
x+32=x2+6x+9，故选项D正确．
3. C
4. C【解析】观察几何体，可得三视图如图所示：
可知俯视图是中心对称图形．
5. C
【解析】A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题；
B、垂直于弦的直径必平分弦，正确，是真命题；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故错误，是假命题；
D、顺次连接平行四边形的四边中点，得到的四边形是平行四边形，正确，是真命题．
6. B【解析】将数据重新排列为 1，2，4，5，8，
则这组数据的平均数为 1+2+4+5+85=4 ，中位数为 4 ，
方差为 15×1−42+2−42+4−42+5−42+8−42=6 ，
极差为 8−1=7．
7. A【解析】设原计划每天修路 x 米，则实际每天修路 1+25%x 米，
依题意，得：2000x−20001+25%x=5．
8. C【解析】作直径 DE，连接 CE，如图，
∵∠AOB+∠COD=180∘，∠COD+∠COE=180∘，
∴∠AOB=∠COE，
∴CE=AB，
∴CE=AB=2，
∵DE 为直径，
∴∠DCE=90∘，
∴DE=22+42=25，
∴OD=5，
即 ⊙O 的半径是 5．
9. B【解析】如图，过 C 作 CD⊥OA 于 D．
直线 l1:y=−24x+1 中，令 x=0，则 y=1，令 y=0，则 x=22，
即 A22,0，B0,1，
∴Rt△AOB 中，AB=AO2+BO2=3．
∵∠BOC=∠BCO，
∴CB=BO=1，AC=2．
∵CD∥BO，
∴OD=13AO=223，CD=23BO=23，
即 C232,23，
把 C232,23 代入直线 l2:y=kx，
可得：23=232k，即 k=22．
10. C
【解析】设这批手表有 x 块，
550×60+x−60×500>55000，
解得，x>104，
∴ 这批电话手表至少有 105 块．
11. D【解析】∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，即 b2>4ac，
所以A选项错误；
∵ 抛物线开口向上，
∴a>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c<0，
∴ac<0，
所以B选项错误；
∵ 二次函数图象的对称轴是直线 x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，
所以C选项错误；
∵ 抛物线过点 A3,0，二次函数图象的对称轴是 x=1，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为 −1,0，
∴a−b+c=0，
所以D选项正确．
12. A【解析】①如图 1 中，连接 AM，延长 DE 交 BF 于 J．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD．∠DAE=∠BAF=90∘，
∵AE=AF，
∴△BAF≌△DAESAS，
∴∠ABF=∠ADE，
∵∠ADE+∠AED=90∘，∠AED=∠BEJ，
∴∠BEJ+∠EBJ=90∘，
∴∠BJE=90∘，
∴DJ⊥BF，
由翻折可知：EA=EM，DM=DA，
∴DE 垂直平分线段 AM，
∴BF∥AM，故①正确．
②如图 2 中，当 F，E，M 共线时，易证 ∠DEA=∠DEM=67.5∘，
在 MD 上取一点 J，使得 ME=MJ，连接 EJ，
∵∠MEJ=∠MJE=45∘，
∴∠JED=∠JDE=22.5∘，
∴EJ=JD，设 AE=EM=MJ=x，则 EJ=JD=2x，
则有 x+2x=4，
∴x=42−4，
∴AE=42−4，故②正确．
③如图 3 中，连接 EC，CF，当 EF=CE 时，设 AE=AF=m，
则有：2m2=42+4−m2，
∴m=43−4或−43−4舍弃，
∴AE=43−4，故③正确．
④如图 4 中，当 OF=OC 时，设 AE=AF=n．
∵∠FDC=90∘，OF=OC，
∴OF=OD，
∴∠OFD=∠ODF，
∴tan∠CFD=tan∠EDA，
44+n=4n，
∴n=25−2或−25−2舍弃，
∴AE=25−2，故④正确．
第二部分
13. xx−32
【解析】x3−6x2+9x=xx2−6x+9=xx−32.
14. 13
【解析】画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，满足 a>0，b<0 的结果数为 4，
所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率 =412=13．
15. 6
【解析】如图，过 C 点作 CE⊥x 轴，垂足为 E．
∵Rt△OAB 中，∠OBA=90∘，
∴CE∥AB，
∵C 为 Rt△OAB 斜边 OA 的中点 C，
∴CE 为 Rt△OAB 的中位线，
∵△OEC∽△OBA，
∴OAOC=12．
∵ 双曲线的解析式是 y=kx，即 xy=k，
∴S△BOD=S△COE=12∣k∣，
∴S△AOB=4S△COE=2∣k∣，
由 S△AOB−S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得 2k−12k=18，
k=12，
S△BOD=S△COE=12k=6．
16. 41313+2,61313+3
【解析】当点 D 与点 A 重合时，如图：
∵S矩形CDEF=2S△CBD=12，S矩形OABC=2S△CBD，
∴S矩形OABC=12，
∵C 点坐标为 0,3，
∴OC=3，
∴OA=4，
∵∠CFB=90∘，C，B 均为定点，
∴F 可以看作是在以 BC 为直径的圆上，取 BC 的中点 M，
则 MF=12BC=2，OM=OC2+CM2=13，
∴OF 的最大值 =OM+12BC=13+2，即 O，M，F 三点共线，
设点 F 的横坐标为 2x，则纵坐标为 3x，
∴2x2+3x2=13+22，
解得：x=1313+213（负值舍去），
∴2x=41313+2，3x=61313+3，
∴ 点 F 坐标 41313+2,61313+3．
第三部分
17. 18−2sin45∘−−12−2+π−30=32−2×22−4+1=22−3
18.
2x−2≤4x−3, ⋯⋯①2x−5<1−x. ⋯⋯②
解不等式①得：
x≥−0.5.
解不等式②得：
x<2.
则不等式组的解集是：
−0.5≤x<2.
解集在数轴上表示为：
19. （1） 50
【解析】初三（1）班共有学生：20÷40%=50（人）．
（2） 108
【解析】“良好”所在扇形圆心角：1550×360∘=108∘．
（3） 及格人数：50−20−15−5=10（人），
补充条形统计图如下：
（4） 65
【解析】该年级“不及格”的学生人数：650×550=65（人）．
20. （1） 由作图过程可知，AB=AF，AE 平分 ∠BAD．
∴ ∠BAE=∠EAF．
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ BC∥AD．
∴ ∠AEB=∠EAF．
∴ ∠BAE=∠AEB，
∴ AB=BE．
∴ BE=AF．
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形．
∴ 四边形 ABEF 为菱形．
（2） 连接 BF，
∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ BF 与 AE 互相垂直平分，∠BAE=∠FAE．
∴ OA=12AE=23．
∵ 菱形 ABEF 的周长为 16，
∴ AF=4．
∴ cs∠OAF=OAAF=32．
∴ ∠OAF=30∘，
∴ ∠BAF=60∘．
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ ∠C=∠BAD=60∘．
21. （1） 设该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 x，根据题意得
75001+x2=10800,
即
1+x2=1.44,
解得：
x1=0.2,x2=−2.2舍去,
答：该社区的图书借阅总量从 2014 年至 2016 年的年平均增长率为 20%．
（2） 108001+0.2=12960（本），
10800÷1350=8（本），
12960÷1440=9（本），
9−8÷8×100%=12.5%．
故 a 的值至少是 12.5．
22. （1） 6；2；−60
【解析】t2−8t+12=0，
解得：t=2 或 6，
即 OA=6，OB=2，即点 A，B 的坐标为 −6,0，0,2，
设点 P−6,k−6，
由 PA=PB 得：36+2+k62=k62，
解得：k=−60，
故点 P−6,10．
（2） 10,−310−8
【解析】当 PQ 过圆心 M 时，点 P，Q 之间的距离达到最大值，
∵AM2=AO2+OM2，
∴AM2=36+AM−22，
∴AM=10=BM，
∴ 点 M 坐标为 0,−8，
设直线 PM 的解析式为：y=kx−8，
∴10=−6k−8，
∴k=−3，
∴ 直线 PM 的解析式为：y=−3x−8，
∴ 设点 Qa,−3a−8（a>0），
∵MQ=10=a2+−3a−8+82，
∴a=10，
∴ 点 Q 坐标为 10,−310−8．
（3） 是定值，理由：
连接 CD，过点 P 作 PH⊥y 轴，
∵tan∠PBH=PHPB=34=tan∠DBC，则 cs∠DBC=45，
∴BD−BC=2r−2rcs∠DBC=2r1−45=4．
23. （1） ∵ 抛物线 y=ax2−2ax+32，
∴ 抛物线对称轴为 x=−−2a2a=1，
∵ 抛物线的顶点为 C，
∴ 点 C 的横坐标为 1，
设点 An,0，
∵ 直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点，
∴1+n2=0，
∴n=−1，
∴A−1,0，
∵ 点 A 在抛物线 y=ax2−2ax+32 上，
∴a+2a+32=0，
∴a=−12，
∴ 抛物线解析式为 y=−12x2+x+32=12x−12+2，
∴ 抛物线的顶点坐标 C1,2；
（2） 由（1）有，抛物线解析式为 y=−12x2+x+32，
∵ 抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，A−1,0，抛物线对称轴为 x=1，
∴B3,0，
∵ 直线 AC 交 y 轴于点 D，D 为 AC 的中点，且 A−1,0，C1,2，
∴D0,1，
∵A−1,0，C1,2，
∴ 直线 AC 解析式为 y=x+1，
∵PQ⊥AC，
∴ 设直线 PQ 解析式为 y=−x+b，
∵ 设点 Pt,−12t2+t+32，
∴ 直线 PQ 解析式为 y=−x−12t2+2t+32，
∵ 点 Q 在直线 AC 上，且点 Q 的横坐标为 m，
∴y=m+1,y=−m−12t2+2t+32,
∴m=−14t2+t+14；
（3） 如图，连接 DE，BD，BC，
∵CE⊥AP，
∴∠ACE+∠CAE=90∘，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ+∠CAE=90∘，
∴∠ACE=∠APQ，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△APQ，
∴∠APQ=∠ACE，
∵∠AEC=90∘，
∴DE=AD=CD，
∴∠ACE=∠DEC，
∵∠CEP=90∘，
∴EF=QF=PF，
∴∠APQ=∠PEF，
∴∠PEF=∠APQ=∠ACE=∠CED，
∴∠CED+∠BEC=∠PEF+∠BEC=∠PEC=90∘，
∵ 点 A−1,0，D0,1，
∴OA=OD，
∴∠BAC=45∘，
∵ 点 A，B 是抛物线与 x 轴的交点，点 C 是抛物线的顶点，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45∘，
∴∠ACB=90∘，
在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，
DE=DC，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED，
∴∠BDC=∠BDE，
∵DE=DC，
∴BD⊥CE，
∵AP⊥CE，
∴AP∥BD，
∵B3,0，D0,1，
∴ 直线 BD 解析式为 y=−13x+1，
∵A−1,0，
∴ 直线 AP 解析式为 y=−13x−13，
联立抛物线和直线 AP 解析式得，y=−13x−13,y=−12x2+x+32,
∴x1=113,y1=−149, x2=−1,y2=0,（舍）
∴P113,−149．
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