高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步本章综合与测试单元测试达标测试

第六章 平面向量初步 核心素养定心卷

一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。

1．已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，设，则（    ）   

A． B．

C． D．

2．在给出的下列命题中，错误的是（    ）

A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线

B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的

C．已知平面向量满足，则为等腰三角形

D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形

3．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，若的最小值为，则正数的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

4．在平行四边形中，，M是中点．若，则（    ）

A． B． C． D．

5．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ，µ满足（    ）

A． B． C． D．

7．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

8．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。

9．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（    ）

A． B．

C． D．

10．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（      ）

A．若，则存在实数使得

B．若，则

C．若，则在方向上的投影向量为

D．若存在实数使得，则

11．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．在方向上的投影为

12．有下列说法，其中错误的说法为

A．若////，则//

B．若，，分别表示，的面积，则

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．若//，则存在唯一实数使得

三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知是内一点，，设的面积为的面积为，则_______．

14．设，是两个不共线的向量，，，，，三点共线，则_______．

15．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．

16．已知向量，，，若是共面向量，则__________．

四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.

18．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．

（1）求实数的值；

（2）若，，求的坐标；

（3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．

19．已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．

（1）若，，，，试用，、表示；

（2）证明：；

（3）若，，外接圆的半径为，用表示．

20．已知平面非零向量，的夹角是.

（1）若，，求；

（2）若，，求t的值，并求与共线的单位向量的坐标.

21．已知，，，设，，.

（1）求的值；

（2）求满足的实数m，n的值；

（3）若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N（点N靠近点B），求.

22．如图，分别是矩形的边和的中点，与交于点．

（1）若，求：的值；

（2）设，试用表示；

（3）若，是线段上的一动点，求的最大值．

参考答案

1．B

【解析】∵  AD为边BC上的中线，

∴  ，

又BE为边AC上的中线，

∴   ，

又，

∴ ，

∴，

故选：B.

2．B

【解析】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；

对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；

对C，，，即，所以，

又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.

对D，若，且，则，

则，即，

则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.

综上，错误的选项为B.

故选：B.

3．B

【解析】

因为点是的三等分点，则，

又由点三点共线，则，

，

当且仅当时，等号成立，

即的最小值为 ，则有,

解可得或(舍），故，

故选：B.

4．B

【解析】．

∴，∵∴．

故选：B

5．B

【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，

因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，

所以，

又因为，且，

所以，

所以，解得，所以。

故选：B.

6．B

【解析】由，，，

可得，；

若三点共线，则，可得，化简得.

故选：B.

7．B

【解析】在，上分别取点，，使得，，

则．

以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．

为的平分线．

，

即，

．

，，三点共线，即在的平分线上．

同理可得在其他两角的平分线上，

是的内心．

故选：．

8．D

【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，

，，，

，，，

设点为，，，

，

，，，，，

，

，①

直线的方程为，②，

联立①②，解得，

此时最大，

，

故选：．

9．AB

【解析】，即A正确

，即B正确

连接AC，知G是△ADC的中线交点， 如下图示

由其性质有

∴，即C错误

同理

，即

∴，即D错误

故选：AB

10．AB

【解析】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；

若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；

若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.

故选：AB.

11．BCD

【解析】由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

设，∥，

所以，解得：，

即O是CE中点，，所以选项B正确；

，所以选项C正确；

因为，，所以选项A错误；

，，

在方向上的投影为，所以选项D正确.

故选：BCD

12．AD

【解析】A. 若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；

B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，

，

所以则,所以该选项是正确的；

C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；

D. 若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.

故选A,D

13．

【解析】过点作,交于点,交于点连接并延长交于点,作,垂足为,作,垂足为

因为，,

所以

因为,

所以.

故答案为：

14．

【解析】因为三点共线，所以共线，

设，所以，且不共线，

所以，所以，

故答案为：.

15．

【解析】解：，，

，，，，

，

，，，，，

，，，

，

，

，

，

令，

令，，，，，

则，此时，，

则当时，则的最小值为．

故答案为：．

16．-2

【解析】由于不共线，且和共面，根据平面向量的基本定理，有，即，即，解得.

17．证明见解析.

【解析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设，，，，则.

因为点C分为，所以

因为点D为的中点，所以.

因为点A，P，D共线，所以.

又，，所以.

同理由点B，P，C共线，可得，

由点O，P，E共线，可得.解得.所以.

18．（1）（2）（3）.

【解析】（1）．

因为，，三点共线，

所以存在实数，使得，

即，得．

因为，是平面内两个不共线的非零向量，

所以解得，．

（2）．

（3）因为，，，四点按逆时针顺序构成平行四边形，

所以．

设，则，

因为，

所以解得

即点的坐标为．

19．（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）由平行四边形法则可得，即．

（2）∵O是的外心，∴，即，

而，，

∴，∴．

（3）在中，O为的外心，，，

∴，，于是，

，

∴．

20．（1）；（2），，或.

【解析】（1）向量，的夹角是，由得，

解得，舍去，所以.

（2），，由向量，的夹角是

得，解得，舍去，

因为，

设单位向量，所以，又与共线，

所以，求得，或，

所以，或.

21．（1）（2）（3）

【解析】解析（1）∵，，，且，，，

∴，，，

∴，

（2），∴，解得.

（3）∵线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为（点N靠近点B），

∴，,

∴M点坐标为，N点坐标为，∴.

22．（1）1；（2）；（3）

【解析】（1），

又，所以.

（2）取的中点，连则，

因为，

所以.

（3）以为原点，，分别为轴，建立直角坐标系，

则，直线的方程为：，

设，则，

所以，

当时等号成立.