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    新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第7章 章末复习课
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    新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第7章 章末复习课

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    这是一份新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】第7章 章末复习课,共7页。

    章末复习课

    一、三角函数式的化简、求值

    1(1)两个基本关系式sin2αcos2α1tan α.

    (2)诱导公式可概括为k·±α(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是奇变偶不变符号看象限

    2化简三角函数式的常用方法有直接应用公式切化弦异角化同角特殊值与特殊角的三角函数互化通分约分配方去根号

    3求值一般包括(1)给角求值(2)给值求值(3)给值求角

    4通过三角函数中公式的正用逆用及变形应用提升逻辑推理和数学运算素养

    1 已知f(α).

    (1)化简f(α)

    (2)f(α)<α<cos αsin α的值

    (3)α=-f(α)的值

     (1)f(α)

    sin α·cos α.

    (2)f(α)sin α·cos α可知,

    (cos αsin α)2cos2α2sin α·cos αsin2α

    12sin α·cos α12×.

    <α<cos α<sin α

    cos αsin α<0

    cos αsin α=-.

    (3)α=-=-6×

    f cos·sin

    cos·sin

    cos ·sin ×.

    反思感悟 三角函数式的求值、化简的策略

    (1)化弦:当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时,往往把切化为弦,再化简变形

    (2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称统一为正切,再化简

    (3)1的代换:在三角函数式中,有时会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式

    三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算,从而得到一个便于观察和研究的结果,在这个过程中,要体现一个当然的体现涉及公式的和角的

    跟踪训练1 已知角α的终边上有一点P(1,3)的值为(  )

    A1  B.-  C.-1  D.-4

    答案 A

    解析 根据任意角的三角函数定义,可得tan α3

    所以

    tan α1.

    二、三角函数的图象与性质

    1三角函数的性质包括定义域值域单调性奇偶性对称性等在研究性质时ωxφ看成一个整体利用整体代换思想解题是常见的技巧

    2函数yAsin(ωxφ)的图象

    (1)五点法作图(2)图象伸缩平移变换

    3借助三角函数的图象和性质培养直观想象和数学运算素养

    2 已知函数f(x)2sinx处取得最值其中ω(0,2)

    (1)求函数f(x)的最小正周期及增区间

    (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3纵坐标不变得到函数g(x)的图象α为锐角g(α)cos的值

     (1)函数f(x)x处取得最值,

    2ω×kπkZ

    解得ω2kkZ.ω(0,2)ω.

    f(x)2sin.最小正周期T.

    令-2kπ3x2kπkZ

    则-πxπkZ

    f(x)的增区间为kR.

    (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数y2sin2sin的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y2sin的图象,

    g(x)2sin.

    α为锐角,g(α)2sin

    sin.

    cos.

    反思感悟 三角函数的三条性质

    (1)单调性:求形如yAsin(ωxφ)yAcos(ωxφ)(A>0ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答,即把ωxφ视为一个整体,分别与正弦函数ysin x,余弦函数ycos x的增()区间对应解出x,即得所求的增()区间

    (2)周期性:函数yAsin(ωxφ)yAcos(ωxφ)的最小正周期为ytan(ωxφ)的最小正周期为.

    (3)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为yAsin ωxyAtan ωx的形式,而偶函数一般可化为yAcos ωxB的形式

    跟踪训练2 已知函数f(x)sin(ω>0)上单调且将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合x(0,)使得不等式f(x)成立的x的最大值为________

    答案 

    解析 因为函数f(x)sin(ω>0)上单调,

    所以

    T

    0<ω

    由于函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合,

    所以nT,则T

    ωnZ

    所以ω

    f(x)sin

    由于不等式f(x)成立,

    故-2kπx2kπ(kZ)

    解得-4kπx4kπ(kZ)

    由于x(0,),当k1时,πx

    则不等式f(x)成立的x的最大值为.

     

    三、三角函数模型的简单应用

    3 潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象其形成是海水受日月的引力潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象一般来说早潮叫潮晚潮叫汐某观测站通过长时间的观测其发现潮汐的涨落规律和函数f(x)Asin(ωxφ)的图象基本一致且周期为其中x为时间f(x)为水深x海水上涨至最高5

    (1)作出函数f(x)[0,]内的图象并求出潮汐涨落的频率和初相位

    (2)求海水水深持续加大的时间区间

     (1)T

    又因为ω>0,所以ω

    A5x时,

    sin1φ

    故函数f(x)5sin

    频率fx0时,初相位φ

    图象应用五点作图法分别取x0

    求出对应的函数值,并描点和绘制,如图所示

    (2)求海水水深持续加大的时间区间,

    即求f(x)的增区间,

    zx

    函数y5sin z的增区间为kZ

    即-2kπx2kπ2kπx2kπkZ

    即-4kπx4kπ(kZ)

    反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤

    跟踪训练3 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保至今还在农业生产中使用假设在水流量稳定的情况下筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动现将筒车抽象为一个几何图形如图所示O的半径为4且圆O与水平面的距离为2P0在水平面上盛水筒M从点P0处开始运动2分钟恰好转动1则盛水筒M距离水面的高度H(单位m)与时间t(单位s)之间的函数关系式是(  )

    AH4sin2

    BH4sin2

    CH4sin2

    DH4sin2

    答案 D

    解析 设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为HAsin(ωtφ)B

    周期为120 sω

    最高高度为426,最低高度为-42=-2

    所以AB6,-AB=-2

    A4B2.

    t0时,H0,4sin φ20

    sin φ=-

    φ=-

    所以H4sin2.

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